北京市第三中学　2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷

第 1 页 共 15 页 北京三中 2024—2025 学年度第二学期学业测试 初一年级数学学科 期中试卷 2025.4 试卷满分：100 分 考试时间：100 分钟 一、选择题（每题 2 分，共 16 分） 1. 能由图 1 平移得到的图形是( ) 图 1 A. B． C． D． 2. 点 ( )1,2A − 所在象限为 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 若m n ,则下列各式中正确的是（ ） A. 0m n−  B. 9 9m n−  − C. 4 4 m n −  − D. 2m n n+  4. 下列运算中,正确的是（ ）． A． ＝±3 B. ＝2 C． D. 5. 下列图形中，由∠1=∠2，能得到 AB CD∥ 的是（ ） A. B. C. D. 6. 由 2x-y=7 可以得到用 x 表示 y 的式子是（ ） A. y=2x-7 B. y=7-2x C. 2 7 y x + = D. 2 7− = y x 9 3 8− 4 2− = 2( 8) 8− = − 第 2 页 共 15 页 7. 下列命题中,属于假命题的是（ ） A.对顶角相等； B.有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角； C.平行于同一条直线的两条直线平行； D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 8. 已知：关于 x的不等式 x>a只有两个非正整数解,则 a的取值范围是（ ） A. 2 1a−   − B. 2 1a−   − C. 2 1a−   − D. 2 1a−   − 二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 9. 在实数 , 3.14159265， , 中，是无理数的是 10. 4 1 的算术平方根为 11. 已知二元一次方程 3x＋y＝9，写出该方程的一组正整数解： ． 12. 命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 13. 写出一个大小在 5 和 35之间的整数是 ． 14. 在平面直角坐标系中，点 (1, 3)A − ，点 B(a,a+2),若 AB //x 轴，则点B的坐标 是 ． 15. 如图，AB∥CD，EF⊥AB 于点 O ，FG 交 CD 于点 P, 若∠DPG＝40°，则∠EFG＝ °． 16. 关于 x，y 的二元一次方程 kx- y＝1，且当 x＝3 时，y＝5． （1）k 的值是______； （2）当 x>3 时，对于每一个 x 的值，关于 x 的不等式 x＋n<kx-1 总成立，则 n 的取值范围是______． 7 22 367 第 3 页 共 15 页 三、解答题（共 68分，第 17题 8分，第 18题 11分，第 19-21题，每题 9分， 第 22题 5 分，第 23题 9分，第 24题 8分） 17．（1）计算： 33 2 4 2 8+ + − + − ． （2）解不等式： 213 −− xx ）（ 18.（1）解方程组    =− =− .1743 ,72 yx yx （2）解不等式组      − + − x x x 1 2 13 512 19. （1）如图，按要求画图并回答问题： ①过点 A画点 A到直线BC的垂线段，垂足为D； ②过点D画直线 DE∥AB，交 AC 的延长线于点E； ③在线段 AB， AC ， AD中，最短的是________，理由为 ________________． （2）已知：如图，直线 AB，CD被 EF，MN 所截，MF 平分 EMN ， ∠1=60°，∠2=96°， 120EFD = ，求 MFN 的大小． 补充完成下列推理过程： ∵∠1=60°，∠EFD=120°（已知）， ∴∠1+∠EFD=60°+120°=180°， ∴AB∥CD( ), ∴∠2=∠ （ ）. ∵∠2=96°（已知）， ∴∠ =96°（等量代换）. ∵MF 平分 EMN （已知）， ∴∠EMF= =48°（角平分线定义）． ∵AB∥CD（已证）， ∴∠MFN=∠ =48°（ ）. EMN 2 1 第 4 页 共 15 页 20.在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点分别是 ( )3,0A − ， ( )4, 2B − − ， ( )0, 3C − ， （1）在平面直角坐标系中画出三角形 ABC ，它的面积为 ； （2）将三角形 ABC 平移到三角形 A1B1C1，其中点 A，B，C 的对应点分别是 A1, B1, C1．已知点 A1 的坐标是（2，3）， ①点 B1 的坐标是 ，点 C1 的坐标是 ； ②画出三角形 A1B1C1,写出一种将三角形 ABC 平移到三角形 A1B1C1的 方法： ． 21.如图，点 E，G 在线段 AB 上，点 F 在线段CD上，EF∥DG，∠1=∠2． （1）求证：AB∥CD （2）若∠A=80°，BC平分 ACD ， 1 与 BCF 互余，求∠2 的度数． 第 5 页 共 15 页 22. 为丰富学生课余生活，某中学体育组计划从同一个体育用品店一次性购买一些 篮球和足球.已知 1 个篮球和 3 个足球共需要 290 元；2 个篮球和 1 个足球共需 要 230 元. （1）求每个篮球和每个足球各多少元； （2）该体育组根据实际需要，准备购买篮球和足球共 6 个，且篮球个数不少于 2 个，总费用不超过 450 元，有几种购买方案？ 23. 如图，已知 AB∥CD， BGH EFC = ，点 P 为直线CD上一动点． （1）求证：EF∥GH； （2）作射线HM 交直线CD于点 M，交直线EF 于点 N，且∠GHM=∠PHM． ①当点 P 运动到如图 1 所示的位置时，用等式表示∠ENM,∠MFE 与∠ HPD 之间的数量关系，并证明； ②当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，补全图形，直接用等式写出 HPD 、 MFE 与 ENM 之间的数量关系． 图 1 图 2 第 6 页 共 15 页 24.在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( ),M a b 和点 ( ),N c d ，给出如下定义：对于任意 实数 ( )0k k  ，称点 ( ),P ka kc kb kd− − 为点 M 和点 N 的“ k 倍差点”． 已知点 ( ) ( ) ( )1,2 , ,2 , 2,0A B m C ． 备用图 （1）在点 ( )1 0,1P ， ( )2 2,0P − ， ( )3 3,4P 中，点 A 和点 B 的“1 倍差点” 是 ； （2）已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点 B 和点C 的“ k 倍差点”为点 D， 点 D 在第一、三象限的角平分线上． ①如果点 D 是整点，且 2OD  ，写出三角形BCD内部（不包括边界）整 点的坐标； ②如果点E和点 B 关于 x轴对称，点F 为点E和点C 的“ k 倍差点”．四 边形BEFD内部（不包含边界）至少有 3 个整点，至多有 7 个整点，那么 k 的取值范围是 ． 附加题：（本题共 10 分，25题 4分，26题 6分） 第 7 页 共 15 页 25.甲、乙两位同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数 x1,x2,x3,x4， 如下表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任 意一个数的 2 倍． （1）若甲同学填写的四个数中，x1=2，x2=4, ，请写出一个符合 要求的 x3 的值：______； （2）若乙同学填写 前两个数满足 x1=-2，x1+x2<-3，求 x2 的取值范围； （3）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的 第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值 为 ． 的 x1 x2 x3 x4 4014 =x 第 8 页 共 15 页 26.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ( ),P x y ，若点 Q 的坐标为 ( )2 , 2x y y x+ + ， 则称 Q 是点 P 的非常变换点．例如：点 ( )2,1 的非常变换点为 ( )4,5 ． （1）已知点 ( ), 1P x x − 的非常变换点为 Q，当 0x = 时，点 Q 的坐标为 _________，当 1x = 时，点 Q 的坐标为___________； （2）在正方形 ABCD中，点 ( ) ( ) ( ) ( )2,4 , 4,4 , 4, 2 , 2, 2A B C D− − − − ，已知点 ( ) ( ), , 1, 1M x x a N x x a+ + + + ． ①若点 M 的非常变换点为 C，求 a 的值； ②若线段 MN 上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形 ABCD 的边上或内部，直接写出 a 的最小值及此时 x 的值． 第 9 页 共 15 页 北京三中 2024—2025 学年度第二学期学业测试 初一年级数学学科期中测试参考答案及评分标准 2025.4 试卷满分：100 分 考试时间：100 分钟 一、选择题（每题 2 分共 16 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C B A B C 二、填空题（本题共 16分，每题 2分） 9、 10、 11、 （答案不唯一） 12、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 13、3（答案不唯一） 14、（-5，-3） 15、130° 16、2， n≤2 四、解答题（共 68分，第 17题 8分，第 18题 11分，第 19-21题，每题 9分， 第 22题 5 分，第 23题 9分，第 24题 8分） 17．（1） 33 2 4 2 8+ + − + − ． 解： ...............................3 分 ...............................4 分 （2） 213 −− xx ）（ 解： 3x-3<x-2 ...............................1 分 3x-x<3-2 ...............................2 分 2x<1 ...............................3 分 x< ...............................4 分 7 2 1    = = 6 1 y x 24 22223 = −++= 2 1 第 10 页 共 15 页 18.（1）    =− =− .1743 ,72 yx yx ① ② 解：①×2 得 2x- 4y=14 ③ ..............................1 分 ②-③得 x=3 .............................3 分 把 x=3 代入①得 y=-2 .............................4 分 ① ②    −= =  .2 ,3 y x .............................5 分 （2）     − + − x x x 1 2 13 ,512 解：解①得 x<3 .............................2 分 解②得 x≥1 .............................4 分 ∴1≤x<3 .............................6 分 19.(1) ……………………………………………………………2 分 AD， ………………………………………………………………3 分 垂线段最短．………………………………………………………………4 分 第 11 页 共 15 页 (2)∵∠1=60°，∠EFD=120°（已知）， ∴∠1+∠EFD=60°+120°=180°， ∴AB∥CD ( 同旁内角互补 两直线平行，) ………………1 分 ∴∠2=∠BMN （两直线平行，同位角相等 ）.………………3 分 ∵∠2=96°（已知）， ∴∠BMN =96°（等量代换）. ∵MF 平分 EMN （已知）， ∴∠EMF= ∠EMN=48°（角平分线定义）． ∵AB∥CD（已证）， ∴∠MFN=∠EMF =48°（两直线平行，内错角相等 ）.………………5 分 20. .………………2 分 (1)4.5 .………………3 分 (2) (1,1) (5,0) .………………7 分 (3)△ABC右移 5个单位再上移 3个单位得到△A1B1C1 .………………9 分 2 1 第 12 页 共 15 页 21.解：（1）证明∵EF DG∥ ， .………2 分 ， 1 D = ， .………3 分 AB CD ∥ .………5 分 （2）∵ 80A = ， AB CD∥ ， ∴ .………6 分 ∵ BC平分 ACD ， ∴ 50ACB BCF = = ， .………7 分 ∵ 1 与 BCF 互余， ∴ 1 90 50 40 = −  = ， .………8 分 ∴ 2 1 40 = =  .………9 分 22. 解：（1）设每个篮球 x 元，每个足球 y 元 .………1 分 由题意得： .………2 分 解得 .………3 分 答：每个篮球 80 元，每个足球 70 元. （2）设购买篮球 m 个，则购买足球（6-m）个 由题意得 .………4 分 解得 2≤m≤3 ∴整数 m=2 或 3 答：共有两种购买方案 .………5 分 2D = 1 2 =Q 180 100ACD A = − =     =+ =+ .2302 ,2903 yx yx    = = .70 ,80 y x    −+  450)6(7080 2 mm m 第 13 页 共 15 页 23. 解：（1）证明： ∵ AB CD∥ ， ∴ GEF EFC = ， .………1 分 ∵ BGH EFC = ， ∴ BGH GEF = ， .………2 分 ∴EF GH∥ ； .………3 分 （2）①2∠ENM=∠MFE+∠HPD． .………4 分 证明： ∵EF GH∥ ， ∴∠GHN=∠ENM .………5 分 ∵ GHM PHM = ， ∴∠PHM=∠ENM， ∴ ∠GHP=2∠ENM 过 H 作 HQ∥AB .………6 分 ∴∠BGH=∠GHQ ∵AB∥CD ∴HQ∥CD ∴∠QHP=∠HPD ∴∠GHP=∠GHQ+∠QHP=∠BGH+∠HPD .………7 分 ∵ BGH EFC = ， ∴2∠ENM=∠MFE+∠HPD； 第 14 页 共 15 页 ②如图， ………8 分 2 180ENM HPD MFE + − = ． .………9 分 24.（1）P2 .………2 分 (2)① (2,1), (1,0) ……6 分 ② 或 ………8 分 3 0 2 k  3k = 第 15 页 共 15 页 25.(1)8（答案不唯一） ………1 分 （2） 2 12 4x x = −Q ， 又 1 2 3x x+  −Q ， 即 22 3x− +  − ， 2 1x  − ， 24 1x−   − ， 即 x2 的取值范围为； ………3 分 (3) 8 ………4 分 26.解：（1） ( 2, 1)− − ； (1,2) ………2 分 （2）① 由题意得， ( ),M x x a+ 的非常变换点为 ( )4, 2C − − ． 则 ( )2 4 2 2 x x a x a x  + + = −  + + = − ， ………3 分 整理得： 3 2 4 3 2 x a x a + = −  + = − ， 解得： 2 0 a x = −  = ， ∴ 2a = − ． ………4 分 ② 3− ；1 ………6 分 24 1x−   −