精品解析：2025年广东省惠州市惠城区第一次初中学业水平模拟考试数学试题

2025年惠城区第一次初中学业水平模拟考试 数学试卷 说明：1．本试卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是惠州市的场馆标志，其中属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 截至年4月5日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列四个代数式：、、、，化简后无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体变化前后的三视图，改变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 以上三种视图都改变 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 9. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知方程的两根分别为a和b，则___________． 12. 若式子有意义，则的取值范围是________． 13. 将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则___________°． 14. “24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：___________． 15. 如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分． 16. 已知方程，小张同学是这样解方程的： 解： 第一步（___________） 第二步（___________） 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 17. 惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高，已知在C处测得塔顶的仰角，朝塔脚前进米到B点，在B处测得塔顶的仰角，已知，请求出塔高约为多少米．（，结果精确到个位） 18. 春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数． 20. 如图，是直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 21. （综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm） 【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图： 【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 五、解答题（三）﹔本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． （1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； （2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 23. 探究如下问题： （1）【观察猜想】 ①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________ （用“>”“<”或“=”填空）． ②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________； （2）【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B， ③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．） ④如图4，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年惠城区第一次初中学业水平模拟考试 数学试卷 说明：1．本试卷共6页，23小题，全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是惠州市的场馆标志，其中属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 截至年4月5日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，根据科学记数法的表示方法求解即可得到答案． 详解】解：由题可得：， 故选：D． 3. 下列四个代数式：、、、，化简后无理数的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的识别，化简二次根式，求特殊角三角函数值和零指数幂，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此先计算特殊角三角函数值，零指数幂和化简二次根式，再根据无理数的定义即可得到答案． 【详解】解：、、， 四个代数式：、、、，化简后无理数有，，共2个， 故选∶B． 4. 如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则该几何体变化前后的三视图，改变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 以上三种视图都改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，解题的关键是熟练掌握三视图的定义．根据三视图的定义，分析几何体变化前后的三视图，即可得出结论． 【详解】解：将小正方体A放到小正方体B的正上方，主视图发生变化， 上层的小正方形由原来位于左边变为右边； 俯视图和左视图都没有发生变化． 综上，所以选择A选项． 故答案为：A． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式，负整数指数幂，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别按照同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、相交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 7. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数，以及他选择从口进入从口离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种． 他选择从口进入，从口离开的概率为， 故选：A． 8. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 9. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设绫布有x尺，则罗布有尺，根据绫布和罗布分别出售均能收入896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱即可列出方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 10. 已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，进而解答即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和， 故A、B、D选项错误， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知方程的两根分别为a和b，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则，，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为a和b，， ∴ ∴ 故答案为：4． 12. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 将一把直尺和正五边形如图所示位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则___________°． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和、三角形内角和，解题关键是求出正五边形的内角，再利用三角形内角和求解． 【详解】解：因为多边形是正五边形， 所以， 因为直尺的长边过点A，且与边垂直， 所以， 所以， ， 故答案为：54． 14. “24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 15. 如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，， 根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值． 【详解】解：设点A的坐标为∶，， ∵轴， ∴点B的纵坐标为：， ∵点B反比例函数， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∵点C在x轴上，轴， ∴边上的高为∶， ∵的面积是2， 即， 化简得：， 解得：， 故答案为：3． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分． 16. 已知方程，小张同学是这样解方程的： 解： 第一步（___________） 第二步（___________） 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：小张的解答是正确， 依据第一步“等式的性质”或“等式左右两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立．” 第二步“分式的运算”或“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．” 第三步“分式的化简”或“分子分母同时乘以（除以）一个不为零的数，分式大小不变．” 17. 惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高，已知在C处测得塔顶的仰角，朝塔脚前进米到B点，在B处测得塔顶的仰角，已知，请求出塔高约为多少米．（，结果精确到个位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三角形--锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角形的定义是解题的关键，设为米，在中，，可得到﹐再由，可得到，在中，，利用，求解即可得到答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，， ∴﹐ ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 答：塔高约为米． 18. 春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 任务1：根据定义画出图形即可； 任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可； 【详解】解：【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分） 【任务2】1、角的性质：筝形有一组对角相等． 2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． 角的性质证明如下：连接， 在和中， ∵， ∴ ∴． 故筝形有一组对角相等得证． 对角线的性质证明如下：连接，交点为O 在和中， ∵， ∴ ∴，即是的角平分线． 又∵， ∴是的垂直平分线，即 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数． 【答案】（1） （2）对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，扇形统计图和用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值； （2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多， ∴甲款评分的众数为85分，即， ∵份， ∴乙款评分在A组和B组数量之和为8份， 把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分， ∴乙款的中位数为，即； 乙款评分中D组份数为份，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵ （人），（人）， ∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 20. 如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，得到，即可证明； （2）设半径为，则，在中，，则，即，解得，而半径为，则，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为半径， 与相切； 【小问2详解】 解：设半径为，则， ，， ， 在中，，， ，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， 半径为，则， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. （综合与实践） 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下： 【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm） 【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图： 【问题解决】 任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式． 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗． 任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？ 【答案】任务1：； 任务2：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗； 任务3：5.7元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，不等式的解等知识，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． 任务1：利用待定系数法求出函数解析式即可； 任务2：根据题意进行解答即可； 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可 【详解】解：任务1：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； 任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗． 任务3：设A盒x个，B盒y个，据题意可得： x，y为正整数且尽可能小，故方案有10种，分别为、、、、、、、、、 经计算买盒花费最少的方案是： 最少要（元） 五、解答题（三）﹔本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． （1）问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； （2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1）①；②1 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得证；②证明四边形四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）作于，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，从而推出，即可得解； （3）作交的延长线于，作于，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，再由勾股定理求出，从而得出，结合（2）的结论即可得解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，作于， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵（k为常数）， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作交的延长线于，作于，连接， ， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， 由（2）的结论可得：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与 、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 探究如下问题： （1）【观察猜想】 ①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________ （用“>”“<”或“=”填空）． ②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________； （2）【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B， ③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．） ④如图4，当时，求证：． 【答案】（1）①；②抛物线 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答即可； （2）根据，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式； （3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，根据梯形中位线证明即可；④过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 利用三角函数表示出，再计算推理即可． 【小问1详解】 解：①因为的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接， 所以； ②对应的（保留作图痕迹）如图所示： 通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物线． 【小问2详解】 解：已知，定直线，则﹐ ∵， ∴ 两边同时平方得： 整理得： 故点P的坐标x与y的关系式：． 【小问3详解】 ③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G， 则， 由（1）（2）可知，， ∴， 故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切． ④当时，点定，定直线， 过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 设，则在中，， ∵， ∴， 又由（1）（2）可知，， ∴， 解得：， 同理可得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、圆的切线和证明比例，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和圆的切线的判定进行证明和推理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $