精品解析：贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项∶ 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答∶每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3 若，且，则（ ） A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题∶本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 10. 下列说法正确是（ ）． A. 若，则 B. “”是“”的充要条件 C. 命题，使得，则， D. 函数的单调增区间为 11. 定义：，用表示最大者，记为.若，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间内有且仅有个零点，则 三、填空题∶本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一元二次方程两实数根为，则__________. 13. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是______． 14. 已知实数满足，，则______. 四、解答题∶本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性； （2）记，若与在有两个互异的交点，交点横坐标分别为，且，求证：. 17. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 18. 已知函数且是偶函数，函数且. （1）求实数值. （2）当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 19. 函数在区间上的最大值为6. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项∶ 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答∶每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定为“，”， 故选：B. 3. 若，且，则（ ） A. 有最小值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 2 B. 8 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 5. 已知函数是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式等价于 或求解. 【详解】因当时，， 所以时，，时，， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以时，，时，， 又不等式，等价于 或， 所以 或，解得 或， 故选：C 6. 某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，由题意，求解即可. 【详解】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为， 由年平均增长率为，可得， 所以，两边取自然对数得， 所以，代入参考值得 故选：A 7. 设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分段函数的解析式画出函数图象，结合方程的根的情况找出之间的关系，再据此求取值范围. 【详解】根据分段函数可得如下图象： 因为方程有四个实根， 所以与有四个交点，交点的横坐标分别为， 此时， 由的性质可知，因为，所以， 根据对数运算法则得，即， 对于二次函数，因为，且其图象关于对称， 所以，即，其中， 根据，当且仅当即时，等号成立， 所以， 当时，此时，则，此时， 所以的取值范围为. 故选：C. 8. 将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心. 【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位， 可得， 令，， 解得，， 即对称中心为，， 当时，对称中心为，令得k均为整数解. 故选：D. 二、多项选择题∶本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定为 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D. 命题“若，则”是假命题 【答案】CD 【解析】 【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C. 【详解】命题，则命题的否定为，A选项错误； 当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，B选项错误； 对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C选项正确； 当时，得，则命题“若，则”是假命题，D选项正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. “”是“”的充要条件 C. 命题，使得，则， D. 函数的单调增区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用集合的包含关系结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用存在量词命题的否定可判断C选项；利用二次函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，由可得， 因为是的真子集，故“”是“”充分不必要条件，B错； 对于C选项，命题为存在量词命题，该命题的否定为，，C错； 对于D选项，函数的单调增区间为，D对. 故选：AD. 11. 定义：，用表示的最大者，记为.若，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间内有且仅有个零点，则 【答案】CD 【解析】 【分析】首先化简的解析式，即可画出函数图象，再数形结合即可判断. 【详解】令，即，即， 解得； 令，即，即， 解得； 所以， 则的图象如下所示： 所函数的最小正周期为，故A错误； 函数的值域为，故B错误； 函数的图象关于直线对称，故C正确； 若函数在区间内有且仅有个零点，则，解得，故D正确. 故选：CD. 三、填空题∶本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一元二次方程两实数根为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用韦达定理计算可得. 【详解】解：因为一元二次方程两实数根为， 所以，， 所以. 故答案为： 13. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是上的增函数，由每一段函数为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意可得, 解得． 故答案为： 14. 已知实数满足，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题可得及，从而得.构造函数，利用函数单调性可得即可求解. 【详解】由题可得， 又，，即， 所以. 因为函数在上单调递增， 所以，则， 所以. 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查对数运算、指对互化及函数的单调性，解题的关键是通过将方程等价变形转化为，再构造函数，利用函数单调性即可求解. 四、解答题∶本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 16. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性； （2）记，若与在有两个互异的交点，交点横坐标分别为，且，求证：. 【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，讨论时，的关系，即可判断； （2）求得在上解析式，并分析其单调性，结合题意，求得的范围以及之间的关系； 再对要证明的目标式进行消元和等价转化，只需证明即可，最后根据的范围，即可证明. 【小问1详解】 易知定义域为，关于原点对称； 又，故， 故当时，，为偶函数； 当时，，且，故此时为非奇非偶函数. 【小问2详解】 ， 令，且，解得；令，且，解得，故， 当时，均单调递减， 故也单调递减； 当时，单调递增； 故与在有一个交点，在有一个交点； 故，， 则，，且； 故，； 又因为，且，则； 要证，即证：， 只需证， 即证， 也就是证， 就证， 即证； 又因为，，，故，故. 故. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是能够找到的范围，以及的关系；二是，对要证明的不等式进行等价转化，核心是要通过消元进行处理；属综合困难题. 17. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】（1）36万元； （2）9万件，72万元； 【解析】 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【小问1详解】 设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； 【小问2详解】 当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 18. 已知函数且是偶函数，函数且. （1）求实数的值. （2）当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，代入化简即可解得的值； （2）①利用基本不等式可得，再根据对数函数的单调性即可求得的值域； ②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【小问1详解】 ∵函数且是偶函数， ，即， ， . ∵不恒为0，，即. 经检验，当时，的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数是偶函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 ①由（1）可知：当时，， ∵，∴由基本不等式可知， 当且仅当即时等号成立. 又对数函数在上单调递增，， 即函数的值域为. ②由题意得. ，使得恒成立， ，使得恒成立， 则恒成立. 由①得当时，，， 恒成立. 在上恒成立. 令，，， 则在上恒成立，即在上恒成立. ∵函数在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）求函数值域的常用方法有：利用函数的单调性；基本不等式；分离常数法；配方法；判别式法；图象法(观察法)等； （2）不等式恒成立问题即为求函数的最值问题，常常采用参变分离法求参数的取值范围：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. 19. 函数在区间上的最大值为6. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数的值； （2）由，求解可得函数的单调递增区间； （3）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据余弦函数的对称中心结合整体思想即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的最大值为， 所以，得； 【小问2详解】 由（1）得. 由，解得. 所以函数的单调递增区间为 【小问3详解】 由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数. 令，解得 所以，函数的对称中心坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$