精品解析：2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题(三)

2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学模拟试题（三） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是关键． 根据实数比较大小的方法，无理数的估算判定即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：C ． 2. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项． 【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大． 3. 内蒙古大草原是国家重要的畜牧业生产基地，总面积达万公顷，其中可利用草场6818万公顷，约占内蒙古土地面积的，占全国草场总面积的，6818万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：6818万， 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. DeepSeek是一个功能强大且多用途的人工智能助手，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母是辅音字母的概率为 B. 2024—2025年黄金价格多次变动，用扇形统计图了解变化趋势最为直观 C. 一组数据的方差不可能为0 D. 双减政策下为全面了解我省中学生的睡眠情况，应采用普查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，统计图的选择，方差，抽样调查与普查的区别，掌握以上知识是关键． 根据概率的计算，统计图的选择，方差，抽样调查与普查的区别进行判定即可． 【详解】解：A、“DeepSeek”中共有8个字母，其中辅音字母有4个，即， ∴随机抽取一个字母是辅音字母的概率为，故A选项正确，符合题意； B、2024—2025年黄金价格多次变动，用折线统计图了解变化趋势最为直观，故原选项错误，不符合题意； C、一组相同的数组成的数据的方差为0，故原选项错误，不符合题意； D、双减政策下为全面了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和立方根运算法则，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，零次幂及负指数幂的计算，掌握以上知识的运算法则是关键． 根据二次根式和立方根运算法则，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，零次幂及负指数幂的计算法则计算判定即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D ． 6. 某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是 ，则得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系，正确运用一元二次方程表示数量关系即可． 【详解】解：原价每箱元，连续两次降价后每箱元，下降的百分率相同，都是 ， ∴， 故选：B ． 7. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点 顺时针旋转，点 的对应点为，与关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和坐标与图形，解题关键是根据题意画出图形，作轴，垂足为D，求出 和长即可． 【详解】解：作轴，垂足为D， 由旋转可知，，， ∴， ∴点的坐标为， 与关于轴对称的点的坐标为 故选：D． 8. 已知二次函数（ 为常数），当时，函数有最大值，则 的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于 的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于 的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时， 时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时， 时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述， 的值为或． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则______ 【答案】##53度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及直角三角板，解题关键是熟练掌握平行线的性质及直角三角板各个内角的度数．由平行线的性质可得，求得，再求解即可． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得（两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 扇文化有着丰富的文化底蕴，一把折扇的尺寸是指扇骨大边的长度，扇肩在折扇上板和下板分界的位置．清代至民国期间最流行的是一种扇肩五五开，扇骨大边长为九寸（九寸约为）的折扇，九寸折扇打开的角度为140度，这个角度可以将书面家的作品尽数展现出来．现需在这种规格的扇面上绘制山水画，则山水画的面积为______；扇面的周长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积及弧长的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中 为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．根据扇形的面积公式，利用扇面的面积及弧长公式进行计算． 【详解】解：山水画的面积． 扇面的周长 故答案为，． 11. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 【答案】750 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 12. 如图，已知点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，则点 到线段的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据题意得到即，根据两点之间距离的计算，，，根据等面积法即可求解． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴，，， ∴， 设点 到线段的距离为， 又∵， ∴ 解得，， ∴点 到线段的距离为， 故答案为： ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）9，（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解分式方程，解题关键是熟练掌握实数运算法则和解分式方程的方法； （1）先计算负指数和乘方、绝对值，再加减即可； （2）按照解分式方程的方法和步骤计算即可． 【详解】解：（1）， ， ． （2）， 去分母得，， 解整式方程得， ， 经检验， 是原分式方程的解． 14. 某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀．以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表． 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出成绩统计分析表中 ， ，的值； （2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？ （3）你认为哪个组的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1） （2）小英属于甲班的学生 （3） 甲组的平均分，中位数小于乙组的平均分，中位数，甲组的方差大于乙组的方差，甲组的合格率小于乙组的合格率， ∴乙组的成绩更好 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握加权平均数，中位数，方差，调查数据作决策的方法是关键． （1）根据加权平均数，中位数，方差的计算即可求解； （2）根据中位数分析即可； （3）根据平均数，中位数，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：根据折线图可得甲组：3分的1人，6分的5人，7分的1人，9分的2人，10分的1人， 乙组：5分的2人，6分的1人，7分的2人，8分的3人，9分的2人， ∴，， ； 【小问2详解】 解：∵甲班的中位数为，乙班的中位数为，小英排名属中游略偏上， ∴小英属于甲班的学生； 【小问3详解】 略 15. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套 型一体机. （1）求今年每套型、 型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套 型一体机的价格不变，若购买 型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套型的价格各是1.2万元、 型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【解析】 【分析】(1)直接利用今年每套 型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套 型一体机，分别得出方程求出答案； (2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 【详解】(1)设今年每套型一体机的价格为 万元，每套 型一体机的价格为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：今年每套型的价格各是1.2万元、 型一体机的价格是1.8万元； (2)设该市明年购买型一体机套，则购买 型一体机套， 由题意可得：， 解得：， 设明年需投入万元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键． 16. 如图，在中，点 是边的中点，且，点 在边上，经过点 且与边相切于点 ． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，延长 至点，使得，连接， ∵点 是边的中点， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵经过点 ， ∴是半径， ∴是的切线； （2）的半径为， 的长为 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长 至点，使得，连接，根据题意可证四边形是矩形，根据矩形的性质，切线的判定方法即可求证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接 ，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，可得圆的半径为，从而得到，由勾股定理即可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接 ， ∵经过点 且与边相切于点 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， 当时，原分式方程有意义， ∴， ∴， ∴， ∵点 是边的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，勾股定理的计算，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算方法是关键． 17. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点 ，延长到点 ，使连接，过点 作，与 的延长线交于点． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长； （3）在（2）的条件下，有点 ，分别从点 ，出发，在线段上运动，速度为2个单位长度/秒，则点 ，运动______时，以点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，． ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） （3）2或10 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，．，证明，即可得证； （2）由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，从而得到于点 ，再由勾股定理计算出，最后由全等三角形的性质即可得出答案； （3）分为当点P在 上，点Q在上及当点P在上，点Q在 上，两种情况进行分类讨论，结合正方形的判定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， 于点 ． ， ． ， ． ， ． 【小问3详解】 解：如图，当点P在 上，点Q在上， 当时，点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． ， 点 ，运动秒时，以点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． 如图，当点P在上，点Q在 上， 当时，点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． ， 点 ，运动秒时，以点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． 故答案为：2或10． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18. 抛物线经过点， ， ，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1， 为线段上一点，过点 作轴平行线，交抛物线于点 ，当的面积最大时，求点 的坐标和面积的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为 ，轴于点，是 轴上一动点， 是线段上一点．若，请写出实数 的变化范围，并说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3） 解：，理由如下， 抛物线解析式为， ∴， 如图所示，点 在直线左边时，过点 作， ∵抛物线顶点为 ，轴于点，是 轴上一动点， ∴，，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设， 整理得，， ∴关于 的方程有解， ∴， 解得，， 当时，点 与点重合，点 与点重合， ∵， ∴，符合题意； 如图所示，当点 在直线左边时，若点 与点 重合，过点 作， 同理，，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ 解得，； 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，直线的解析式为，设，则，则，结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）分类讨论：如图所示，点 在直线左边时，过点 作，可证，得，由此列式，根据一元二次方程根的判别式可解；当时，点 与点重合，点 与点重合，由可得该种情况符合题意；如图所示，当点 在直线左边时，若点 与点 重合，过点 作，同理得，，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ，已知，， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点 为线段上一点，过点 作轴平行线，交抛物线于点 ， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴，即； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度的计算方法，相似三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学模拟试题（三） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 内蒙古大草原是国家重要的畜牧业生产基地，总面积达万公顷，其中可利用草场6818万公顷，约占内蒙古土地面积的，占全国草场总面积的，6818万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. DeepSeek是一个功能强大且多用途的人工智能助手，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母是辅音字母的概率为 B. 2024—2025年黄金价格多次变动，用扇形统计图了解变化趋势最为直观 C. 一组数据的方差不可能为0 D. 双减政策下为全面了解我省中学生的睡眠情况，应采用普查的方式 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是 ，则得到方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点 顺时针旋转，点 的对应点为，与关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1或 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则______ 10. 扇文化有着丰富的文化底蕴，一把折扇的尺寸是指扇骨大边的长度，扇肩在折扇上板和下板分界的位置．清代至民国期间最流行的是一种扇肩五五开，扇骨大边长为九寸（九寸约为）的折扇，九寸折扇打开的角度为140度，这个角度可以将书面家的作品尽数展现出来．现需在这种规格的扇面上绘制山水画，则山水画的面积为______；扇面的周长为______． 11. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 12. 如图，已知点，在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，则点 到线段的距离为_______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀．以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表． 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 根据以上信息，解决下列问题： （1）求出成绩统计分析表中 ， ，的值； （2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？ （3）你认为哪个组的成绩更好？请说明理由． 15. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套 型一体机. （1）求今年每套型、 型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套 型一体机的价格不变，若购买 型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 16. 如图，在中，点 是边的中点，且，点 在边上，经过点 且与边相切于点 ． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及 的长． 17. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点 ，延长到点 ，使连接，过点 作，与 的延长线交于点． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长； （3）在（2）的条件下，有点 ，分别从点 ，出发，在线段上运动，速度为2个单位长度/秒，则点 ，运动______时，以点 ， ， ，为顶点的四边形为正方形． 18. 抛物线经过点， ， ，已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1， 为线段上一点，过点 作轴平行线，交抛物线于点 ，当的面积最大时，求点 的坐标和面积的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为 ，轴于点，是 轴上一动点， 是线段上一点．若，请写出实数的变化范围，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $