精品解析：重庆市忠县花桥镇初级中学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2025年春季七年级期中考试数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，是无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点A（a，b），若a＜0，b＞0，则A点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的同旁内角为( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E在线段AB的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A B. C. D. 6. 下列命题是真命题个数是（ ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两直线互相垂直；③平行于同一条直线的两直线互相平行；④同位角相等；⑤一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；⑥从直线外一点到这条直线上的点连成的线段中垂线段的长度最短． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 估计的值在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 8. 《九章算术》记载：“三只雀五只燕，共重16两；互换一只，恰同重．问雀、燕一只各几何？”设每只雀、燕分别重x两、y两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知且，则下列各式中最小的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面直角坐标系中质点从点出发，第1次向上移动1个单位后往逆时针转方向作第2次移动，第n（n为正整数）次移动n个单位后往逆时针转方向作第次移动．设质点第n次移动后到达点，则点为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 实数，，，中最小的数是______． 12. 已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 _____． 13. 若是二元一次方程，则的值______． 14. 如图，已知直线，点E是线段的中点，若的面积为5，则的面积为______． 15. 如图，已知，将沿方向平移5cm，得到，连接，若的周长为27cm，则阴影部分的周长为______cm． 16. 如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是______（填编号）． 17. 若，则______． 18. 对于千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，若，则称这个四位正整数M为“平衡数”，并记，．例如：对于四位正整数2497，∵，∴2497是“平衡数”，且，．若四位正整数M是一个“平衡数”，且满足，，是7的整数倍，则______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解下面各题： （1）解方程组； （2）用代入法解方程组： 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，若将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，且A、B、C的对应点分别是、、． （1）画出，直接写出点、、的坐标； （2）若的边上有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标； （3）求的面积 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 23. 习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须掌握在自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； （2）今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克，由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加7600元．求的值． 24. 如图所示，已知，，点E是线段上的一点，的平分线与的平分线相交于点F，连接． （1）证明：； （2）若三角形的三内角之和为180°，证明：； （3）如图2，设平分线交AB于点G，若，求的大小． 25. 已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． （1）求a，b的值； （2）若的小数部分为c，求的平方根． 26. 为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季七年级期中考试数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】A．是无理数，故本选项符合题意； B．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； D． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2. 已知点A（a，b），若a＜0，b＞0，则A点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由条件已知a＜0，b＞0，可得：a为负，b为正，根据所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 【详解】解：∵a＜0，b＞0， ∴点A（a，b）一定在第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查各象限内点坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的同旁内角为( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 【答案】D 【解析】 【分析】根据同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：直线a，b，c相交， 根据同旁内角的定义可知， ∠1的同旁内角是∠5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查同旁内角的定义，关键是理解定义，能找到角的同旁内角． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用算术平方根和立方根的性质计算即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了立方根、算术平方根，熟练掌握其性质是解题关键． 5. 如图，点E在线段AB的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断. 【详解】解：A.， （同旁内角互补，两直线平行），故A错误； B.， （内错角相等，两直线平行），故B错误； C.， （同位角相等，两直线平行），故C错误； D. （内错角相等，两直线平行），故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的问题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．掌握平行线的判定定理是解答此题的关键. 6. 下列命题是真命题的个数是（ ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两直线互相垂直；③平行于同一条直线的两直线互相平行；④同位角相等；⑤一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；⑥从直线外一点到这条直线上的点连成的线段中垂线段的长度最短． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以①为真命题； ②垂直于同一条直线的两直线不一定互相垂直，所以②为假命题； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以③为真命题． ④两直线平行，同位角相等， 所以④为假命题． ⑤一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补， 所以⑤为假命题． ⑥从直线外一点到这条直线上的点连成的线段中垂线段的长度最短，所以⑥为真命题． 综上所述，真命题有3个， 故选：B． 【点睛】要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7. 估计的值在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论. 【详解】解：， ， ， 故选：C 【点睛】本题考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用夹逼法是解题的关键. 8. 《九章算术》记载：“三只雀五只燕，共重16两；互换一只，恰同重．问雀、燕一只各几何？”设每只雀、燕分别重x两、y两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9. 已知且，则下列各式中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求两个多项式的差，然后判断正负即可． 【详解】解：∵且， ∴，，，，，， ∵ ； ∴； ∵ ∴； ∵ ∴ ∴最小的是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、不等式的性质、不等式的传递性等知识点，掌握运用作差法比较代数式的大小成为解答本题的关键． 10. 已知平面直角坐标系中质点从点出发，第1次向上移动1个单位后往逆时针转方向作第2次移动，第n（n为正整数）次移动n个单位后往逆时针转方向作第次移动．设质点第n次移动后到达点，则点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意探究规律，利用规律解决问题即可． 详解】解：由题意可知，，，，，，，，，，，…，如图： 故第一象限中点特征为，第二象限中点特征为，第三象限中点特征为，第四象限中点特征为； 故在第三象限， ∵，，， 故第三象限中点 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标的规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 实数，，，中最小的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：∵，，，,且， ∴， ∴实数，，，中最小的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握比较大小的方法． 12. 已知点M（m+3，6﹣2m）到x，y轴的距离相等，则点M的坐标为 _____． 【答案】（4，4）或（12，-12） 【解析】 【分析】根据题意可得|m+3|=|6-2m|，从而可得m+3=6-2m或m+3=-（6-2m），然后进行计算即可解答． 【详解】∵点M（m+3，6-2m）到x，y轴的距离相等， ∴|m+3|=|6-2m|， ∴m+3=6-2m或m+3=-（6-2m）， ∴m=1或m=9， 当m=1时，m+3=4，6-2m=4， ∴点M的坐标为（4，4）， 当m=9时，m+3=12，6-2m=-12， ∴点M的坐标为（12，-12）， 综上所述：点M的坐标为（4，4）或（12，-12）， 故答案为：（4，4）或（12，-12）． 【点睛】本题考查了点的坐标，理解到坐标轴的距离与横纵坐标的关系是解题的关键． 13. 若是二元一次方程，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】由二元一次方程的定义可求得m、n的值，进而得到答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义，有 解得 ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 14. 如图，已知直线，点E是线段的中点，若的面积为5，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离处处相等即可求解． 【详解】解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵，设平行线之间的距离为， ∴，, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线之间的距离，熟练利用平行线之间的距离处处相等转换面积是解题的关键． 15. 如图，已知，将沿方向平移5cm，得到，连接，若的周长为27cm，则阴影部分的周长为______cm． 【答案】27 【解析】 【分析】证明阴影部分的周长为的周长即可． 【详解】由平移可得：，， ∵的周长为27cm， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 16. 如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是______（填编号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据图形分析各个边长之间的关系即可． 【详解】由图可得， ，故①正确； 图4的长为，宽为， ∴周长为，故②错误； 图5从水平方向求得边长，从竖直方向求得边长， ∴，整理得，故③正确； 长方形的长为，宽为， ∴周长为，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查整式加减运算，结合图形表示各边长是解题的关键． 17. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据非负数的性质分别求出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得 解得， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了平方数、算术平方根的非负性，立方根的定义等知识，理解平方数、算术平方根的非负性，熟知“几个非负数的和为0，则每个非负数都是0”是解题关键． 18. 对于千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，若，则称这个四位正整数M为“平衡数”，并记，．例如：对于四位正整数2497，∵，∴2497是“平衡数”，且，．若四位正整数M是一个“平衡数”，且满足，，是7的整数倍，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列方程计算即可． 【详解】解：∵千位数字是a、百位数字是b、十位数字是c、个位数字是d的四位正整数M，是一个“平衡数”， ∴，， ∵把整理得， ∴把代入得， 把代入得：，可得，， ∵， ∴， ∵是7的整数倍， ∴， 联立， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的问题，解题的关键是理解题目中给出新定义的含义，并灵活运用新定义的意义解题． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据算术平方根的定义以及绝对值求解即可； （2）直接根据立方根的定义以及绝对值求解即可，其中除0以外，任何数的零次幂都为1. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解:原式； 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根和绝对值的相关性质，要掌握好特殊情况，是考题中常出的知识点。 20. 解下面各题： （1）解方程组； （2）用代入法解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）由②得，再把③代入①中求出x的值，进而求出y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由②得， 把③代入①得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，若将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，且A、B、C的对应点分别是、、． （1）画出，直接写出点、、的坐标； （2）若的边上有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标； （3）求的面积 【答案】（1）图见解析，、、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、即可； （2）利用平移变换的性质解决问题即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 、、； 如图，即为所求： 【小问2详解】 点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到对应点； 【小问3详解】 的面积为． 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，属于常考题型． 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质可以得到，进而可得与的位置关系； （2）设，则，根据，可得，根据平分，可得，然后列出方程求出的值，进而可得的度数． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须掌握在自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少； （2）今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加千克和千克，由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降元．甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加7600元．求的值． 【答案】（1）甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据：甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解； （2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和，先表示出总收入，进而得到关于的方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：设甲水稻品种去年平均亩产量是千克，乙水稻品种去年平均亩产量是千克，根据题意得 ， 解得． 答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克． 【小问2详解】 解：由题意得，甲、乙两个品种全部售出后总收入：， ∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加7600元，可得 ， 解得． 答：的值为4． 24. 如图所示，已知，，点E是线段上的一点，的平分线与的平分线相交于点F，连接． （1）证明：； （2）若三角形的三内角之和为180°，证明：； （3）如图2，设的平分线交AB于点G，若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到，等量代换得到，即可证明； （2）根据可得，再根据内角和可得，整理以后可得； （3）利用（2）中的结论求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， 整理得：， 在中得， 即， ∴； 【小问3详解】 如图2， ∵CG平分， ∴①， 由（2）得， ∴②， ∵ ∴，， ∵ ∴， 又∵， 即③， 将①②③代入（2）中结论，即， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是找准角度之间的关系并能变形应用． 25. 已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． （1）求a，b的值； （2）若的小数部分为c，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【小问1详解】 解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； 【小问2详解】 ∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， 平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． 26. 为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b的值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 （3）能，或 【解析】 【分析】（1）根据非负数和为零则每一个非负数都是0列方程计算即可； （2）设时间为t秒，根据列方程计算即可； （2）设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于，用时间t表示和的度数，再分类讨论即可． 【小问1详解】 由题意得， ∴解得，； 【小问2详解】 假设能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，设此时的旋转时间为t秒， 则必有，即，且，， 过点F作，则 过点F作，则 ∵ ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 解得， 但，不合乎要求， 所以这样的点F不存在； 【小问3详解】 设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于， 则必有，即， 当到岸边之前时，，， ∵， ∴，即， 解得符合要求； 当到岸边之后时，，此时，， ∵， ∴，即， 解得，符合要求， 综上所述，能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，此时或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$