10.1.2 事件的关系和运算（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算 学 习 目 标 1 2 理解事件间的包含、相等、互斥、对立等关系，能用集合语言和符号准确表示 掌握事件的并（和）、交（积）运算，能结合实例进行运算 能准确区分互斥事件与对立事件的联系与区别 通过类比集合的关系与运算，体会数学中的类比思想 借助Venn图和树状图等工具，发展直观想象能力 通过具体实例分析，培养逻辑推理和数学抽象素养 新课引入 掷骰子游戏 在掷骰子试验中，观察朝上面的点数，我们可以定义许多随机事件： = “点数为 i”（i=1,2,3,4,5,6） = “点数不大于3” = “点数大于3” = “点数为1或2” = “点数为2或3” F = “点数为偶数” G = “点数为奇数” 思考问题 内容分析 问题1 这些事件之间存在包含、互斥、对立、并、交等联系，可类比集合关系理解 问题2 “点数为1”发生，则点数为奇数一定发生，前者包含于后者 问题3 “点数为偶数”与“点数为奇数”不能同时发生，二者互斥且对立 核心结论 事件间的联系可通过是否同时发生、是否必有一个发生清晰判断 问题串 1. 若事件A发生，事件B一定发生吗？A与B有何关系？ 2. 事件C和D能同时发生吗？它们有何特殊关系？ 3. 如何用A、E表示“点数为2或4”？如何用C、D表示整个样本空间？ 互动探究 探究活动1：事件的包含与相等关系 用集合形式表示事件 =“点数为1” 和 G=“点数为奇数” 分析：若 发生，G 是否一定发生？ ={1}，G={1,3,5} - 显然 ⊆G，即 发生则 G 一定发生 关系 定义 符号 Venn图示意 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 或 相等关系 且 即时练习 在掷骰子试验中，=“点数不大于3” 与 =“点数为1或2” 有什么关系？ A(B) 互动探究 探究活动2：事件的并、交运算 1. “点数不大于3” 或 “点数大于3” 表示什么事件？（样本空间 Ω） 2. “点数为1或2” 与 “点数为2或3” 同时发生表示什么？ 动手操作... 用彩色卡纸在黑板上演示： 绿色区域表示事件 A，黄色区域表示事件 B 并事件：绿+黄+重叠部分 - 交事件：重叠部分（蓝色） 运算 定义 符号 Venn图示意 并事件（和事件） A与B至少有一个发生 （或 ） 交事件（积事件） A与B同时发生 （或 ） 互动探究 探究活动3：互斥事件与对立事件 案, 案例2：F=“点数为偶数” 与 G=“点数为奇数” 能否同时发生？不能 ,是否必有一个发生？是 , 集合表示：F∩G=⌀ 且 F∪G=Ω 类型 定义 符号 关键特征 互斥事件 不能同时发生 排斥性 对立事件 互斥且必有一个发生 且 完备性+排斥性 判断下列事件对的关系 1. “至少一次中靶” 与 “两次都没中靶” → 对立 2. “第一次中靶” 与 “第二次中靶” → 既不互斥也不对立（可同时发生） 3. “恰有1名男生” 与 “恰有2名男生” → 互斥但不对立 知识讲解 事件关系与运算 知识网络图 事件的关系与运算 ├── 关系 │ ├── 包含关系：A⊆B（A发生⇒B发生） │ ├── 相等关系：A=B（A⊆B且B⊆A） │ ├── 互斥关系：A∩B=∅（不能同时发生） │ └── 对立关系：A∩B=∅且A∪B=Ω（有且仅有一个发生） └── 运算 ├── 并事件A∪B：至少一个发生（类比并集） └── 交事件A∩B：同时发生（类比交集） 知识讲解 事件关系与运算 与集合运算的类比对照表 事件运算 集合运算 概率含义 符号 包含 子集 A发生导致B发生 并事件 并集 A或B发生 交事件 交集 A且B发生 互斥 不相交 A、B不同时发生 对立 补集 非A即B 注意：事件的对立事件记为 ,满足 ()=1-P(A) 典例分析 题型1 事件关系的判断 例1(1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件: ①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”; ②“至少有1名男生”与“全是男生”; ③“至少有1名男生”与“全是女生”; ④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. 【思维导引】(1)紧扣互斥事件与对立事件的定义判断. 【解析】(1)从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女. ①“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件. 典例分析 题型1 事件关系的判断 例1(1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件: ①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”; ②“至少有1名男生”与“全是男生”; ③“至少有1名男生”与“全是女生”; ④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. ②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件. ③“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件. ④“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件. 典例分析 题型1 事件关系的判断 (2)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,每次射击可能击中或未击中,设事件A=“第一次击中飞机”,B=“第二次击中飞机”,C=“两次都击中飞机”,D=“两次都未击中飞机”,E=“恰有一次击中飞机”,F=“至少有一次击中飞机”. ①用集合的形式分别写出样本空间以及上述各事件; ②事件C与事件E的并事件与事件F有什么关系?事件A与事件B的交事件与事件C有什么关系? (2)①用数组(x1,x2)表示可能的结果,以1表示击中飞机,0表示未击中飞机, 则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. 事件A={(1,0),(1,1)}.事件B={(0,1),(1,1)}. 事件C={(1,1)}.事件D={(0,0)}. 事件E={(0,1),(1,0)}.事件F={(0,1),(1,0),(1,1)}. ②因为C∪E=F,所以事件F是事件C与事件E的并事件. 因为A∩B=C,所以事件C是事件A与B的交事件. 【类题通法】互斥事件和对立事件的判定方法 (1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响. 典例分析 题型1 事件关系的判断 例2（摸球问题） 袋中有2个红球（1,2号）和2个绿球（3,4号），不放回地依次摸出2个球。 设 R_1=“第一次摸到红球”，R_2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两球颜色相同”，N=“两球颜色不同” (1) 用数组 表示样本点，写出各事件的集合形式 解：Ω 共12个样本点（排列）={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)} R={(1,2),(2,1)}，G={(3,4),(4,3)} M=R∪G，N= (2) 判断事件关系： R⊆（包含关系） R 与 G 互斥（R∩G=⌀） M 与 N 对立（M∪N=Ω 且 M∩N=⌀） 典例分析 题型2 事件的运算 例3 掷一枚骰子,下列事件: A={出现奇数点},B={出现偶数点}, C={点数小于3},D={点数大于2},E={点数是3的倍数}. 求:(1)A∩B,BC; (2)A∪B,B∪C; (3)记H是事件D的对立事件,H,AC,H∪E. 【思维导引】类比集合间的关系、运算,利用事件的关系的定义进行运算. 【解析】(1)A∩B=⌀,BC={出现2点}. (2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点},B∪C={出现1,2,4或6点}. (3)H={点数小于或等于2}={出现1或2点}; AC={出现1点}; H∪E={出现1,2,3或6点}. 典例分析 题型2 事件的运算 例4盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}. 问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系? (2)事件C与A的交事件是什么事件? 【解析】(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球,或2个红球1个白球,故D=A∪B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球,故C∩A=A. 典例分析 题型2 事件的运算 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算. 提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据常识来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 【类题通法】 当堂练习 1. 同时抛掷两枚硬币，“都是正面”为事件 M，“至少有一枚正面”为事件 N，则（ ） A. M⊆N B. N⊆M C. M=N D. M∩N=⌀ 答案：A 解析：M=“正正”，N=“正正,正反,反正”，显然 M⊆N 2.某射击运动员连续射击两次，判断下列事件关系： A=“第一次中靶”，B=“第二次中靶” C=“两次都中靶”，D=“两次都不中靶” E=“恰有一次中靶”，F=“至少一次中靶” 解答： - （德摩根律） - ，且 与 对立 当堂练习 3. 若事件 与 互斥，则（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与 一定互斥 D. 与 一定不互斥 解析：由德摩根律， 4. 从1,2,3,4,5中任取两数，事件 =“两数之和为偶数”，=“两数均为偶数”，则 与 的关系是（ ） A. B. C. D. 互斥 解析：两数之和为偶数⇒同奇或同偶， 是 的一种情况 当堂练习 5.已知 互斥，，，则 0.8， 0.7 解析：由互斥事件加法公式及对立事件减法公式可求，一个答案0.8，一个答案0.7 6.抛掷骰子：（质数），（偶数）。 用集合表示： (1) 既是质数又是偶数 (2) 是质数或偶数 答案： (1) (2) 学海拾贝 4种关系：包含、相等、互斥、对立（对立是特殊互斥）。 2种运算：并（至少一个）、交（同时发生）。 1个工具：Venn图直观表示。 易错提醒 主体知识 4互斥 ≠ 对立：对立必互斥，互斥未必对立。 准确区分“至少一个”（并）与“同时发生”（交）。 学海拾贝 集合与事件对应表 概念 集合表示 事件含义 样本空间 全集 所有基本事件 基本事件 单元素集 试验的一个结果 不可能事件 空集 一定不发生 数学思想 数形结合：Venn图辅助理解 分类讨论：判断事件关系时考虑所有可能 转化与化归：将概率问题转化为集合问题 感谢聆听! $