精品解析：2025年北京市门头中考数学一模试卷

门头沟区2025年九年级综合练习（一） 数学 2025.4 考 生 须 知 1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 1.581×109元 B. 5.27×107元 C. 5.027×107元 D. 5.27×108元 7. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 10. 分解因式：_________． 11. 分式方程的解为______． 12. 某中学随机抽查了名学生，了解他们每天完成家庭作业时间，结果如表所示： 时间（小时） 人数 根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过小时．如果该校共有学生人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有_________人． 13. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则______． 15. 如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为_________． 16. 某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为_______，________． 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式值． 20. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，如果，，求的长． 21. 随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？ 22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值） ② 其中总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 ③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名选手初赛成绩的中位数为 分； （3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分； （4）上表中a = 分； （5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 24. 如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 23 2.8 3.1 3.3 （1）补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 27. 如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． （1）求证：； （2）过点作，交于，以圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”． （1）如图1，如果点，， ① 在点，，中，点的“相称点”的是________； ② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______． （2）如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 门头沟区2025年九年级综合练习（一） 数学 2025.4 考 生 须 知 1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握定义，找出对称轴、对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；由此即可结合图形判定即可． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有旋转中心，是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是关键． 根据垂直的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的结论正确， 故选：D． 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△= ，求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得k＜4， 又k≠0， ∴k＜4且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 1.581×109元 B. 5.27×107元 C. 5.027×107元 D. 5.27×108元 【答案】D 【解析】 【分析】利用这部电影在上映前三日平均每天的票房=这部电影在上映前三日的总票房，即可求出结论． 本题考查了科学记数法-表示较大的数，利用科学记数法表示出这部电影在上映前三日的总票房是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这部电影在上映前三日平均每天的票房为（元）． 故选：D． 7. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 8. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论③正确； 如图，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，结论正确的是①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键． 根据分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故答案为： ． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 11. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是方程的解， 故答案为：． 12. 某中学随机抽查了名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，结果如表所示： 时间（小时） 人数 根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过小时．如果该校共有学生人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有_________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总人数乘以样本中每天完成家庭作业的时间不得超过小时的人数所占的比例，进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：40． 15. 如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作，根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得长，由此得到正方形的边长，求出和长，根据得到，得出，从而可求长． 【详解】解：过M点作， ∵四边形是正方形，是对角线, ∴， ∴，， ∴． ∵平分， ∴． ∴正方形边长， ∴正方形对角线， ． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度． 16. 某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为_______，________． 【答案】 ①. C ②. 40 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运用，理解题意，找出甲、乙同学的得分是关键． 根据甲、乙同学的情况得到，由此得到各题的答案，由此即可求解． 【详解】解：每道题答对得10分，答错得0分， 甲得20分， ∴甲答对了2题， ∵乙同学答对了一半以上的题目， ∴或， ∴第3题的答案为B， 当时，即乙同学答对了四个题，则甲同学只答对一题，不符合题意； ∴，即乙同学答对了三个题， ∴丙同学也答对了两个题， ∴第2题正确答案为C， ∴乙同学第1题、第3题、第4题正确，得30分， ∴丁同学第1题，第4题答对，得20分， ∴， ∴， 故答案为：①C；② 40． 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先计算化简二次根式，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后计算加减． 此题考查了化简二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法，先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： ① ； ② ； 综上所述，不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的化简是关键． 根据分式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∴ 当时，原式 ． 20. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）过点O作于点F，根据矩形的性质，得到F为的中点，由（1）知四边形是平行四边形，则，由三角形中位线定理可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点F， ∵ 四边形矩形，，， ∴，，， ∴F为的中点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． 21. 随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？ 【答案】有4台插秧机，1300亩农田． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，设有台插秧机，可利用速度不同的为插秧的农田相差亩，列方程，即可解答，熟练找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有台插秧机， 则可得， 解得， 则农田为（亩）， 答：有4台插秧机，1300亩农田． 22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）k的值为1，b的值为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 23. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值） ② 其中总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 ③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名选手初赛成绩的中位数为 分； （3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分； （4）上表中a = 分； （5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析 （2）91 （3）91 （4）89.2 （5）小文，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案； （2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案； （3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案； （4）由笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求解即可得到； （5）由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，比较小文、小武成绩与成绩中位数大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知第5组人数为， 补全频数分布直方图如下： ； 【小问2详解】 解：如图所示： 45名选手初赛成绩的中位数是第23名的成绩，则中位数在第4组， 将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列： 91 91 91 91.5 91.6 92 92 92.2 92.6 93 93.5 93.8 45名选手初赛成绩的中位数为91分； 【小问3详解】 解：由总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 总评在91~94分选手成绩的众数为91； 【小问4详解】 解：初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 由小文的总评成绩即可得到小武的总评成绩为； 【小问5详解】 解：小文， 理由如下： 由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2； 由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分， ， 根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数， 小文能进入决赛． 【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． 24. 如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到，故可求解； （2）由，设，，根据勾股定理求出，，连接，证明，列出比例关系即可求出，． 【小问1详解】 连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查圆切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质． 25. 某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 33 （1）补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①23，2.4；②10或28 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据温度每增加，导电性能增加求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）①先求出与x，与x之间的函数解析式，由可求解； ②分两种情况进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：温度每增加，导电性能增加， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图， 【小问3详解】 由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系， 设， 由题意，得， 解得， ∴． 设， 由题意，得， 解得， ∴， ①由题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 把代入，得． ∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为， 故答案为：23，2.4； ②当室内导电性比室外导电性高时， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为， 故答案为：10或28． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解． 27. 如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． （1）求证：； （2）过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析 ②；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意， ，，由，得到即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则， 由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：①依题意补全图形，如图： ②与之间的数量关系是， 证明：延长到，使，连接， ， ， 又∵由（1）得， ， ∵以为圆心，长为半径作弧，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”． （1）如图1，如果点，， ① 在点，，中，点的“相称点”的是________； ② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______． （2）如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围． 【答案】（1）① ，； ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到，可得在上，进而可得，，符合题意，即可求解； ②根据两点之间距离公式得到，当时，，由此即可求解； （2）在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，进而可得的轨迹为以为圆心，半径为与的圆环，进而根据等边的边长均为，点，找到临界点，结合图形，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则， ∵ ∴在上， ∵，在上， ∴点的“相称点”的是，； 故答案为：，；． ②点， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图 在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点， 先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动， 当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图， ∵边上存在点的“相称点”， ∴的边与圆环有交点， 如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为， ∵等边的边长均为，， ∴， ∴， 当在为半径的上时，， 当在为半径的上时，，则，此时， 当在为半径的上时，， 随着点的移动，可得，或． 【点睛】本题考查了新定义“相称点”，点的坐标变换，等边三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，解题的关键是理解新定义，掌握对称的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $