精品解析：2025年江苏省苏州市姑苏区九年级数学一模试卷

2024～2025学年第二学期 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 有一组数据： ， ，2，4，5，这组数据的中位数为（ ） A. －3 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，将数据排序后，中间的一个数据，即为中位数，进行判断即可． 【详解】解： ， ，2，4，5的中位数为2； 故选B． 3. 截止2025年3月15日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球票房中闯入前5名，总票房为150.22亿元人民币．数据150.22亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：150.22亿； 故选D． 4. 如图，飞镖游戏板由 个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，飞镖游戏板由 个全等的小正方形，其中阴影小正方形有 个，飞镖击中阴影部分的概率是． 【详解】解：飞镖游戏板由 个全等的小正方形， 其中阴影小正方形有 个， 飞镖击中阴影部分的概率是． 故选：C． 5. 下列命题中，真命题是（） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，根据对顶角的定义，矩形的判定，不等式的性质，平方根的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解∶A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题； C．若，，则，，故原命题是真命题； D．若，则，故原命题是假命题； 故选∶C． 6. 若，为一次函数图像上两点，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据一次函数的增减性，得到的符号，进行求解即可． 【详解】解：∵，为一次函数图像上两点，且， ∴ 随着 的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房 间、房客 人，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是找出两个等量关系. 根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房”分别列出方程，联立组成方程组． 【详解】解：设该店有客房 间、房客 人， 可列方程组， 故选： B． 8. 如图，在菱形 中， 为边 上一点，且， 与交于点．下列结论：①，②平分，③，④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键．证明，判断①，推出，判断②，证明，判断③，证明，判断④． 【详解】解；设， ∵菱形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数中，自变量 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量 的取值范围是． 故答案为：． 10. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，将已知化为，再将转化为，再整体代入计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 即． 故答案为： ． 12. 如图，长方体盒子底部有一面平面镜 ．点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点 ．若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到，反射定律推出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵长方形的对边平行， ∴， ∵反射， ∴反射角等于入射角， ∴（等角的余角相等）， ∴； 故答案为：50 13. 如图，在矩形 中，，，扇形的圆心 在边 上，点 在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质求得，然后利用线段差求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出，接着利用邻补角的意义求得，再利用弧长公式求得圆锥的底面的半径． 【详解】解：连结，设该圆锥的底面圆半径为 ， ∵与边相切，切点为， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，   故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，求圆锥底面半径，含有30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，根据切线性质利用含有30度角的直角三角形的性质求出是解题关键． 14. 定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于 的方程是邻根方程，则______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于 的方程是邻根方程， ∴或， 解得， 或3， 故答案为：1或3． 15. 如图，在 中，，，分别为边上一点，且，设，，则 与 之间的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数解析式，勾股定理求出 的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 整理，得；； 故答案为：． 16. 如图，在 中，，以 为直径的 与交于点 ，连接．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，垂径定理．过点 作，过点 作，根据，设，进而求出半径的长，勾股定理求出 的长，垂径定理求出的长，进而求出的长，等积法求出 的长，再利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点 作，过点 作， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴设， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，进行化简计算即可． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简、再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，关键是掌握分式的混合运算顺序和法则将式子化简． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【详解】 ∵ ∴原式． 20. 如图，在矩形 中，以点为圆心， 长为半径画弧，交边于点 ，以点 为圆心，长为半径画弧，交边 于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：∵矩形 ， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，作图方法，推出，，进而得到，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，得到，勾股定理求出 的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 此时； 故答案为：． 21. 学校组织学生开展“苏州的秘密”项目式学习探索活动，决定招募小组成员，学校将成员随机分配到“（美食）”“ （丝绸）”“ （园林）”三个项目式研究小组．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“（美食）”项目式研究小组的概率是______； （2）求甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法和概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲分配在“（美食）”项目式研究小组的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的结果有3种， ∴． 22. 为了解某校学生对各球类运动的喜爱情况，学校兴趣小组进行了问卷调查，问卷共设置“篮球”“羽毛球”“乒乓球”“排球”“足球”五个选项（参与调查的学生限选最喜爱的一项），根据调查结果绘制了以下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次兴趣小组共随机调查了______名学生，扇形统计图中足球选项对应扇形的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，试估计该校最喜爱羽毛球的学生人数． 【答案】（1） （2） 补全条形图如图： （3）240人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用篮球的人数除以所占的比例求出总人数，用360度乘以足球所占的比例，求出圆心角的度数即可； （2）求出乒乓球的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）；； 故答案为：； 【小问2详解】 乒乓球的人数为：（名）； 【小问3详解】 （人）； 答：估计该校最喜爱羽毛球的学生人数为240人． 23. 如图，四边形 为矩形，点在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接 ， ，． （1）若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据 为边 的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出 【小问1详解】 解：∵点 的坐标为， 为边 的中点， ∴点 的坐标为， 代入得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 点E坐标为 【小问2详解】 解：∵点 的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点， 设点D的坐标为，点E坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去）或， 则点D的坐标为，点E坐标为， ，， ． 24. 如图，某型号订书机的主要部件托板 与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧 ，长为的推动器 和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端 并随着的增大拉动推动器向销子 方向移动．现测得销子 ，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点 的距离． （1）如图①，当连杆勾住点 时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； （2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点 时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出 的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出 的长，利用双勾股定理，列出方程求出 的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； 【小问2详解】 过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 25. 如图，C，D为线段 上两点，且，过点D作 的垂线，与以为直径的 交于点E，作射线 ． （1）求证： 为 的切线； （2）F为 上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 是 的直径， ， ， ， ， ， ，且， ， ， 是 的半径，且， 为 的切线． （2） 的长为， 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，则，根据线段的和差关系求出的长，进而可求出的长，解直角三角形求出的长，进而证明，推出则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，由相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；连接，则， 为的中点， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， 解得， 的长为， 26. （1）如图①，，，．线段 沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿 方向平移，平移的距离为 ，得到线段，则线段可看作线段 沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段 经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段 经过一次平移得到（点的对应点为点，点 的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段 绕点按逆时针方向旋转，旋转角为 ，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段 经过一次旋转得到（点的对应点为点，点 的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心 （要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 【答案】（1） ；；（2）线段可看作线段 沿方向，平移得到；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可； （2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，从而证明，，即可得出结论； （3）连接，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为所求作的点；根据旋转的性质可得，，进而可得，根据得出，则，即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段 沿 方向平移得到，平移的距离为p． （2）连接，，如图所示： 根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴线段可看作线段 沿方向，平移得到． （3）如图，点O即为所求作的旋转中心； 如图，延长， 交于点 ，设直线交 于M，交于N ∵线段 绕旋转 得到线段， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 与的夹角为 ， ∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，画旋转图形，中位线的性质，四边形内角和，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键； 27. 如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与 轴交于点 ． （1）填空：______，______； （2）求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； （3）当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点 在点 的右侧），试判断在线段上是否存在点 ，使得．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 解：不存在，理由如下： 由（2）知道，直线恒过点， ∴当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，如图， 此时， 过点 作轴，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以 为斜边，在 下方，构造等腰直角三角形，则： 在 的中垂线上，且， ∴ 点的横坐标为， 设，则：， ∴或（舍去）； ∴， ∵， ∴点 在以 为圆心，为半径的圆上， ∵到 轴的距离为2，， ∴圆与直线相离， ∴线段上不存在点 使． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证； （3）根据直线恒过点，得到当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，过点 作轴，推出点，以 为斜边，在 下方，构造等腰直角三角形，求出 点坐标，圆周角定理，推出点 在以 为圆心，为半径的圆上，根据 到线段的距离大于半径，得到与线段相离，得到线段上不存在点 使． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∵， ∴当 时，， ∴直线恒过点， 又∵当 时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 有一组数据：，，2，4，5，这组数据的中位数为（ ） A. －3 B. 2 C. 4 D. 5 3. 截止2025年3月15日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球票房中闯入前5名，总票房为150.22亿元人民币．数据150.22亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，飞镖游戏板由 个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（） A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 若 ，，则 D. 若，则 6. 若，为一次函数图像上两点，且，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房 间、房客 人，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形 中， 为边 上一点，且，与 交于点 ．下列结论：①，② 平分，③，④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数中，自变量 的取值范围是______． 10. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 11. 若，则______． 12. 如图，长方体盒子底部有一面平面镜 ．点 处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点．若，则______． 13. 如图，在矩形 中，，，扇形的圆心 在边 上，点 在边 上，与边 相切，切点为 ．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为______． 14. 定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于 的方程是邻根方程，则 ______． 15. 如图，在 中，，，分别为边上一点，且，设，，则 与 之间的函数表达式为______． 16. 如图，在 中，，以 为直径的 与 交于点 ，连接．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简、再求值：，其中． 20. 如图，在矩形 中，以点 为圆心， 长为半径画弧，交边 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交边 于点 ，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． 21. 学校组织学生开展“苏州的秘密”项目式学习探索活动，决定招募小组成员，学校将成员随机分配到“ （美食）”“（丝绸）”“ （园林）”三个项目式研究小组．甲、乙两位同学报名参加了此项活动． （1）甲分配在“ （美食）”项目式研究小组的概率是______； （2）求甲、乙恰好分配在同一项目式研究小组的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 22. 为了解某校学生对各球类运动的喜爱情况，学校兴趣小组进行了问卷调查，问卷共设置“篮球”“羽毛球”“乒乓球”“排球”“足球”五个选项（参与调查的学生限选最喜爱的一项），根据调查结果绘制了以下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次兴趣小组共随机调查了______名学生，扇形统计图中足球选项对应扇形的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，试估计该校最喜爱羽毛球的学生人数． 23. 如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接 ， ，． （1）若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标； （2）若，求的面积． 24. 如图，某型号订书机的主要部件托板 与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧 ，长为的推动器 和书钉三段，连杆的一端通过销子 与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端 并随着的增大拉动推动器向销子 方向移动．现测得销子 ， 之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子 到手柄端点的距离． （1）如图①，当连杆勾住点 时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； （2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点 时，求． 25. 如图，C，D为线段 上两点，且，过点D作 的垂线，与以 为直径的 交于点E，作射线 ． （1）求证： 为 的切线； （2）F为 上一点，弦与直径 交于点G，当F为中点时，求 的长． 26. （1）如图①，，，．线段 沿 方向平移，平移的距离为 ，得到线段，线段沿 方向平移，平移的距离为 ，得到线段，则线段可看作线段 沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段 经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段 经过一次平移得到（点 的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含 的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段 绕点按逆时针方向旋转，旋转角为 ，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为 ，得到线段．试判断线段能否看作线段 经过一次旋转得到（点 的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心 （要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 27. 如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与 轴交于点 ． （1）填空：______，______； （2）求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； （3）当点 到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点 在点 的右侧），试判断在线段 上是否存在点 ，使得．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $