专题03 中考解答题压轴题分类汇编-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

专题03 中考解答题压轴题分类汇编 助力莘莘学子突破中考压轴题“大关”，全力冲刺高分！以下是中考数学常考的类型主要包含一下九大类： （1）线段、角的计算与证明问题； （2） 图形位置关系； （3）动态几何； （4）一元二次方程与二次函数； （5）多种函数交叉综合问题； （6）列方程(组解应用题)； （7）动态几何与函数问题； （8）几何图形的归纳、猜想问题； （9）阅读理解问题； 类型一：线段、角的计算与证明问题 1．在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 2．设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． (1)若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； (2)如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 3.【基础巩固】 （1）如图1，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （2）如图2，四边形为平行四边形，平分交于D，延长，交于A，若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在圆O的中，直径，点D在圆上，点C在圆外，若四边形是菱形，连接交于点E，平分交于点F，在上找一点G，使为定值，说明理由并求出的值． 4．【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 5．如图，已知，点为平面内一点，于点．    (1)如图1，过点作于点，延长交于，请说明； (2)如图2，在（1）问的条件下，点，分别在上，连接，，．已知平分，平分，若，，求． 类型二：图形位置关系 1．某种装置由两个厚度均为的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为，的半径为．将该装置放置在水平桌面上，与桌面的接触点为P．装置内部存有一定液体，液面记为，已知，内侧金属块可转动一定的角度． (1)当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接．求证：． (2)如图3，当内侧金属块转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 2．（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 3．以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 【操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 4．在中，M是斜边的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线外，连接，．已知点D和边上的点E满足，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的值． 5．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 6．如图，正方形的边长是1，点E是边上一动点（不与D、C两点重合），将沿折叠得，延长交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)点E在运动过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出的周长． (3)当点E运动到什么位置时，？ 类型三：动态几何 1．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 2．如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 3．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 4．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，． (1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ； (2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：； (3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长． 5．如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 6．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 类型四：一元二次方程与二次函数 1．已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 2．已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 3．随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处． ①在图2中以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端到点的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求的取值范围． 4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 类型五：多种函数交叉综合问题 1．在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 2．如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 类型六：列方程(组解应用题) 1．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 2．2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 3．2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． (2)某公司举行“追梦新时代  巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ (3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？ 4．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 5．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 6．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 类型七：动态几何与函数问题 1．如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 2．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 3．如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象； (3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 4.如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 5．如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为． (1)请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0） (2)在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 6．如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 7．如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程． 的根．点 P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P 运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为 S． (1)求S关于t的函数关系式； (2)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出____， =______ ，并在图2的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)的面积是 的面积2倍时，求线段的长． 类型八：几何图形的归纳、猜想问题 1．已知抛物线的解析式为，且经过点和点． (1)求抛物线的解析式． (2)在人教版教材八年级（上册），学习“13.2画轴对称图形”中，有下列归纳内容：     归纳 点关于x轴对称的点的坐标为； 点关于y轴对称的点的坐标为． 利用上述规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形． 【验证】 点关于y轴对称的点的坐标为________________． 【拓展】 ①在平面直角坐标系中画出已知抛物线关于y轴对称的抛物线，并写出抛物线的解析式________． ②在平面直角坐标系中，有一条直线，请根据图象，直接写出直线与抛物线和抛物线有4个交点时a的取值范围． 2．综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接． 探索发现： （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 猜想证明： （2）如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，在图1的基础上连接交于点，连接，猜想的形状，并说明理由． 3．已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 4．综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图，在矩形纸片中，若边，，与交于点． 请判断与对角线的位置关系，并说明理由； 当时，请求出此时的长． 5．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 6．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 7．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 8．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．    【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 类型九：阅读理解问题 1．阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 2．【背景阅读】图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美． 【数据收集】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度/ 凳面的宽度/ 【数据分析】该数学兴趣小组以对应的一组，的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上． 【建模应用】 （1）求与之间满足的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 3．阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 4．阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数. 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论. 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值. 5．【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）； 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． （1）请根据上述过程完成下列问题： ①连接，如图，请判断的形状，并说明理由； ②请直接写出： ______． 【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①请在边上找一点，使， ②过点作，交于点，连接．    【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中考解答题压轴题分类汇编 助力莘莘学子突破中考压轴题“大关”，全力冲刺高分！以下是中考数学常考的类型主要包含一下九大类： （1）线段、角的计算与证明问题； （2） 图形位置关系； （3）动态几何； （4）一元二次方程与二次函数； （5）多种函数交叉综合问题； （6）列方程(组解应用题)； （7）动态几何与函数问题； （8）几何图形的归纳、猜想问题； （9）阅读理解问题； 类型一：线段、角的计算与证明问题 1．在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． (1)若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； (2)如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 【答案】(1)①；②或 (2)存在， (3) 【分析】（1）①根据材料提示的计算方法分类讨论“或”计算，结合实际情况取值，即可求解；②根据材料提示，分类讨论“或”，即可求解； （2）证明，可得，由此即可求解； （3）证明可得，，证明可得，，设，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：∵是“倍余子母形”， ， ∴①当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，，不符合题意，舍去； 故答案为：； ②当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，； 故答案为：或； （2）解：存在，，理由如下， 如图所示，假设上有一点，满足是“倍余子母形”， ∵是“倍余子母形”， ∴只有当， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴存在，； （3）解：在四边形中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当是“倍余子母形”时， ∵，但， ∴只有， ∴，且， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，新定义，角度的和差计算等知识的综合，理解材料中“倍余子母形”的含义，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3.【基础巩固】 （1）如图1，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （2）如图2，四边形为平行四边形，平分交于D，延长，交于A，若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在圆O的中，直径，点D在圆上，点C在圆外，若四边形是菱形，连接交于点E，平分交于点F，在上找一点G，使为定值，说明理由并求出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（1）为定值，，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线和等边对等角得到，即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后由，设，则，，再推导，即可解题； （3）在上找一点G，使，连接，连接交于点P，得到四边形是菱形，然后证明和，根据相似三角形的对应边成比例即可解题． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）解：在上找一点G，使，则为定值，此时．理由： 在上找一点G，使，连接，连接交于点P，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 此时． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质,圆周角定理，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)平分 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【详解】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 5．如图，已知，点为平面内一点，于点．    (1)如图1，过点作于点，延长交于，请说明； (2)如图2，在（1）问的条件下，点，分别在上，连接，，．已知平分，平分，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，得，从而得到，，，结合得到的，通过等量代换得到结果； （2）设，通过题中的等量关系用含有的式子表示，，，等角，然后利用列出关于的方程，求得的大小即为的度数． 【详解】（1）， ． ， ，， ， ， ， ． （2）平分，平分， ，， 设，则，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和．解题的关键是利用已知条件和已得的结论用含有的式子表示相关的角的度数，本题利用到了方程的思想解题． 类型二：图形位置关系 1．某种装置由两个厚度均为的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两弧所对的圆心角均为，的半径为．将该装置放置在水平桌面上，与桌面的接触点为P．装置内部存有一定液体，液面记为，已知，内侧金属块可转动一定的角度． (1)当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接．求证：． (2)如图3，当内侧金属块转动至点B，O，P共线时，液面的一端E恰与点A重合，求液面的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意知，再证明即可； （2）连接交于点G，则经过点O，由题意得：与相切于点P，那么，可得，连接，则，那么，可得，则，即可求解． 【详解】（1）证明：如图（1），连接， 由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接交于点G，则经过点O， 由题意得：与相切于点P， ∴， 又， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． 2．（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________； （2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°； （3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：． 【答案】（1）垂直（或）；（2）45；（3）见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，得出，进而利用，即可得出答案； （2）由得出，进而证明即可求得答案； （3）可分别证明以及，然后结合，，可得，进一步即可得证． 【详解】解：（1）延长交于点，如图： ， ， 四边形和是正方形， ， ，即； 故答案为：垂直（或）； （2） ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：45； （3）过作，交于点，如图： 由（2）知在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵，， ， ，即． 3．以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 【操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 【答案】（）见解析；（） ； ；（）． 【分析】（）连接，由中位线定理可得，则，然后证明即可； （）由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解； 先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可； （）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解． 【详解】证明: 如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）如图，记交于点， ∵，，为中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，，三点共线, ∴， ∴， ∴， 设， 在中， 由勾股定理，得， 则， 解得， ∴； （）如图，过作于点， ∵为定值， ∴当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可， ∵， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， ∵， ∴此时三点共线， 即， ∴， 即面积最大值为， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．在中，M是斜边的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线外，连接，．已知点D和边上的点E满足，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1） 根据题意可得，即可证明四边形和四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是菱形，得，结合，可得A、C、D、B四点共圆，则有，即可证明； （2）过点E作于点H，则，利用勾股定理得，结合菱形得性质求得，可得，求得和，即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴A、C、D、B四点共圆， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作于点H， 则， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，菱形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理的推论，勾股定理，以及解直角三角形．解题的关键是熟悉特殊四边形的判定和性质，以及圆周角定理． 5．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中______°； (2)迁移探究 小新同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，求和的度数； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，可证，即可求解， ②根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：30； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ； ， ， ， ， ； ②，理由如下： ，， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可得，， 设，， ， 即， 解得：， ∴ 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ∴． 综上所述：为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 6．如图，正方形的边长是1，点E是边上一动点（不与D、C两点重合），将沿折叠得，延长交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)点E在运动过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出的周长． (3)当点E运动到什么位置时，？ 【答案】(1)详见解析 (2)的周长不发生变化，始终是定值2 (3)当点E运动到时， 【分析】（1）根据折叠 性质，得，再证出得到． （2）根据，，结合正方形的性质，三角形的周长表示法解答即可． （3）根据，结合正方形的性质，证明，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：根据折叠的性质，得， ∴， ∵正方形的边长是1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 平分． （2）解：根据，， ∴， ∴ ， 的周长不变，且为2． （3）当点E运动到时，． ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 由勾股定理，得， （舍去）． 故当点E运动到时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，解方程，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 类型三：动态几何 1．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 2．如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② (4)， 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求解； （2）当点D和点C重合时，根据，求得的值，进而求解的值， （3）①根据题意，作图即可，②当点D在射线上时，根据对称性，可知，进而求解的值， （4）当点D恰好落在边上时，过点Q作，判定，，当点D落在上时，进而求解的值； 【详解】（1）解： ，，， ， 故答案为：； （2）解：当点D和点C重合时，如图1，，，， 则由题意可得， 所以， 解得：， ∴； （3）解：①如图2所示，线段即为所求． ②当点D在射线上时，根据对称性，可知， ∵，， ∴，解得：； （4）解：当点D恰好落在边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3． ∴， ∴． ∴， 设，则，． ∵，， ， ， ∴， ∴． 由，得，， 解得， ， 将代入，得， 解得：． 如图4，当点D落在上时， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：． 所以点D在内部的时长为， 综上，t的值为，． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 3．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的性质，矩形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意知，，则可求出，再由轴对称图形的性质即可得到答案； （2）可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （4）延长交于，过作于．证明，得到，同理可得，证明四边形是矩形，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意知，， ， 与关于直线对称， ； （2）解：当四边形是梯形时，， ， ∴，即， 解得：， 故为2秒时，四边形是梯形， 故答案为：2； （3）解：设某一时刻，，延长交于点，如图， 若，则， 又， ∴， ， ，，， ， ， ，， ， ， 即，解得． （4）解：延长交于，过作于． ∵， ∴， ∴，即， ， 同理可得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ． ， 解得． 故答案为：． 4．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，． (1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ； (2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：； (3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的长为或． 【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （）点三点共线，分类讨论，推理即可求解； 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为: ； （2）证明：如图所示，连接， 由（）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，三点共线， 由（）可知，， 由（）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴（不符合题意）； 如图所示，由（）可知，，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图所示，连接， 根据（）中的证明可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 5．如图，在等腰中，，点D为延长线上一点，且．现有一动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点D作，交的延长线于点E，连接．设运动时间为t（s）．（） (1)试猜想与的位置关系，并证明． (2)当t为何值时，？ (3)直接写出四边形的面积与之间的函数关系式． (4)取中点M，连接并延长，交于点N，随着时间t的变化，N点位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当t值为1时， (3) (4)N点位置不发生变化，，理由见解析 【分析】（1）证明，得出即可证明结论； （2）先求出，证明四边形是平行四边形，得出，进而列方程求出结论； （3）根据即可求出； （4）证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得：， 当t值为1时，； （3）解：，，， ； （4）解：N点位置不发生变化，，理由如下： 如下图： ， ， 是中点， ， ， ， 随着时间t的变化，N点位置不发生变化，． 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，求函数解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题关键． 6．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时， (3) 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接，    当时，，即， ， ，，, ，，即， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得， ，， ，， 同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接    同（1）中原理，可证明， 可得， ，， ，， 同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，   ， ，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 根据（2）中的结论， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 类型四：一元二次方程与二次函数 1．已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②4 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式得关系． （1）①根据题意可得对称轴为直线，继而列式解出的值；②利用即可求出的值； （2）根据抛物线对称性特点，点关于直线的对称点为，再根据二次函数增减性列出不等式即可求解； （3）根据题意可得二次函数最小值为，继而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①∵当时，， ∴对称轴为：直线， ∵点、在二次函数的图像上， ∴，即：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴，即：， 故答案为：； （2）解：∵对称轴为：直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵，，对于任意实数、都有， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）①根据两个交点的横坐标之和为4求出即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； （2）由对称轴为直线求出，从而可求出当时函数取得最小值，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①设两个交点的坐标为， 两个交点的横坐标之和为4， ， ， ， 二次函数的解析式为． ②∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，当时； 取值范围为：． （2）解：对称轴为直线， ， ； 二次函数关系式为； 当时取最小值． ①若， 则当时，， 当时，． ； 即， （舍）； ②若，则最小值为时取得． 若时取最大值，则， 即， （舍），， 的取值范围为， 若时取最大值，， 有，符合题意， 综上所述n的取值范围为． 3．随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处． ①在图2中以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端到点的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式． （1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式； ②令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可； （2）由题意可得：，，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求出的最小值和最大值，即可求出的取值范围； 解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：①以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示： ， 设抛物线解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②令，得， 解得：，， ∴， ∴， ∴喷灌器低端到点的距离为； （2）如图所示： ， ∴， ∴，， 设， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴此时， ∴； 设， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴此时， ∴， ∴使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标； （2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或； （3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 解得：， ∴， 整理得， 则顶点坐标为； （2）解：将代入， 解得 ∵，当时， 解得，， ∴或； （3）解：设直线的函数表达式为 将，代入得 ， 解得： ∴直线的函数表达式为 设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得 即 ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． （）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点，； （）当时，，令，则，即，求出直线的解析式为，设，，则可求出关于的函数解析式为；然后通过，再由二次函数的性质即可求解； （）分两种情况讨论：和，结合图象确定有个整数点时，的最大值和最小值，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵， 令，则， ∵， ∴或， ∴，； （2）解：当时，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵动直线与抛物线交于点，与直线交于点， 设，， ∵线段的长为， ∴， 即关于的函数解析式为； 由题意可知，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大，最大值为， ∴当时，， 此时，， ∴当面积最大时，，； （3）解：若， ∴，顶点应满足且， 得； 若， ∴，顶点应满足且，得； ∴的取值范围是或． 类型五：多种函数交叉综合问题 1．在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【答案】(1)（答案不唯一） (2)函数是“整点函数”，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数综合： （1）求出恰好经过A、B的直线解析式即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用直线和反比例函数解析式，求出二者的交点坐标即可得到结论； （3）先利用待定系数法求出，进而得到对称轴为直线，则抛物线一定经过点，再分当，当两种情况讨论求解即可； （4）根据（3）所求分当，当两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当直线恰好经过A、B时符合题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 由题意得，，， 直线的解析式为． 联立，解得或， 与线段有两个交点，分别为和，且都是整点； 函数是“整点函数”； （3）解：当时，，， ∴中点坐标， 过， ， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，抛物线一定经过点， 当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为， ， ， ； 当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，， ∴， ． 综上，的取值范围是或． （4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线． ①当时，则顶点为最高点，为最低点， ， 整理得，，（舍）， ②当时，， 抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， 最高点为点，最低点为点． ． 解得（舍），． 综上所述，的值为1． 2．如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确，理由见解析 (3)①；②或 (4) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 类型六：列方程(组解应用题) 1．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 2．2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 【答案】元件的生产成本是否符合“要求”，理由见详解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设降低成本前的，两个元件分别为a元和b元，则进行技术革新后，两个元件分别为元和元，且元，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组求解，再得出，与350比较即可得出答案． 【详解】解：元件的生产成本是否符合“要求”，理由如下： 设降低成本前的，两个元件分别为a元和b元， 则进行技术革新后，两个元件分别为元和元，且元， 根据题意有：， 解得：． 则元， 即这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求” 3．2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． (2)某公司举行“追梦新时代  巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ (3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？ 【答案】(1)A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元 (2)购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱 (3)特许商品店打折后，该公司共能省212元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程和一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元，然后根据题意列二元一次方程求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式并求最小整数值，再根据一次函数求最小值，即可解答； （3）根据题意列算式计算即可． 【详解】（1）解：设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元， 由题意可知， 解得， 答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元； （2）解：由题意可知：， ， 设总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取最小值， ， 购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱； （3）解：（元）， 答：特许商品店打折后，该公司共能省212元． 4．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了解分式方程，分式的运算，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下： 证明：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： 5．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 6．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 类型七：动态几何与函数问题 1．如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)当时，，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，则可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形是正方形，，， ，， ，， ， ； （2）解：四边形是边长为3的正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，， 理由：， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 2．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象； (3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时的取值范围为 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，，在中，，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象分析，找图象在图象上方及交点的部分． 本题主要考查了一次函数与几何结合问题、反比例函数的图象与性质、勾股定理及解直角三角形等内容，利用数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：依题意，列表： 0 1 2 5 6 0 10 5 2 描点，连线，函数图象如图所示， （3）解：由图象得，当时的取值范围为． 4.如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见详解； 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． (3)或 【分析】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及勾股定理、解直角三角形和解不等式，解题的关键是熟悉关键是分情况讨论． （1）根据勾股定理求得，结合题意可得，依据，即可求得点M在线段上；当点M在线段上时，结合和，即，求得y即可； （2）根据描点连线作图即可，结合图象写出性质即可； （3）结合解不等式的方法和分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵点到的距离，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点M在线段上时，，此时，， ∴，即，， 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴，此时，， ∵， ∴，即， ∴，， 则 （2）解：画函数图象如图所示： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，解得，则； 当时，，解得，则； 故或 5．如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为． (1)请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0） (2)在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图见详解，在时，随的增大而减小． (3)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解直角三角形的相关运算，勾股定理，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用三角函数的性质列式算出，结合面积公式列式计算，得，然后运用三角函数的性质列式算出，，则的周长，的周长，即可得． （2）根据以及分别作图，再结合一次函数的性质，进行作答即可． （3）运用数形结合思想，得出结合图象，当时，则或． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 则， ∴； ∵点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止． ∴， ∴，， 在时，； 在时，； 综上，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴； 则的周长，的周长， ． （2）解：如图所示： ∴ 依题意，在时，随的增大而减小． （3）解：结合图象，当时，则或． 6．如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由勾股定理得，，由翻折的性质可知，，，则，由直线过点C，可知，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）如图2，连接，由勾股定理得，，同理（1）可知，，，，由题意得，，由勾股定理得，，即，，即，则，计算求解即可； （3）由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3，则；②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H，则，，如图4，作于G，则四边形是矩形，则，设，则，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∵直线过点C， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴当时，直线过点C； （2）解：如图2，连接， 由勾股定理得，， 同理（1）可知，，，， 由题意得，， 由勾股定理得，，即， ，即， ∴， 解得， 当时，直线经过点F； （3）解：由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3， ∴； ②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图4，作于G，则四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式是解题的关键． 7．如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程． 的根．点 P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P 运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为 S． (1)求S关于t的函数关系式； (2)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出____， =______ ，并在图2的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)的面积是 的面积2倍时，求线段的长． 【答案】(1) (2)；图象见解析； (3)线段长为 或． 【分析】本题主要考查正方形的性质，解一元二次方程，二次函数的图像和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先解方程再根据正方形的性质求出，当时和分别计算函数解析式即可； （2）根据题意描点画图即可； （3）当时，，当，时， 如图3，，分别计算面积即可． 【详解】（1）解：解方程． 得 正方形的边长为4， 为的中点， ， 当时，， ， 当时， ， ， ， 综上． （2）解：当时，， 当时，， 画出函数图象如图1： （3）解：当时， 如图2， ， 的面积 解得：或 (舍去)． 当 时， 当时， 如图3，， 的面积 解得∶或 (舍去)． 当时， 综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或． 类型八：几何图形的归纳、猜想问题 1．已知抛物线的解析式为，且经过点和点． (1)求抛物线的解析式． (2)在人教版教材八年级（上册），学习“13.2画轴对称图形”中，有下列归纳内容：     归纳 点关于x轴对称的点的坐标为； 点关于y轴对称的点的坐标为． 利用上述规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中画出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形． 【验证】 点关于y轴对称的点的坐标为________________． 【拓展】 ①在平面直角坐标系中画出已知抛物线关于y轴对称的抛物线，并写出抛物线的解析式________． ②在平面直角坐标系中，有一条直线，请根据图象，直接写出直线与抛物线和抛物线有4个交点时a的取值范围． 【答案】(1) (2)[验证]；[拓展]①画图见解析，；②且 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的性质，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）[验证]根据关于y轴对称点的特征求解即可； [拓展]①求出抛物线三个点关于y轴对称的点的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后作出抛物线的图象即可； ②根据①中函数图象，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：[验证] 点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：； [拓展] 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， 点和点，关于y 轴的对称点为，，， 设抛物线的解析式为， 把，，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 画图如下， ②抛物线的解析式为 抛物线的解析式为， 观察图象知：直线与抛物线和抛物线有2个交点，直线与抛物线和抛物线有3个交点， ∴当且时，直线与抛物线和抛物线有4个交点． 2．综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接． 探索发现： （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 猜想证明： （2）如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，在图1的基础上连接交于点，连接，猜想的形状，并说明理由． 【答案】（1）猜想，见解析（2），理由见解析（3）是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由正方形的性质得，再证明，即可作答． （2）先由得，则三点共线，再结合正方形的性质，证明，即可作答． （3）先由正方形的性质，得，结合由（1）知，得，因为，则，最后由，得，即可作答． 【详解】解：（1）猜想． 证明：四边形和四边形是正方形， 则， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， 三点共线， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ． （3）是等腰直角三角形． 理由如下：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ， 又， ， 因此， 四边形是正方形， ， 又， ， 因此是等腰直角三角形． 3．已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）根据四边形为矩形，同角的余角相等可证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当时，成立，理由为：如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）当时，成立， 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图，在矩形纸片中，若边，，与交于点． 请判断与对角线的位置关系，并说明理由； 当时，请求出此时的长． 【答案】（）四边形是菱形，理由见解析；（） ，理由见解析； 或． 【分析】（）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形的四条边相等，即可证明菱形； （）先证明是等边三角形，再证明即可得出答案； 当点在线段上时， 设与交于点，先证明，再求得，即可列方程求解；当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，同理，再求得，再列方程求解即可． 【详解】解：（）四边形是菱形，理由如下： ∵将矩形纸片折叠，点与点重合， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （） ，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 四边形是矩形， 如图，点在线段上时，设与交于点， ∴，由知， ∴， ∵， ∴， ∵与是折叠图形中的对应角， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 5．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，从而可得，由勾股定理得出，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可得，求出，从而可得，即可得解； （3）①根据“垂中平行四边形”的定义画出图形即可；②根据①中画出的图形，分别结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①第一种情况：如图①，作的平行线，并使得，连接，则四边形为平行四边形， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴四边形即为所求的“垂中平行四边形”； 第二种情况：如图②，作的平分线，并取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故点为的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为所求的“垂中平行四边形”； 第三种情况：如图③，作，交的延长线于点，连接，在的延长线上取点，使得，连接，则点为的中点， 同理可得证明，则，则四边形为平行四边形， 故四边形为所求的“垂中平行四边形”；     ②若按照上图①作图， 由题意可得，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 作于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若按照上图②作图， 延长、交于点， 同理可得，是等腰三角形， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 若按照上图③作图，则没有交点，不存在，故不符合题意， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 6．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 7．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 8．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．    【猜想】 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （ ） ∴ （等量代换） ∴（ ） 【应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】【验证】；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；【应用】（1），见解析；（2）5 【验证】（1）由折叠得，由平行线性质，得，于是 ，进而可得证，  即； （2）由折叠得，，．在中，根据勾股定理，构建方程求解得，得. 【详解】解：【验证】∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴ ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） ∴（等角对等边  ） 【应用】（1）     理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形 ∴ ∵四边形是矩形   ∴（矩形的对边平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴   ∴（等角对等边） ∵ ∴  即；   （2）∵矩形沿所在直线折叠 ∴，，． 设 ∴ 在中， ∴（勾股定理） ∴  解得 ∴. 【点睛】本题考查轴对称折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等角对等边；根据折叠的性质得到线段相等、角相等是解题的关键． 类型九：阅读理解问题 1．阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)当能被5整除时，即或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把四位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【详解】（1）解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； （2）解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 2．【背景阅读】图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美． 【数据收集】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度/ 凳面的宽度/ 【数据分析】该数学兴趣小组以对应的一组，的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上． 【建模应用】 （1）求与之间满足的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为；（2）当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值范围求自变量取值范围等． （1）根据题意设与之间的函数关系式为、为常数，且，将两个已知的点坐标代入求出即可； （2）根据已知信息求出对应的范围即可． 【详解】解：（1）由题意可知，与之间为一次函数关系． 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）当时，即， 解得：， 当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围． 3．阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据三角形中位线的性质以及平行四边形的判定即可得到答案； （2）先证明，，，得到，，有，，再证明，，从而知道，同理可证，，最后推出； （3）先证明，得到，由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和可知，，接着证明，然后在中利用勾股定理求得，求得答案． 【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数. 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论. 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值. 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 5．【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）； 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． （1）请根据上述过程完成下列问题： ①连接，如图，请判断的形状，并说明理由； ②请直接写出： ______． 【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①请在边上找一点，使， ②过点作，交于点，连接．    【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积． 【答案】阅读思考：①为等边三角形，理由见解析；②；实践操作：①见解析；②见解析；拓展应用： 【分析】阅读思考：①由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质结合折叠的性质即可得出答案； 实践操作：①先作的垂直平分线交于，交于，再以为圆心，为半径画弧交于，连接，再作的垂直平分线即可；②以为圆心，任意长度为半径画弧交于、，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交于，连接即可； 拓展应用：解直角三角形求出、的长，再根据面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：阅读思考：①为等边三角形，理由如下： 由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； ②∵为等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； 实践操作：①点即为所求， ②如图，点即为所求， 拓展应用：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、作图—复杂作图、解直角三角形、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$