精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中考高二 数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 4. 已知向量，，且与垂直，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为____________． 13. 已知在等比数列中，，则_____________． 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知函数，当时取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 若数列的前项和为，且，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的最小值为，求a的值； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考高二 数学 考试时间：120分钟，满分150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，明确集合，再求其并集即可. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：D 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求出结果. 【详解】由得，所以， 故选：B. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 4. 已知向量，，且与垂直，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可. 【详解】因，，则， 因与垂直，则，得. 故选：C 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 7. 已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果. 【详解】设圆C的半径为R，由题意可知， 两圆的圆心为：，∴， 可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ∴， 则动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查双曲线的定义，涉及圆与圆位置关系，属于常考题型. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD. 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ， 则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得. 故答案为：. 13. 已知在等比数列中，，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：4. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，再设新函数，讨论和的情况，求出函数的极值点，则由题转化为，解出即可. 【详解】因为，，令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根， 又， 当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数在单调递增， 令，解得，此时函数在单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 15. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量公式求解即可； （2）利用裂项法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，① 由成等比数列，可得，即，② 由①②解得，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知 则. 16. 已知函数，当时取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可； （2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得：. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为为底面圆周上异于一点， 可得：, 又四边形是边长为2的正方形，得， 又平面， 所以平面，又在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， 【小问2详解】 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 取的中点，连接，，， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值 18. 若数列的前项和为，且，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明： 当时，由，所以， 依题意知：，所以 而，所以数列是首相为3，公比为3的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再由公式求，检验是否成立即可； （2）证明为定值即可； （3）先利用错位相减法得，再参数分离得，进而研究数列最值即可. 【小问1详解】 因为，当时，， 当时，， 且时，也符合上式， 所以 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为是首相为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以， =， ， 得 化简得：， 因为恒成立， 所以， 所以， 当，；当时，， 又， 令，得：，故当，恒成立， 所以在时，取到最大值， 所以实数的取值范围 【点睛】数列不等式恒成立问题，常常需要进行放缩，参变分离求最值处理. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的最小值为，求a的值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，当时，得到区间上单调递增，此时；当时，分，和，三种情况讨论，分别求得函数的最小值，进而求得的值； （3）根据题意，转化为证，令，求得，令，得到在为单调增函数，结合零点的存在性定理，得到存在，使得，即，将代入得到，进而证得． 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，可得， ①当时，若，恒成立，恒成立， 可得，所以在内单调递减； ②当时，令，，可得；令得：， 所以在内单调递减，在内单调递增， 综上所述，当时，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【小问2详解】 解：由函数，可得， ①当时，在区间上恒成立，区间上单调递增， 所以（舍去）； ②当时，令，可得， （i）当时，即，区间上单调递增，（舍）； （ii）当时，即， 区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 令函数，可得， 所以函数为单调函数，所以，解得， 故关于的方程的解为； （iii）当时，即，区间上单调递减， 所以，解得（舍去）； 综上所述，实数的值为． 【小问3详解】 证明：当时，，要证， 即证， 记函数，定义域为，可得， 令， 由，可得在为单调增函数， 因为，且， 所以存在，使得，即，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 将代入得，其中， 故，即 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $