（期末专项复习）专题04 长方体和正方体的表面积和体积(知识梳理+易错分析+真题培优卷）2024-2025学年人教版数学五年级下学期拔高冲刺汇编（学生版+教师版）

2023-2024学年人教版数学五年级下学期拔高冲刺讲义（期末专项复习） 专题04 长方体和正方体的表面积和体积 （知识梳理+易错分析+期末真题汇编培优卷） 同学你好，该套讲义结合人教版数学五年级下册同步内容进行汇编整理，结合数与代数，图形与几何，统计与概率内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：观察物体的三视图；2,5,3的倍数特征；合数与质数；长方体和正方体的表面积和体积；分数的性质与加减运算；数学广角—找次品等六个专题。对相关专题进行知识全面梳理精讲，易错点进行分析提示，主要精选各地名校历年期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！相信你在期末考试中考出理想成绩！ 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 易错点01：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点02：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点03：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．反复比较，精心选择。（选择正确答案的序号）（共10分） 1．（2分）（2024秋•南京期末）观察图中数字1、2、3所在的位置，挖掉（　　）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 2．（2分）（2024秋•海安市期末）小华在一个无盖的长方体玻璃容器内，摆了一些棱长1厘米的小正方体（如图）。这个容器的容积是（　　）立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） A．72 B．60 C．45 D．36 3．（2分）（2024秋•故城县期末）下面容器中，（　　）大约能盛8升水。 A． B． C． 4．（2分）（2024秋•合肥期末）甲容器的容量是3升，乙容器的容量是3100毫升。则甲容器的容量和乙容器的容量相比，（　　） A．甲容器大 B．乙容器大 C．无法比较 5．（2分）（2024秋•阎良区期末）一个长方体木块，如果从上部截去高为2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了48平方分米。原来长方体的体积是（　　）立方分米。 A．144 B．216 C．252 D．288 二、认真读题，准确填写。（共12分） 6．（2分）（2024秋•万柏林区期末）如图，在一个长25cm、宽20cm、高25cm的长方体空水槽内放入一个长方体铁块，以均匀的速度向水槽内注水，直至注满水槽为止，在此过程中水面上升的高度h与注水时间t之间的关系如图2所示（玻璃厚度忽略不计），长方体铁块的体积是 　 　 立方厘米。 7．（2分）（2024秋•万柏林区期末）艺术节期间，学校要给台阶表面铺红地毯（如图），每节台阶大小一样，至少需要 　 　 平方米的红地毯。 8．（2分）（2024秋•枣强县期末）根据《淮南万毕术》的记载，早在2000多年前中国古人就掌握了夏造冰的技术。一块棱长厘米的正方体冰块，它的表面积是 　 　 平方厘米，体积是 　 　 立方厘米。 9．（2分）（2024秋•张家港市期末）商鞅方升（如图）是商鞅为案国变法统一度量衡时所监制的标准量器。据史料记载，它的内长5.4寸，宽3寸，深1寸（寸为当时计量长度的单位）。它的容积为 　 　 立方寸（棱长为1寸的正方体，体积是1立方寸）。如果把8.1立方寸水倒进商鞅方升中，那么水深为 　 　 寸。 10．（2分）（2024秋•包河区期末）一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃 　 　 平方分米。 11．（2分）（2024秋•鼓楼区期末）一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米，宽5厘米，高12厘米。乐乐倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示，乐乐倒出了 　 　 毫升牛奶。 12．（2分）（2024秋•海安市期末）在我国古典数学名著《九章算术》中，我国古人记录了12种不同的体积计算公式。图是古代城、垣、堤等的形状，它的上下面是长相等、宽不等的两个长方形，前后面是相同的两个长方形，左右面是相同的两个等腰梯形。请试着写出它的体积计算公式，V＝ 　 　 。 13．（2分）（2024秋•南京期末）如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是 　 　 平方厘米，体积是 　 　 立方厘米。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度600mL升高到800mL，土豆的体积是800cm3。 　 　 （判断对错） 15．（2分）（2024春•惠来县期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积也扩大到原来的3倍。 　 　 （判断对错） 16．（2分）（2024春•沈北新区期末）从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。 　 　 （判断对错） 17．（2分）（2024春•大厂县期末）棱长是6厘米的正方体体积和表面积相等。 　 　 （判断对错） 18．（2分）（2022春•巴东县期末）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　 　 （判断对错） 四．看图列式，用心计算（共2小题，满分9分） 19．（4分）（2024春•洪江市期末）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米） 20．（5分）（2024春•祁县期末）小刚将一个土豆浸没在水中，求土豆的体积是多少立方厘米？ 五、运用知识，解决问题（共55分） 21．（6分）（2024秋•张家港市期末）小明打算用一张长8分米，宽4分米的长方形卡纸，做一个高1分米的长方体无盖纸盒。（粘贴处耗材不计） （1）小明设计的裁剪方法如图，这种设计方案卡纸的利用率是多少？做成的这个长方体纸盒的容积是多少？ （2） 如果要使这张卡纸的利用率为100%，请在如图中画出裁剪方法，算一算，按照你的方法做成的长方体纸盒的容积是多少？ 22．（6分）（2024秋•惠山区期末）一个长方体形状的食品盒，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。 （1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸盒的厚度忽略不计） 23．（5分）（2024秋•天宁区期末）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面。给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 24．（5分）（2024秋•甘谷县期末）2010年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是60米，宽是长的，深2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？ （3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 25． （5分）（2024春•东坡区期末）张叔叔准备做3个底面是正方形，高36cm的长方体通风管，将通风管侧面展开后恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5cm2），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？ 26．（5分）（2024春•信都区期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形、用剩下的纸折成一个无盖收纳盒，这个收纳盒所用纸板的面积是多少cm2？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中。（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能拼压）。收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 27．（5分）（2024春•历城区期末）某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209cm2，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 28．（6分）（2024春•福清市期中）小亮为了弄清楚一个不规则铜块的体积，进行了如下的准备： （1）准备了一个棱长为6分米的正方体玻璃缸； （2）往玻璃缸内倒入五分米深的水； （3）把铜块放入玻璃缸内，发现铜块完全被淹没，水面上升到离缸口还有8厘米处． 请你帮助小亮算出这个铜块的体积． 29．（6分）（2024春•淮滨县期末）一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 30．（6分）（2024春•椒江区期末）如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学五年级下学期拔高冲刺讲义（期末专项复习） 专题04 长方体和正方体的表面积和体积 （知识梳理+易错分析+期末真题汇编培优卷） 同学你好，该套讲义结合人教版数学五年级下册同步内容进行汇编整理，结合数与代数，图形与几何，统计与概率内容进行专项划分。本套讲义根据考察方向与重难点内容将全册内容细致划分划分为：观察物体的三视图；2,5,3的倍数特征；合数与质数；长方体和正方体的表面积和体积；分数的性质与加减运算；数学广角—找次品等六个专题。对相关专题进行知识全面梳理精讲，易错点进行分析提示，主要精选各地名校历年期末真题。百分制汇编卷！ 本套讲义帮助同学梳理考察点，明确本学期学习重难点，熟悉考题类型，查漏补缺，提高解题能力，掌握做题技巧，解题思路清晰完整，有助于规范答题步骤！相信你在期末考试中考出理想成绩！ 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 易错点01：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点02：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点03：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．反复比较，精心选择。（选择正确答案的序号）（共10分） 1．（2分）（2024秋•南京期末）观察图中数字1、2、3所在的位置，挖掉（　　）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 【思路引导】挖掉数字1处的一个小正方体，表面积不变，挖掉数字2处的一个小正方体剩下部分表面积增加了4个小正方形的面积，挖掉数字3处的一个小正方体，增加2个小正方形的面积，据此解答即可。 【规范解答】解：挖掉数字1处的一个小正方体，表面积不变；挖掉数字2处的一个小正方体剩下部分表面积增加了4个小正方形的面积，挖掉数字3处的一个小正方体，增加2个小正方形的面积，所以挖掉数字2处的小正方体后剩下部分的表面积最大。 故选：B。 【考点评析】解答此题的关键是理解表面积的意义。 2．（2分）（2024秋•海安市期末）小华在一个无盖的长方体玻璃容器内，摆了一些棱长1厘米的小正方体（如图）。这个容器的容积是（　　）立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） A．72 B．60 C．45 D．36 【思路引导】通过观察图形可知，这个长方体容器的长是5厘米，宽是3厘米，高是3厘米，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：5×3×3 ＝15×3 ＝45（立方厘米） 答：这个容器的容积是45立方厘米。 故选：C。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2分）（2024秋•故城县期末）下面容器中，（　　）大约能盛8升水。 A． B． C． 【思路引导】根据生活实际情况，一个洗脸盆大约能盛8升水，据此解答即可。 【规范解答】解：上面容器中，一个洗脸盆大约能盛8升水。 故选：A。 【考点评析】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。 4．（2分）（2024秋•合肥期末）甲容器的容量是3升，乙容器的容量是3100毫升。则甲容器的容量和乙容器的容量相比，（　　） A．甲容器大 B．乙容器大 C．无法比较 【思路引导】因为升1＝1000毫升，那么3升＝3000毫升，再根据整数大小比较的方法进行比较即可。 【规范解答】解：3升＝3000毫升 3000毫升＜3100毫升 所以乙容器的容量大。 故选：B。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握容积单位相邻单位之间的进率及换算的方法应用，整数大小比较的方法及应用。 5．（2分）（2024秋•阎良区期末）一个长方体木块，如果从上部截去高为2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了48平方分米。原来长方体的体积是（　　）立方分米。 A．144 B．216 C．252 D．288 【思路引导】根据题意：高截去2分米，表面积减少了48平方分米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出一个面的面积，再用一个面的面积除以2分米，即可求出原来长方体的长和宽，原来长方体的高比长多2分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：48÷4÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6+2＝8（分米） 6×6×8 ＝36×8 ＝288（立方分米） 答：原来长方体的体积是288立方分米。 故选：D。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二、认真读题，准确填写。（共12分） 6．（2分）（2024秋•万柏林区期末）如图，在一个长25cm、宽20cm、高25cm的长方体空水槽内放入一个长方体铁块，以均匀的速度向水槽内注水，直至注满水槽为止，在此过程中水面上升的高度h与注水时间t之间的关系如图2所示（玻璃厚度忽略不计），长方体铁块的体积是 　7000　 立方厘米。 【思路引导】通过观察由图可知，前10分钟注水高度15厘米与铁块高度相同，后100分钟注水高度是25﹣15＝10厘米，是铁块顶部到水槽顶部之间的高度，根据长方体体积＝长×宽×高，即25×20×（25﹣15）求出后100秒的注水体积，然后用后100秒注水体积÷时间即可求出注水速度，用注水速度×10求出前10秒的注水量，再用25×20×15求出前10秒注水量和铁块体积的和，最后用出前10秒注水量和铁块体积的和减去前10秒注水量即可解答。 【规范解答】解：25×20×（25﹣15） ＝500×10 ＝5000（立方厘米） 5000÷（110﹣10）×10 ＝5000÷100×10 ＝50×10 ＝500（立方厘米） 25×20×15 ＝500×15 ＝7500（立方厘米） 7500﹣500＝7000（立方厘米） 答：长方体铁块的体积是7000立方厘米。 故答案为：7000。 【考点评析】此题主要考查学生对浸入物体体积的理解与长方体体积公式的应用，首先需要分析出前10秒注水高度与铁块高度相等，其次要理解注水速度是不变的。 7．（2分）（2024秋•万柏林区期末）艺术节期间，学校要给台阶表面铺红地毯（如图），每节台阶大小一样，至少需要 　7.5　 平方米的红地毯。 【思路引导】观察图可知，把台阶通过平移可以得到一个长3米高2米，宽1.5米的长方体，求需要多大面积的红地毯，实际上是求长方体的上面一个面的面积和右面一个面的面积的和，根据公式列式解答即可。 【规范解答】解：3×1.5+1.5×2 ＝4.5+3 ＝7.5（平方米） 答：至少需要7.5平方米的红地毯。 故答案为：7.5。 【考点评析】本题主要考查了长方体的每个面的面积的计算，要掌握平移的方法，并能灵活运用面积公式。 8．（2分）（2024秋•枣强县期末）根据《淮南万毕术》的记载，早在2000多年前中国古人就掌握了夏造冰的技术。一块棱长厘米的正方体冰块，它的表面积是 　　 平方厘米，体积是 　　 立方厘米。 【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（）2×6 6 （平方厘米） （）3（立方厘米） 它的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。 故答案为：，。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．（2分）（2024秋•张家港市期末）商鞅方升（如图）是商鞅为案国变法统一度量衡时所监制的标准量器。据史料记载，它的内长5.4寸，宽3寸，深1寸（寸为当时计量长度的单位）。它的容积为 　16.2　 立方寸（棱长为1寸的正方体，体积是1立方寸）。如果把8.1立方寸水倒进商鞅方升中，那么水深为 　0.5　 寸。 【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。 【规范解答】解：5.4×3×1＝162（立方寸） 8.1÷（5.4×3） ＝8.1÷16.2 ＝0.5（寸） 答：它的容积为16.2立方寸，水深0.5寸。 故答案为：16.2，0.5。 【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．（2分）（2024秋•包河区期末）一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃 　2.52　 平方分米。 【思路引导】计算底面玻璃的面积已知底面是边长为6厘米的正方形，根据正方形面积公式可得底面玻璃的面积为：6×6＝36（平方厘米）； 根据长方形面积公式S＝a×b（其中S表示长方形面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽），可得一个面的面积为：9×6＝54（平方厘米）那么四周玻璃的总面积为：4×54＝216（平方厘米）；计算制作蜡烛盒所需玻璃的总面积将底面玻璃的面积和四周玻璃的面积相加，可得：36+216＝252（平方厘米）；单位换算因为1平方分米＝ 100平方厘米，所以将总面积252平方厘米换算为平方分米可得：252÷100＝2.52（平方分米）据此即可解答。 【规范解答】解：6×6＝36（平方厘米） 9×6＝54（平方厘米） 4×54＝216（平方厘米） 36+216＝252（平方厘米） 252平方厘米＝2.52平方分米 答：制作这样的蜡烛盒至少需玻璃2.52平方分米。 故答案为：2.52。 【考点评析】本题考查长方体表面积的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 11．（2分）（2024秋•鼓楼区期末）一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米，宽5厘米，高12厘米。乐乐倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如图所示，乐乐倒出了 　90　 毫升牛奶。 【思路引导】由题意可知，因为牛奶盒倾斜放置时，无牛奶部分的高是6厘米，所以倒出牛奶的体积相当于长6厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体体积的一半，根据长方体体积公式：V＝abh解答即可。 【规范解答】解：6×5×6÷2 ＝30×6÷2 ＝180÷2 ＝90（立方厘米） 90立方厘米＝90毫升 答：乐乐倒出了90毫升牛奶。 故答案为：90。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．（2分）（2024秋•海安市期末）在我国古典数学名著《九章算术》中，我国古人记录了12种不同的体积计算公式。图是古代城、垣、堤等的形状，它的上下面是长相等、宽不等的两个长方形，前后面是相同的两个长方形，左右面是相同的两个等腰梯形。请试着写出它的体积计算公式，V＝ 　（a1+a2）hb　 。 【思路引导】首先根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，求出底面积，再根据柱体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：由分析得：这个图形的体积计算公式是：V（a1+a2）hb 故答案为：（a1+a2）hb。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握柱体体积的计算方法及应用。 13．（2分）（2024秋•南京期末）如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是 　464　 平方厘米，体积是 　584　 立方厘米。 【思路引导】由于三个正方体粘合在一起，上面和中间的正方体只求4个侧面的面积，下面的正方体求出表面积，然后合并起来；这个组合图形的体积等于三个正方体的体积和，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：2×2×4+4×4×4+8×8×6 ＝16+64+384 ＝464（平方厘米） 2×2×2+4×4×4+8×8×8 ＝8+64+512 ＝584（立方厘米） 答：这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 故答案为：464；584。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度600mL升高到800mL，土豆的体积是800cm3。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据用“排水法”测量实物体积的方法，把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度600mL升高到800mL，土豆的体积是水上升的体积，据此解答即可。 【规范解答】解：800﹣600＝200（毫升） 200毫升＝200立方厘米 答：土豆的体积是200立方厘米，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 15．（2分）（2024春•惠来县期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积也扩大到原来的3倍。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据积的变化规律，如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积也扩大到原来的9倍。据此判断。 【规范解答】解：3×3＝9 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积也扩大到原来的9倍。 因此，题干中的结论是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。 16．（2分）（2024春•沈北新区期末）从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。 　√　 （判断对错） 【思路引导】根据表面积的意义可知，在长方体的一个顶点处切去一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，切去这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以表面积不变。再根据体积的意义可知，从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，体积减少了。据此判断。 【规范解答】解：由分析得：从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。这种说法是正确的。 故答案为：√。 【考点评析】此题考查目的是理解掌握长方体的表面积、体积的意义及应用。 17．（2分）（2024春•大厂县期末）棱长是6厘米的正方体体积和表面积相等。 　×　 （判断对错） 【思路引导】根据正方体的表面积、体积的意义，正方体的表面积是指围成正方体的6个面的总面积，正方体的体积是指所占空间的大小，因为表面积和体积不是同类量，所以无法比较。据此判断。 【规范解答】解：因为正方体表面积和体积不是同类量，所以无法比较。 因此，题干中的结论是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用，关键是明确：只有同类量，才能比较大小。 18．（2分）（2022春•巴东县期末）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　×　 （判断对错） 【思路引导】我国古代数学名著《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。据此判断。 【规范解答】解：“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式及应用，了解古代数学家对长方体体积计算方法的研究。 四．看图列式，用心计算（共2小题，满分9分） 19．（4分）（2024春•洪江市期末）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米） 【思路引导】表面积等于长方体的表面积加正方体4个面的面积，体积等于长方体的体积加正方体的体积，据此代入数据计算即可求出它的表面积和体积。 【规范解答】解：8×3×4+3×3×2+3×3×4 ＝96+18+36 ＝150（平方分米） 8×3×3+3×3×3 ＝72+27 ＝99（立方分米） 答：它的表面积是150平方分米，体积是99立方分米。 【考点评析】此题考查长方体、正方体表面积和体积计算。掌握计算公式是解答的关键。长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 20．（5分）（2024春•祁县期末）小刚将一个土豆浸没在水中，求土豆的体积是多少立方厘米？ 【思路引导】根据图示，土豆的体积等于水上升的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，解答即可。 【规范解答】解：10×5×（8﹣6） ＝50×2 ＝100（立方厘米） 答：土豆的体积是100立方厘米。 【考点评析】本题考查了用排水法测量实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 五、运用知识，解决问题（共55分） 21．（6分）（2024秋•张家港市期末）小明打算用一张长8分米，宽4分米的长方形卡纸，做一个高1分米的长方体无盖纸盒。（粘贴处耗材不计） （1）小明设计的裁剪方法如图，这种设计方案卡纸的利用率是多少？做成的这个长方体纸盒的容积是多少？ （2） 如果要使这张卡纸的利用率为100%，请在如图中画出裁剪方法，算一算，按照你的方法做成的长方体纸盒的容积是多少？ 【思路引导】（1）铁皮的利用率＝长方体无盖小水箱的表面积÷长方形铁皮的面积×100%，根据“长方体体积＝长×宽×高”，代入数据计算即可； （2）无盖长方体小水箱的高是1分米，要使铁皮的利用率达到100%，且无盖长方体小水箱的容积最大，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，长方体小水箱的底面积应尽量大，则长方体小水箱的底面是正方形，侧面是4个长为4分米，宽为1分米的完全相同的长方形，即长方体小水箱底面是边长4分米的正方形，高是1分米，容积是 【规范解答】解：（1）1×1×4＝4（平方分米） 8×4＝32（平方分米） 32﹣4＝28（平方分米） 28÷32×100%＝87.5% 答：小强这种设计方案中，铁皮的利用率是87.5%。 （8﹣1×2）×（4﹣1×2）×1 ＝6×2×1 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 答：做成的长方体水箱容积是12升。 （2）4×4×1＝16（立方分米） 16立方分米＝16升 即长方体小水箱的容积是16升，最大。如下图所示： 【考点评析】本题考查了长方体体积计算的应用以及百分数的应用。 22．（6分）（2024秋•惠山区期末）一个长方体形状的食品盒，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。 （1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸盒的厚度忽略不计） 【思路引导】（1）商标纸沿食品盒四周贴一園，即求长方体的侧面积。已知高0.8分米，因为1分米＝ 10厘米，所以0.8分米换算为厘米是8厘米。长方体侧面积＝ （长×高+宽×高）×2，将长＝5厘米，宽＝4厘米，高＝8厘米代入公式可得。（2）纸盒的厚度忽略不计，此时纸盒的容积等于它的体积，根据长方体体积公式计算。长方体体积＝长×宽×高，将长＝5厘米，宽＝4厘米，高＝8厘米，代入公式可得。 【规范解答】解：（1）（5×8+4×8）×2 ＝（40+32）×2 ＝72×2 ＝144 （平方厘米）。 答：商标纸的面积至少是144平方厘米。 （2）5×4×8 ＝20×8 ＝160 （立方厘米） 答：这个纸盒的容积是160立方厘米。 【考点评析】本题考查长方体表面积和体积的计算及应用。根据公式，列式计算即可。 23．（5分）（2024秋•天宁区期末）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面。给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 【思路引导】通过观察图形可知，这个长方体的底面周长和高都是24厘米，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出底面边长，再根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：24÷4＝6（厘米） 6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 864立方厘米＝864毫升 答：这个长方体的容积是864毫升。 【考点评析】此题主要考查正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．（5分）（2024秋•甘谷县期末）2010年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是60米，宽是长的，深2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？ （3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【思路引导】（1）根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此计算出游泳池的宽，然后根据“长方形面积＝长×宽”即可求出这个游泳池的占地面积； （2）根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出长方体游泳池的体积，即挖成这个游泳池共挖土的体积； （3）根据“长方形面积＝长×宽”求出游泳池的下底面和4个侧面的面积后相加求和即可解答。 【规范解答】解：（1）60×（60） ＝60×40 ＝2400（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是2400平方米。 （2）60×（60）×2 ＝60×40×2 ＝4800（立方米） 答：挖成这个游泳池共挖土4800立方米。 （3）60×（60）+2×60×2+2×（60）×2 ＝60×40+120×2+4×40 ＝2400+240+160 ＝2800（平方米） 答：在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是2800平方米。 【考点评析】本题考查了长方形面积计算以及长方体体积和侧面积计算的应用。 25．（5分）（2024春•东坡区期末）张叔叔准备做3个底面是正方形，高36cm的长方体通风管，将通风管侧面展开后恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5cm2），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？ 【思路引导】已知长方体通风管的底面是正方形，高是36厘米，将通风管侧面展开后恰好是一个正方形，由此可知，长方体通风管的底面周长是36厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，可以求出一个这样的通风管的侧面积，再加上每个通风管损耗铁皮的面积，最后再乘3即可。 【规范解答】解：（36×36+10.5）×3 ＝（1296+10.5）×3 ＝1306.5×3 ＝3919.5（平方厘米） 答：张叔叔做这些通风管至少需要准备3919.5平方厘米的铁皮。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体侧面展开图的特征及运用，长方体的侧面积公式、正方形的面积公式的及应用。 26．（5分）（2024春•信都区期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形、用剩下的纸折成一个无盖收纳盒，这个收纳盒所用纸板的面积是多少cm2？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中。（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能拼压）。收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 【思路引导】这个收纳盒所用纸板的面积等于原来长方形纸板的面积减去4个正方形的面积，这个收纳盒的长是（30﹣4×2）厘米，宽是（24﹣4×2）厘米，高是4厘米，分别求出收纳盒的长里面包含多少个3厘米，收纳盒的宽里面包含多少个4厘米，收纳盒的高里面包含多少个4厘米，然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。 【规范解答】解：30×24﹣4×4×4 ＝720﹣64 ＝656（平方厘米） 30﹣4×2 ＝30﹣8 ＝22（厘米） 24﹣4×2 ＝24﹣8 ＝16（厘米） 22÷3＝7（个）......1（厘米） 16÷4＝4（个） 4÷4＝1（个） 7×4×1＝28（个） 答：这个收纳盒所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 【考点评析】此题主要考查长方形、正方形的面积公式的灵活运用，长方体容积的意义及应用，“包含”除法的意义及应用，整数乘法的意义及应用。 27．（5分）（2024春•历城区期末）某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209cm2，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 【思路引导】前面和上面的面积之和是209平方厘米，即长×宽+长×高＝209，且长、宽、高都是质数，据此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：长×宽+长×高＝209 长×（宽+高）＝209 209＝11×19 要么宽+高＝11，要么宽+高＝19 11＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6，这样都有一个数是合数，不符合题意； 19＝2+17＝3+16＝5+14＝7+12＝11+8＝13+6，只有2和17都是质数。 所以这个长方体的长、宽、高分别11厘米，2厘米，17厘米。 11×2×17 ＝22×17 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，长方体的体积公式及应用，关键是求出长方体的长、宽、高。 28．（6分）（2024春•福清市期中）小亮为了弄清楚一个不规则铜块的体积，进行了如下的准备： （1）准备了一个棱长为6分米的正方体玻璃缸； （2）往玻璃缸内倒入五分米深的水； （3）把铜块放入玻璃缸内，发现铜块完全被淹没，水面上升到离缸口还有8厘米处． 请你帮助小亮算出这个铜块的体积． 【思路引导】将这个不规则铜块完全浸入水中，可知水面不管升高多少分米，玻璃缸的底面积是不变的；根据题意可知水面上升到离缸口还有8厘米处，则水面上升了2厘米，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出升高了的那部分水的体积，即是这个不规则铜块的体积． 【规范解答】解：6﹣5＝1（分米） 1分米＝10厘米 10﹣8＝2（厘米） 6分米＝60厘米 60×60×2 ＝3600×2 ＝7200（立方厘米） 答：这个铜块的体积是7200立方厘米． 【考点评析】此题是考查长方体体积公式的运用，解决此题关键是把求这个不规则铜块的体积，转变成求水位升高了的那部分水的体积，也即转变为求长方体的体积． 29．（6分）（2024春•淮滨县期末）一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【思路引导】这个盒子用的铁皮的面积是这个长方形的面积减去4个边长为5厘米的小正方形的面积；做成长方体盒子的长是35﹣5×2厘米，宽是25﹣5×2厘米；高是5厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，由此求出容积． 【规范解答】解：35×25﹣5×5×4 ＝875﹣100 ＝775（平方厘米） （35﹣5×2）×（25﹣5×2）×5 ＝25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个盒子用了775平方厘米的铁皮，它的容积是1875立方厘米． 【考点评析】解决本题关键是找出长方体的长宽高和原来长方形的长和宽之间的关系，求出长宽高即可解决问题． 30．（6分）（2024春•椒江区期末）如图1，把一张长方形卡纸折一下，立放在桌子上。底部是一个面积为36平方厘米的正方形，直立部分的长是10厘米。 （1）如果把直立的卡纸作为长方体纸盒的其中两个面，那么长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ （2）在这个长方体纸盒中倒入高为5厘米的牛奶，再将这个长方体盒子平放（如图2）。那么此时牛奶高度是多少厘米？ 【思路引导】（1）根据正方形的面积公式：S＝a2，已知折成的底面是一个36平方厘米的正方形，据此可以求出正方形的边长（也就是直立部分长方形的宽）因为这个长方体纸盒的底面是正方形，所以这个长方体的4个侧面是完全相同的长方形，根据长方体的表面积解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝Sh，求出纸盒中牛奶的体积，然后用牛奶的体积除以这个纸盒平放时的底面积即可求出此时牛奶的高度。 【规范解答】解：因为6×6＝36（平方厘米），所以正方形的边长是6厘米。 36×2+10×6×4 ＝72+60×4 ＝72+240 ＝312（平方厘米） 答：长方体纸盒的表面积是312平方厘米。 （2）36×5÷（10×6） ＝180÷60 ＝3（厘米） 答：此时牛奶高度是3厘米。 【考点评析】此题主要考查正方形、长方形的面积公式、长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$