2025年中考数学难点突破：二次函数与其他函数的图象综合题

2025中考数学难点突破：二次函数与其他函数的图象综合题 一．选择题（共10小题） 1．函数y=ax2与y=ax+b（a≠0，b＜0）在同一坐标系中的大致图象为（　　） A． B． C． D． 2．当ab＜0时，y=ax+b与y=ax2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y2=mx+c经过点B．以下结论中错误的是（　　） ​ A．b2-4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx=mx有两个解是x1=0，x2=6 C．若y1≤c,则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6 4．如表记录了二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1， x … -5 x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息，当时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y=x2于A，B两点，已知A（a,b），B（c,a），且a＜c,则下列说法正确的是（　　） A．当ac＞0且a+c=1时，p有最小值 B．当ac＞0且a+c=1时，p有最大值 C．当ac＜0且c-a=1时，p有最小值 D．当ac＜0且c-a=1时，p有最大值 6．如图，二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于A，B两点，已知点A横坐标为-4，AC=8BC，当ax2+（b-k）x＜m-c时，x的取值范围是（　　） A．-4＜x＜1 B．x＜-4或x＞ C．x＜4或x＞1 D．-4＜x＜ 7．如图，抛物线y=x2-2x-3交x轴于点A，C，交y轴于点B，点P在x轴负半轴上，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．若点D在恰好在抛物线上，则点P的坐标为（　　） A．（5，0） B．（-6，0） C．（-3，0） D．（-5，0） 8．如图，已知抛物线L：y=-tx2+2（1-t）x+4 （常数t＞0）与x轴分别交于点M（-2，0）和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ．甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若t=2，则点Q的坐标为（-1，4）． 乙：若MN=2PQ，则t的值有两个，且互为倒数． 丙：若OQ∥MP，点O′是直线OQ上一点，点M到直线PQ′的最大距离为2． 下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对 9．设二次函数y=ax2+c（a,c是常数，a＜0），已知函数的图象经过点（-2，p），，（4，q），设方程ax2+c+2=0的正实数根为m,（　　） A．若p＞1，q＜-1，则 B．若p＞1，q＜-1，则 C．若p＞3，q＜-3，则 D．若p＞3，q＜-3，则 10．抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，直线y=kx+c与抛物线都经过点（-3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（-2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=1；⑤当x=-1时，函数y=ax2+（b-k）x有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 11．若直线y=-x+5与抛物线y=-（x-2）2+k（0≤x≤4），有且只有一个公共点，则k的取值范围为 ______． 12．已知如图，平面直角坐标系中，一条直线y2与抛物线y1相交于、两点，求当y1＞y2时的x的取值范围是 ______． 13．如图，抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN∥x轴交直线l于点N，则MN的最大值为 ______． 14．如图，抛物线y=-x2+12x-35与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点，若直线y=-x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ______． 15．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列结论中：①abc＜0；②3b-2c＜0；③-1＜k＜0；④a+b＜k.正确的有 ______（填写序号）． 16．如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，-1）．抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y=-2的距离总相等．过点F的直线与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若FQ=，则△FPQ的面积为 ______． 三．解答题（共5小题） 17．已知抛物线y=ax2+x-6与x轴交于A（t,0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m. （1）填空：a=______，k=______，t=______； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值． ​ 18．已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC=2∠BAQ，求点Q的坐标； （3）如图（2），P为x轴上方一动点，直线PM，PN与抛物线均只有唯一公共点M，N，OH⊥MN于点H，且△PAB的面积是10，求线段OH长度的最大值． 19．抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B的右边，与y轴交于点C，且过点（2，6），对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BC、AC，点E是线段AB上的动点（不含端点A，B），过点E作EF//BC交AC于点F，连接CE．求△CEF面积的最大值． （3）如图2，P是定直线y=x+8上一动点，连接PC、PA，直线PC交抛物线于点M．直线PA交抛物线于点N，连接MN，直线MN是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 20．如图，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=-x+c经过B、C两点． （I）求抛物线的解析式； （2）点P为第二象限抛物线上一点，连接PB交y轴于点D，设点P的横坐标为t,OD的长为d,求d与t的函数解析式； （3）在（2）的条件下，点F在OB上OF=1，过点F作FQ⊥PB交BP于点E，交BC于点G，交抛物线于点Q，连接DG，若∠CGD=∠BGF，求点Q的坐标． 21．如图，抛物线y=a（x-1）2-4a与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式为 ______； （2）如图1，若为y轴上一点，M是直线AD上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点．若线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称，求点P的横坐标； （3）如图2，平移抛物线使其顶点为原点，过K（2，0）的直线交平移后的抛物线于E，F两点，T（0，t）是y轴正半轴上一点，直线ET交抛物线于另一点G，直线FT交抛物线于另一点H，设直线HG的解析式为y=px+q,试求的值． 2025中考数学难点突破：二次函数与其他函数的图象综合题 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、D 2、D 3、D 4、C 5、A 6、B 7、D 8、D 9、D 10、A  二．填空题（共6小题） 11、k=或5＜k≤9； 12、或； 13、4； 14、5＜m＜； 15、①②③④； 16、5；  三．解答题（共5小题） 17、解：（1）将B（8，0）代入y=ax2+x-6， ∴64a+22-6=0， ∴a=-， ∴y=-x2+x-6， 当y=0时，-t2+t-6=0， 解得t=3或t=8（舍）， ∴t=3， ∵B（8，0）在直线y=kx-6上， ∴8k-6=0， 解得k=； 故答案为：-；；3； （2）作PM⊥x轴交于M， ∵P点横坐标为m, ∴P（m,-m2+m-6）， ∴PM=m2-m+6，AM=m-3， 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM=90°，∠APM+∠PAM=90°， ∴∠OAC=∠APM， ∴△COA∽△AMP， ∴=，即OA•MA=CO•PM， 3（m-3）=6（m2-m+6）， 解得m=3（舍）或m=10， ∴P（10，-）；   （3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E， ∴PN=-m2+m-6-（m-6）=-m2+2m, ∵PN⊥x轴， ∴PN∥OC， ∴∠PNQ=∠OCB， ∴Rt△PQN∽Rt△BOC， ∴==， ∵OB=8，OC=6，BC=10， ∴QN=PN，PQ=PN， 由△CNE∽△CBO， ∴CN=EN=m, ∴CQ+PQ=CN+NQ+PQ=CN+PN， ∴CQ+PQ=m-m2+2m=-m2+m=-（m-）2+， 当m=时，CQ+PQ的最大值是． 18、解：（1）由题意可得：， 解得：a=-1，b=2， 故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3． （2）过点Q作QM⊥y轴于点M，如下图所示， 设Q点坐标为（t,-t2+2t+3），则点M坐标为（0，-t2+2t+3）， ∴∠MQA=∠BAQ， 当∠AQC=2∠BAQ时，则∠CQM=∠MQA， 从而可证得CM=MN，而C（0，3）， ∴N（0，-2t2+4t+3）， ∵A（-1，0），故由待定系数法可求得直线AQ的解析式为y=（3-t）x+3-t, 把N点坐标代入解析式可得：3-t=-2t2+4t+3， 解得：t1=0（舍去），t2=， 故点Q坐标为（）． （3）先来证明一个引理： 设抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m两交点的横坐标分别为x1，x2， 则ax2+bx+c=kx+m,整理得ax2+（b-k）x+c-m=0， 由根系关系可得：， ∴k=a（x1+x2）+b,m=c-a（x1+x2）， 故直线y=kx+m=[a（x1+x2）+b]x+c-a（x1+x2），证毕． 设M（m,-m2+2m+3），N（n,-n2+2n+3）， 根据以上引理可得直线PM的解析式：y=（-2m+2）x+m2+3， 同理得直线PN的解析式：y=（-2n+2）x+n2+3， 联立直线PM、PN的解析式可得交点P坐标为P（，m+n-mn+3）， ∵S△PAB=10， ∴， ∵AB=4， ∴yP=5， 即m+n-mn+3=5， ∴-m-n+mn=-2， 由引理可得直线MN的解析式：y=（-m-n+2）x+mn+3， 当x=1时，y=3， 即直线MN经过定点S（1，3）， ∵OH⊥MN， ∴OH≤OS=， 当OS⊥MN时，OH的最大值为． 19、解：（1）由题意可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4． （2）解法一：在y=-x2+3x+4中，令y=0， 得-x2+3x+4=0，解得：x1=-1，x2=4， 令x=0，则y=4， ∴A（4，0），B（-1，0），C（0，4）． 由待定系数法可得直线AC的表达式为：y=-x+4， 直线BC的表达式为：y=4x+4， 设点E设点E（e,0），则可设直线EF的表达式为：y=4（x-e）， 联立：，得点F坐标为F（）， ∵EF∥BC， ∴S△CEF=S△BEF=•yF==， 当e=时，（S△CEF）max=． 解法二：在y=-x2+3x+4中，令y=0， 得-x2+3x+4=0，解得：x1=-1，x2=4， 令x=0，则y=4， ∴A（4，0），B（-1，0），C（0，4）． ∴S△ABC=． 设点E（e,0），则AE=4-e,BE=e+1， ∵EF∥BC， ∴，， ∴S△CAE=S△ABC=×10=8-2e, S△CEF=S△CAE=（8-2e）×==， 当e=时，（S△CEF）max=． （3）证明：直线MN会经过定点，理由如下： 首先简证一下下列内容： 若抛物线ax2+bx+c=0（a≠0）与直线y=kx+t有两个交点，交点横坐标分别为m,n, 则ax2+（b-k）x+c-t=0，由韦达定理有， ∴， 故直线y=kx+t亦可表示为：y=[a（m+n）+b]x+（c-amn）．简证完毕． 设点M（m,-m2+3m+4），点N（n,-n2+3n+4）， ∵A（4，0），C（0，4）， 由简证内容可得， 直线AN的表达式为：y=（-1-n）x+4+4n, 直线CM的表达式为：y=（-m+3）x+4， 直线MN的表达式为：y=（-m-n+3）x+4+mn, 联立直线AN，直线CM表达式， ， 可得， 即点P坐标为（，）， 又P在y=x+8上，把P点代入y=x+8中，得： mn+4=m+n, ∴直线MN的表达式为y=（-m-n+3）x+4+mn也可以写成： y=（-m-n+3）x+m+n=-（m+n）x+3x+m+n=（m+n）（1-x）+3x, 令1-x=0，则x=1，此时y=3x=3， 故直线MN过定点（1，3）． 20、解：（1）∵y=ax2-2ax-3a=a（x-3）（x+1）， 故点A（-1，0），点B（3，0）． 把B（3，0）代入直线y=-x+c中，c=3， 故点C（0，3），从而知-3a=3， 故a=-1， 故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）设点P（t,-t2+2t+3），B（3，0）， 故由待定系数法可得直线PB的解析式为y=（-t-1）x+3t+3， 即d=3t+3； （3）∵OC=OB=3，∠COB=90°， ∴∠OCB=∠OBC=45°， 又∵∠CGD=∠BGF， ∠CDG=∠BFG． ∵FQ⊥PB交BP于点E， ∴∠FEB=90°=∠COB， ∴∠BDO=∠BFG， ∴∠BDO=∠BFG=∠CDG． 过点B作BR⊥x轴交DG的延长线于点R，如图1， ∵BR∥CO， ∴∠BDO=∠DBR，∠CDG=∠R， 从而∠DBR=∠R， ∴DR=DB． 作DS⊥BR于点S，如图1， 由三线合一性质可知RB=2BS=2DO=2×（3t+3）=6t+6． ∵∠CBO=45°，∠RBO=90°， ∴∠RBG= 45°， 在△RGB和△FGB中， ∵， ∴△RGB≌△FGB（ASA）， ∴RB=FB=OB-OF=3-1=2， 即6t+6=2，解得t=， ∴OD=3t+3=1． 作QT⊥x轴于点T， ∵∠QFB=∠BDO， ∴∠DBO=∠FQT， ∴tan∠DBO=tan∠FQT==， 设点Q（m,-m2+2x+3）， 则，即=， 解得m=2或-3（舍去）， 故Q点坐标为（2，3）． 21、解：（1）由OC=可知C（0，），把C（0，）代入到y=a（x-1）2-4a中，得a-4a=， 解得a=， 故抛物线的解析式为y=， 故答案为：y=． （2）令y==0，解得x1=-1，x2=3， 故A（-1，0），B（3，0）， 又∵D（0，），由待定系数法可得直线AD的表达式为y=， ∵线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称， ∴四边形DCMN为平行四边形，P点为以DC和MN为对边的平行四边形的对角线交点， ∴MN⊥x轴，且MN=CD=2， 故点P的横坐标为xP=， ∵M是直线AD上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点， 故设M（m,），N（m,）， ∴MN===2， 上式可分为两种情况： 当=2时，则m=3或0（舍去），此时xP=； =-2时，则m=，此时xP=． 综上，点P的横坐标为或； （3）由题意可知平移后的抛物线表达式为y=， ∵K（2，0）， ∴设直线KE的表达式为y=k（x-2）， 联立直线KE与抛物线y=，整理可得， 由韦达定理可得xE+xF=2k,xE•xF=4k, 又∵T（0，t）， 故设直线ET表达式为y=mx+t,直线FT的表达式为y=nx+t, 联立直线ET与抛物线y=，整理可得， 由韦达定理可得xE•xG=-2t,xG=， 联立直线FT与抛物线y=，同理可得xH=， 联立直线HG与抛物线y=，整理可得， 由韦达定理有xH+xG=2p, 即+（）=2p,即=2p, ∴，t=-2p, 整理可得． 学科网（北京）股份有限公司 $$