专题02 垂直平分线和角平分线的判定及性质（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

专题02 垂直平分线和角平分线的判定及性质（六大题型） 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【题型3 垂直平分线的判定】 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【题型5 角平分线判定的应用】 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 1.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（　　） A．7 B．10 C．14 D．16 2.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 6．如图，在中，和分别垂直平分和，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2 垂直平分线性质的应用】 8．（2022秋•阜康市校级期末）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 9．（2022秋•凉山州期末）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【题型3 垂直平分线的判定】 10．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 11．如图，在中，已知平分交于点，过点作，，分别交、于点、点，求证：垂直平分． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 13．已知：如图，点D是边上的一点，过点D作，E，F为垂足，且，再过点D作交于点G． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 14．如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证： (1)平分； (2)是的垂直平分线． 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 18．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 19．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　35　°． 20.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为　11　． 【题型5 角平分线判定的应用】 21．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 22．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 23．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 24．如图，已知中，，，点为边上一点，请用尺规过点作一条直线，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） 25．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 26．某校七年级（1）班和（2）班的学生在点M，N处参加劳动实践活动，现要在道路所夹的区域内内部）设一个茶水供应站P．若要使点P到两条道路的距离相等，且使，请你用尺规作图法找到点P． 27．如图，在中， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 28．如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 29．如图，． (1)请用圆规和直尺或量角器作出的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 垂直平分线和角平分线的判定及性质（六大题型） 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【题型3 垂直平分线的判定】 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【题型5 角平分线判定的应用】 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 1.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（　　） A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝10， 故选：B． 2.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：连接AD， ∵点E为边AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5， ∴CD＝AD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝8， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵EN是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长8cm， ∴AD+DE+AE＝8cm， ∴BD+DE+EC＝8cm， ∴BC＝8cm， ∴BC的长为8cm； 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 故选：C． 6．如图，在中，和分别垂直平分和，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线的性质可得出，，根据三角形内角和定理可求出，即可得出，再根据角的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 【题型2 垂直平分线性质的应用】 8．（2022秋•阜康市校级期末）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 【答案】C 【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 9．（2022秋•凉山州期末）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等， ∴充电桩应该安装在△ABC三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【题型3 垂直平分线的判定】 10．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 11．如图，在中，已知平分交于点，过点作，，分别交、于点、点，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线得出，根据全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定推出即可． 【详解】证明：平分，，， ，， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为即可得到结论； （）连接，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由， 连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 13．已知：如图，点D是边上的一点，过点D作，E，F为垂足，且，再过点D作交于点G． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接先根据且，可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，故可得出垂直平分． 【详解】（1）证明：连接BD，如图， ∵，且， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， 由（1），可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 14．如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证： (1)平分； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等在线段垂直平分线上是解题的关键． （）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可； 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即平分； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线． 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】B 【解答】解：CD＝DE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm． 故选：B． 16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴ED＝DC， ∵DE＝3，BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9． 故选：C． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】D 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵DE⊥AB， ∴DE＝6cm， ∵∠1＝∠2， ∴AD是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm， ∵BC＝16cm， ∴BD＝10cm． 故选：D． 18．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　） A．58° B．64° C．122° D．124° 【答案】C 【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， 即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A ＝90°+×64° ＝122°． 故选：C． 19．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　35　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB＝∠DAB＝35°， 故答案为：35 20.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF＝SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF＝SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为64和42， ∴42+SRt△DEF＝64﹣SRt△DGH， ∴SRt△DEF＝11． 故答案为11． 【题型5 角平分线判定的应用】 21．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在三条角平分线的交点． 【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭应在三条角平分线的交点． 故选：C 22．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图，    三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 23．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 24．如图，已知中，，，点为边上一点，请用尺规过点作一条直线，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，作的角平分线，交于点，由角平分线的性质可得点到的距离相等，即可得，故点即为所求，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 25．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作的平分线即可求解； （2）过点作于点交的延长线于点．根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作的平分线． （2）如图，过点作于点交的延长线于点． 平分， ． ， ． ， ． ， ． 26．某校七年级（1）班和（2）班的学生在点M，N处参加劳动实践活动，现要在道路所夹的区域内内部）设一个茶水供应站P．若要使点P到两条道路的距离相等，且使，请你用尺规作图法找到点P． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及其作法，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 用尺规作图作出的平分线和线段的中垂线的交点即可． 【详解】解：如图：点P即为所求． 27．如图，在中， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点，则为所作； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证得的周长，由三角形的周长公式可求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：为的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长． 28．如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， ，即到的距离为3． 29．如图，． (1)请用圆规和直尺或量角器作出的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是正确作图，灵活运用平行线的性质． （1）根据题意作出的平分线即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，， ∴， ， ∵平分， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$