精品解析：江苏省扬州中学文昌集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

扬州市京华梅岭中学2024-2025学年第二学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 3. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 4. 下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A. B. C. D. 5. 若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 不变 D. 缩小4倍 6. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转90°后得到，连接，若，则是（ ） A. 75° B. 78° C. 80° D. 92° 8. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 为了解全国初中毕业生的睡眠状况,比较适合的调查方式是____.(填“普查”或“抽样调查”) 11. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 12. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______. 13. 对于实数，定义一种新运算“*”为：，这里等式右边是实数运算．例如．则方程的解是__________． 14. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 15. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 16. 如图，正方形的边长为2，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则______． 17. 在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为_______. 18. 如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是___________ 三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 已知，求代数式的值． 22. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 23. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 24. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点成中心对称，画出． （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． （3）在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 25. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 26. “植”此青绿，共赴青山．2025年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3500元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 27. 如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． （1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． （2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． （3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 28. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市京华梅岭中学2024-2025学年第二学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件； B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件； C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件； D、一年365天， 370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件； 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 4. 下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握正负符号的改变和分式的分子分母同乘除一个不为的数或代数式，分式的值不变是解题关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项正确，但不符合题意； B、，此选项错误，符合题意； C、，此选项正确，但不符合题意； D、，此选项正确，但不符合题意． 故选：B． 5. 若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 不变 D. 缩小4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案． 【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为， ∴分式的值不变， 故选：C． 6. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7. 如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转90°后得到，连接，若，则是（ ） A. 75° B. 78° C. 80° D. 92° 【答案】A 【解析】 【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠BAC=45°． ∴∠DAC=45°-15°=30°． ∵∠ACD+∠BCD=90°，∠ECB+∠BCD=90° ∴∠ECB=∠DCA 在△BEC和△ADC中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）． ∴∠EBC=∠DAC=30°． ∴∠ABE=∠EBC+∠ABC=75°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角，是解决这类问题的方法． 8. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 10. 为了解全国初中毕业生的睡眠状况,比较适合的调查方式是____.(填“普查”或“抽样调查”) 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】利用普查和抽样调查的特点即可作出判断． 【详解】为了解全国初中毕业生的睡眠状况，考查对象很多，普查的意义和价值不大，应选择抽样调查. 故答案为；抽样调查. 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查. 11. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高， ∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24， ∴OB=BD=12，OA=AC=5， 在Rt△ABO中，AB=BC==13， ∵S菱形ABCD=， ∴， 解得：AE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直． 12. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 同理可证：， ∵， 即， 解得：； 故答案为：3． 13. 对于实数，定义一种新运算“*”为：，这里等式右边是实数运算．例如．则方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中新定义的运算得出方程求解，然后检验即可． 【详解】解：∵x*4=−1，a*b=， ∴x*4==-1， 解得：x=2， 检验：当x=2时，x-4≠0， ∴x=2是原方程的解， 故答案为：x=2． 【点睛】题目主要考查解分式方程，理解题目中新定义的运算是解题关键． 14. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 15. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 16. 如图，正方形的边长为2，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线，是解答本题的关键．连接，，垂直平分线和正方形的性质，可得，，，设，则，根据勾股定理表示出，，根据解出的值即可． 【详解】解：如图，连接，， 垂直平分， ， 正方形的边长为2， ，， 是的中点， ， 设，则， 由勾股定理，得 ，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 17. 在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为_______. 【答案】59°或31° 【解析】 【分析】分析题意，首先根据已知作出图，由于△ABD的形状不确定，故需分类讨论： 当E点在线段AD上时，首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数； 当E点在AD的延长线上时，结合已知可先求出∠BDE的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质进行求解即可 【详解】情况一：当E点在线段AD上时，如图所示： ∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°， ∴∠ADB=90°-28°=62°. ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=(180°-62°)÷2=59°. 情况二：当E点在AD的延长线上时，如图所示： ∵BE是AD边上的高，∠EBD=28°， ∴∠BDE=62°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=∠BDE=×62°=31°. 综上可知，∠A的度数为59° 或31°. 故答案为59° 或31°. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，分情况讨论是解题的关键. 18. 如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图，根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据菱形的四条边都相等可知，根据线段垂直平分线的性质可知，从而可知是等边三角形，根据等边三角形的性质、菱形的性质进行判断 即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 由尺规作图可知是的垂直平分线，且点在直线上， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 故正确； 由可知， ， 是的垂直平分线，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 故正确； 由菱形的性质可知，， ， 故错误； ，，， ， ， ， 故正确． 故答案为： ． 三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则是解题的关键． （1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把两个分式通分，再把分子相加后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． ∴原方程无解． 21. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 22. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 23. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）； （2）补全条形统计图，如图所示， 阅读部分圆心角是108°， （3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 24. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点成中心对称，画出． （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． （3）在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求图形； （2） 如图所示，即为所求图形， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角系的特点，掌握中心对称图形的性质，旋转的性质，轴对称图形的性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，坐标与图形的知识即可求解； （3）根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 【答案】（1） 证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 26. “植”此青绿，共赴青山．2025年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3500元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 【答案】（1）每棵银杏树苗的价格为40元，每棵白杨树苗的价格为30元 （2）50棵 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据等量关系“用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3500元列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每棵银杏树苗的价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，． ， 答：每棵银杏树苗的价格为40元，每棵白杨树苗的价格为30元； 【小问2详解】 解：设购买棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买50棵银杏树苗． 27. 如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． （1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． （2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． （3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 【答案】（1）是， （2）1 （3）①②或 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，分式求值，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义的法则，进行计算，判断即可； （2）根据新定义，推出，代入分式进行求解即可； （3）①根据新定义，进行求解即可；②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：是； ， ∴“信度值”； 【小问2详解】 由题意，得： ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①由题意，得： ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴或， ∴或． 28. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 【答案】（1），线段与线段互相垂直平分，； 证明：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）①∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：，线段与线段互相垂直平分，； ②略 （2）四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （3）如图，当点与点重合时，的面积最大，于，则， ， 由题意得：， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， 由（1）知，， ， 的最大值为1.3， 假设点与重合时，此时最小，为， 的面积的最小值为， 在边上取一点不与和点重合， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $