10.1.1 有限样本空间与随机事件（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.1.1 有限样本空间与随机事件 学习目标 1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间； 2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义； 3.结合具体实例，理解随机事件、样本点和有限样本空间的含义； 4.理解随机事件与样本点的关系，能判断随机事件、不可能事件和 必然事件. 目录 CATALOG 01. 随机试验及样本空间 03.题型强化训练 02.事件的分类 04.小结及随堂练习 01 随机试验及样本空间 10.1.1 有限样本空间与随机事件 学习新知 通过上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据，再选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计规律，进而解决相应的问题．从中可以看到，用样本推断总体，当样本量较小时，每次得到的结果往往不同；但如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律．例如，每天你从家到学校需要的时间(精确到分)不能预知； 学习新知 如果你记录一周，会发现每天所用的时间各不相同；如果在一个月或一学期内记录下每次所用的时间，通过数据分析你会发现，所用的时间具有相对稳定的分布规律．又如，从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定它的颜色；有放回地重复摸取多次，记录摸到的球的颜色，从记录的数据中就能发现一些规律，例如红球和白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是多少等等，这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性．这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象． 学习新知 抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况； 抛掷一枚骰子，观察观察出现点数的情况； 从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定它的颜色;有放回地重复摸取多次，记录摸到的球的颜色，从记录的数据中就能发现一些规律，例如红球和白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是多少等等． 这类现象的共性是∶就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性．这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象． 随机现象 学习新知 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支．概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇．本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力． 学习新知 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果．例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；记录某地区7月份的降雨量；等等． 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment)，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： 学习新知 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率．本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质． 学习新知 样本空间 【思考】 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，...，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码．这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 根据球的号码，共有10种可能结果． 如果用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}． 学习新知 样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间． 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点． （在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．） 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了． 02 事件的分类 10.1.1 有限样本空间与随机事件 学习新知 样本空间 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间． 例1： 【详解】 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}； 如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”， 则样本空间Ω={h，t}． 样本空间的表达形式不唯一 学习新知 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关） （1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数； （2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示. 【变式】 【详解】（1）这个试验的样本空间 {（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8. （2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则 {（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}. 【点睛】本题考查的知识点是列举法计算基本事件数，其中列举时要注 意按照规律列举，以做到不重不漏，属于基础题. 学习新知 样本空间 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数， 写出试验的样本空间． 例2： 【详解】 用i表示朝上面的“点数为i”． 由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，共6个可能的 基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4， 5，6}． 学习新知 一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机地抽取两次,每次抽取1张标签,写出下列试验的样本空间. （1）标签的抽取是不放回的; （2）标签的抽取是有放回的. 【变式】 学习新知 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) （2）抽取是有放回的,则2张标签上的数字情况可列表如下: 学习新知 样本空间 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况， 写出试验的样本空间． 例3： 【详解】抛两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．所以试验的样本空间Ω={(正面，正面)，(正面，反面)， (反面，正面)，(反面，反面)}．如果用1表示“正 面朝上”，用0表示“反面朝上”，所以试验的样本 空间 Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}． 学习新知 写出下列事件相应的样本空间的子集．(1)投掷2次骰子，得到的“数字之和大于8”； (2)抛掷3枚硬币，恰有两枚正面朝上． 【变式】 学习新知 【感悟提升】 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用于样本点个数不多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 学习新知 随机事件 【思考】 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ “球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件． 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}．因此，可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A． 同理，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”． 学习新知 随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间 的子集来表示． 为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件， 并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． 随机事件一般用大写字母A，B，C，...表示． 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． 学习新知 随机事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． 而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件． 必然事件与不可能事件不具有随机性． 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集． 学习新知 随机事件 如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常． 例4： （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断路”． A C B 学习新知 （1）写出试验的样本空间； A C B 【解析】分别用x1，x2，x3表示元件A，B，C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示. 同时，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}． 学习新知 学习新知 （2）用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断路”． A C B 【解析】“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}． “电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1, 所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}； “电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=0，或且x1=1，x2=x3=0， 所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}． 学习新知 【点睛】本题考查样本空间，可用画树状图的方法将样本点逐一写出来。 学习新知 【感悟提升】 样本点、样本空间   定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 03 题型强化训练 10.1.1 有限样本空间与随机事件 能力提升 题型一　样本空间的求法 【练习1】抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】写出基本事件 【分析】利用基本事件的定义，列举即可． 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为{（正面，正面），（正面，反面）， （反面，正面），（反面，反面）}． 故选：C. 能力提升 题型一　样本空间的求法 【感悟提升】 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 能力提升 题型二　事件类型的判断 【练习2】12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（ ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 能力提升 【详解】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件， 对于A，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误； 对于B，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误； 对于C，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误； 对于D，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D正确. 故选：D. 能力提升 题型二　事件类型的判断 【感悟提升】 1.对事件分类的两个关键点 (1)条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况． 2,判断一个事件是哪类事件的方法 (1)看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的； (2)看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 能力提升 题型三　事件与样本空间 【练习3】下列说法正确的是 A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 能力提升 【详解】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确． 故答案为D. 【点睛】本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质， 属于基础题. 能力提升 题型三　事件与样本空间 【感悟提升】 随机事件与样本空间问题的解题策略 (1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件． (2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率． 能力提升 题型四 事件与事件的表示 【练习4】从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x,y），其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字. （1）写出样本空间； （2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示. 能力提升 【点睛】本题主要考查样本空间的表示，事件的集合表示，属于基础题． 能力提升 题型四 事件与事件的表示 【感悟提升】 1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间： (1)必须明确事件发生的条件； (2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错． 04 小结及随堂练习 10.1.1 有限样本空间与随机事件 课堂总结1 1．知识清单： (1)随机试验．(2)有限样本空间． (3)随机事件、必然事件与不可能事件． (4)随机事件的含义． 2．方法归纳：列举法、列表法、树状图法. 3．常见误区：在列举样本点时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏． （1）随机试验概念.（2）随机试验的特点及表示 （3）随机实验的样本点、样本空间.（4）随机事件的样本点、样本空间 课堂总结2 随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验． 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示． 为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件． 随机事件一般用大写字母A，B，C，...表示． 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． 课堂总结3 作业 10.1.1 有限样本空间与随机事件 教材第 229 页练习第 2,3 题 练习（第229页） 1．写出下列各随机试验的样本空间： (1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； (2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型； (3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； 练习（第229页） 1．写出下列各随机试验的样本空间： (4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (5)射击靶3次，观察中靶的次数． 2．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，观察两个元件正常或失效的情况． （1）写出试验的样本空间； （2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点； （3）对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点． 3．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为l，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球． （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示事件A“摸到球的号码小于5”，事件B“摸到球的号码大于4”，事件C“摸到球的号码是偶数”． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【详解】（1）抽取是不放回的,记 表示先抽取的数字第一个1, 后抽取的数字是第二个2,则样本空间为： EMBED Equation.DSMT4 . 样本空间为: 【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为 ，其中 表示第一次投掷的结果， 表示第二次投掷的结果，事件 ：“数字之和大于8”所包含的样本点为： ，共 个，用集合表示为 ； （2）抛掷 枚硬币，若正面朝上，则记为 ，反之，则记为 ，所得结果表示为 ，事件 ：“抛掷 枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为： ，共 个，用集合表示为 . 【变式】有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件： “A在两侧”； “B，C两人相邻”. 【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：   所以样本空间可表示为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . （2） ； . 【详解】（1）用有序数对 表示事件，所以 ． （2）根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次， 第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出 的数字是2”这一事件为： ． $$