精品解析：2025年安徽省芜湖市二十九中学二模数学试题

2024~2025学年九年级第二次模拟考试 数学 注意事项：1、本试卷满分为150分，考试时间120分钟； 2、请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的； 3、考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 2024年11月至12月，安徽财政提前下达2025年农业相关转移支付资金157.4亿元．其中， 中央财政137.5亿元、省财政19.9亿元，用以支持江淮粮仓建设、农业产业发展、二轮延包及动物防疫等工作．数据“157.4亿”可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一个由两个等高的几何体组成的图形的三视图，则这个组合图形摆放正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A B. C. D. 5. 已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数与轴交于点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，在矩形中，，，点，分别在边上，，、交于点．若，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A B. C. D. 8. 若，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是_________． 12. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为______． 14. 如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为______． （2）若，则值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均在格点(网格线的交点)上． （1）以点O 为旋转中心，将旋转得到，画 出 ． （2）连接， 计算四边形的面积． （3）在图中利用无刻度的直尺画出点D，使 点D 是的中点． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 18. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 20. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，于点O，与交于点E． （1）求证：； （2）连接与相交于点F，若的半径为3，，求点O到的距离． 21. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某中学开展“祖国在我心中”征文比赛，随机调查了名学生的比赛成绩作为样本进行整理、并绘制统计图表，部分信息如下： 被抽查学生的比窦成绩统计表 组别 分数 人数 请根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：______，组所在扇形的圆心角为______； （2）该校共有名学生参赛、若分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数； （3）已知组中有名女生和名男生获得满分、从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，点在内部，连接、． （1）求证：； （2）延长交 于点，连接． ①求证：； ②求 的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． （3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年九年级第二次模拟考试 数学 注意事项：1、本试卷满分为150分，考试时间120分钟； 2、请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的； 3、考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C ． 2. 2024年11月至12月，安徽财政提前下达2025年农业相关转移支付资金157.4亿元．其中， 中央财政137.5亿元、省财政19.9亿元，用以支持江淮粮仓建设、农业产业发展、二轮延包及动物防疫等工作．数据“157.4亿”可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“157.4亿”可用科学记数法表示为； 故选：C． 3. 如图，这是一个由两个等高的几何体组成的图形的三视图，则这个组合图形摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状． 【详解】解：由三视图可知从前面看是两个正方形；从左面看是一个正方形；从上面看，左边是三角形，右边是正方形，同时满足以上条件只有B选项． 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故此选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 5. 已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数与轴交于点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函数的方法是解题的关键． 由反比例函数与一次函数的交点在第一象限，即；再求得，即；设，根据可得，即可确定，最后求得k即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点A， ∴， ∵一次函数与 y 轴交于点B， ∴，即， 设， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，点，分别在边上，，、交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据题意得，由勾股定理得到，则，再证明，由其性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，点分别在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是等腰三角形的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中所画三角形是等腰三角形的有、这2种情况， 所以所画三角形是等腰三角形的概率是， 故选：A． 8. 若，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．先求得，得到，解得，再分别求得、和的取值范围即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得； ∴，则， 即； ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 9. 在中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线的判定，锐角三角函数，属于综合题，先根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出的长从而判断选项；根据关于对称轴对称的两个三角形全等得出进而得出，，利用三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出，进而得出，再根据内错角相等两直线平行得出；利用，得出，从而得出；分别表示出，，从而判断选项错误，据此解答，解题的关键是根据题意画出图形． 【详解】解：根据题意作图， ，，， ， ， ，故A选项正确； ， 关于的对称点， ， ，， ，， ， ，故B选项正确； ，， ， ， ，故C选项正确； ，， ， 不一定成立，故D选项错误； 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 12. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】﹣2≤x＜3且x＞3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由代数式有意义，得 ． 解得﹣2≤x＜3且x＞3， 故答案为﹣2≤x＜3且x＞3． 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 13. 如图，四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键． 根据菱形的面积为20，，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，菱形的面积为20，， ， ， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， 故答案为： 14. 如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为______． （2）若，则值为______． 【答案】 ①. ##30度 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识： （1）由折叠得根据可得结论； （2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 由折叠得 ∴在中， ∴， 故答案为：； （2）设　 ∴ ∴ ∵G是的中点， ∴， 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，先逐项化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均在格点(网格线的交点)上． （1）以点O 为旋转中心，将旋转得到，画 出 ． （2）连接， 计算四边形的面积． （3）在图中利用无刻度的直尺画出点D，使 点D 是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-中心对称变换、四边形的面积、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质找出各点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求解即可； （3）根据网格图及矩形的性质即可找出所求点． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：四边形的面积为：． 【小问3详解】 解：如图：点D即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【解析】 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 18. 2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【解析】 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 【答案】古树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， 答：古树的高度约为． 20. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，于点O，与交于点E． （1）求证：； （2）连接与相交于点F，若的半径为3，，求点O到的距离． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，则，而，所以，则； （2）作于点，由，且，，得，求得，则，，由，得，所以点到的距离为． 【小问1详解】 证明：连接， 则， ， 与相切于点， ， ， 于点，， ， ， ∵， ， ． 【小问2详解】 解：作于点， 则， 的半径为3，， ， ，且，， ， 解得， ， ， ， ， 点到的距离为． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某中学开展“祖国在我心中”征文比赛，随机调查了名学生的比赛成绩作为样本进行整理、并绘制统计图表，部分信息如下： 被抽查学生的比窦成绩统计表 组别 分数 人数 请根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：______，组所在扇形的圆心角为______； （2）该校共有名学生参赛、若分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数； （3）已知组中有名女生和名男生获得满分、从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握概率的求法是解题的关键． （1）用组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用乘以组人数所占的百分比得到组的圆心角的度数； （2）先计算出组的人数，然后用乘以样本中组和组人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有种等可能的结果，找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 小问1详解】 解：本次共调查的学生人数为（人）； 组的圆心角为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 则估计优秀的人数为（人）． 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数为， 恰好抽到一男一女概率为 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，点在内部，连接、． （1）求证：； （2）延长交 于点，连接． ①求证：； ②求 的值． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得、，，推得即可证明，再由相似三角形性质即可证明； （2）①证明后可得，又可证，再由相似三角形性质可证； ②在上取点，使，连接，记与交点为，据①可得，推得可证，根据全等三角形性质可得是等腰直角三角形，求得后即可求得的值． 【小问1详解】 证明：、是等腰直角三角形， ， ， ， 又等腰直角三角形、中，， ， ． 【小问2详解】 ①证明：记与 的交点为， 由（1）知，，， ， 又， ， ， ． ② 解：在上取点，使，连接， 记 与 的交点为， ， 又， ， 等腰直角三角形中，， 在和中， ， ， ，， ， 故是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用截长补短的方法作辅助线，构造全等三角形求解． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． （3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，有最大值 （3）能， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值； （3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时． 【小问1详解】 解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为 ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 【小问2详解】 在抛物线上 ∴设 在第一象限 ∴当时，有最大值为 【小问3详解】 由（1）知，向左平移后的抛物线为 由（2）知 设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形． ①当以为对角线时， 平行四边形对角线互相平分 ，即 在抛物线上 的坐标为 ②当以为对角线时 同理可得，即 则 的坐标为 ③当以为对角线时 ，即 则 的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形． 的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$