精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2024-2025学年八年级下学期阶段性质量检测数学试卷

2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是 （ ）． A. B. C. D. 2. 若，则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 如图，在等腰中，，是边上的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的（ ） A. B. C. D. 8. 推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 10. 如图，在中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. “y的2倍与8的和不小于”用不等式表示为______． 12. 将直线y=-2x+2沿y轴向下平移b个单位后过点（1，-2），则b=_____． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 14. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，若，，则的长为______． 15. 如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点，与的平分线相交于点，若，则______度． 三．解答题（共11小题，计75分．解答应写出过程） 16. 解不等式：，并写出该不等式的最小整数解． 17. 解不等式组： 18. 如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都位于方格交点处.请在图中画出关于坐标原点成中心对称的（点、、的对应点分别为、、）. 21. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上，求的长． 22. 在中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．求证：为等腰三角形． 23. 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 24. 如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共有师生255人，学校计划租8辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 35 30 租金（元／辆） 400 320 （1）请问有哪几种租车方案？ （2）学校租车总费用最少是多少元？ 26. 观察猜想： （1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考： （2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸： （3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键．根据中心对称图形的概念进行解答即可． 【详解】解：选项A、B、D不是中心对称图形． 选项C是中心对称图形． 故选：C． 2. 若，则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 当，， ∴A、B、C、一定正确，故不符合要求； D不一定正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(，向右画；，向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为，从而得解． 【详解】解：依题意得：不等式组的解集为． 故选C． 4. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：A：逆命题为：相等的两个角是对顶角，为假命题，不符合题意； B：逆命题为：若，则．取，可知为假命题，不符合题意； C：逆命题为：面积相等的三角形一定全等．一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，可知为假命题，不符合题意； D：逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知为真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的逆命题以及判定命题的真假．熟记相关数学结论是解题关键． 5. 如图，在等腰中，，是边上的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解： 是等腰三角形，且，， ， 又是边上的高， ， ， , 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 6. 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解，则整数解为， ， 解得：． 故选：A． 7. 如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵沿直线边所在的直线向下平移得到， ∴，， ∴，， ∴， 观察四个选项，不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 8. 推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润”列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中垂线的性质，尺规作图，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由题意得，垂直平分，，可推出，则的周长可转化为，问题可解． 【详解】解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 10. 如图，在中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可证，于是，可证，所以，，进一步求证，于是，，．可知选项①，②，③正确；由等腰三角形三线合一，得，求证，于是，故选项④正确． 【详解】解：中，， ∴ ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∵，，， ∴ 又，， ∴． ∴，． ∴．故选项①，②正确； ．故选项③正确； 中，，H是边的中点， ∴． ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰三角形．故选项④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，等腰三角形三线合一；灵活运用全等三角形求证线段相等、角相等是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. “y的2倍与8的和不小于”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】由“y的2倍与8的和不小于”，可得． 【详解】解：∵“y的2倍与8的和不小于”， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式，解题的关键在于理解“不小于”的含义，从而正确地列不等式． 12. 将直线y=-2x+2沿y轴向下平移b个单位后过点（1，-2），则b=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据 “上加下减”的平移规律可得直线平移后的解析式为y=-2x+2-b，把（1，-2）代入平移后的解析式即可得答案． 【详解】∵将直线向下平移个单位， ∴直线平移后的解析式， ∵平移后直线过点， ∴， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于x的不等式的解集即为函数图像在函数图像上方自变量的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：由图可知，当时，函数的图像在函数图像的上方， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用图像法求一元一次不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 14. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，若，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可以得到，，根据勾股定理可得的长，由平行可知，故，即可证明，故可求出的长． 【详解】解：的平分线交于点D， ，， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，平行的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点，与的平分线相交于点，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，交延长线于点E，于点F，先证明，得到，则，再利用四边形内角和求出，即可求得答案； 【详解】解：过点D作，交延长线于点E，于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 三．解答题（共11小题，计75分．解答应写出过程） 16. 解不等式：，并写出该不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解是 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该不等式的最小整数解是． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 17. 解不等式组： 【答案】﹣3≤x＜2 【解析】 【详解】分析：首先求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，可得答案． 详解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥-3， 不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图 原不等式组的解集为-3≤x＜2． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键． 18. 如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质， 作的平分线交于，根据角平分线的性质得点到的距离等于． 【详解】解：如图，作的平分线交于； ∵，即， ∵平分 ∴点到的距离等于， ∴点即为所作． 19. 如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 为等腰直角三角形， 在和中， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“”证明，即可作答． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都位于方格交点处.请在图中画出关于坐标原点成中心对称的（点、、的对应点分别为、、）. 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标即可解答． 【详解】解：∵， ∴关于原点对称的点的坐标为：， 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，理解关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 21. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】∵，将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是解题的关键． 22. 在中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】先证明，再证明，可得，可得，结合，从而可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的证明是解本题的关键． 23. 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 【答案】7 【解析】 【分析】设购买球拍个，由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元， 列出不等式求解即可． 【详解】解：设购买球拍个，依题意得： ， 解之得：， 由于取整数，故的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式求解是解题的关键． 24. 如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，可得，再证明，结合三角形的外角的性质求解，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． 25. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共有师生255人，学校计划租8辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 35 30 租金（元／辆） 400 320 （1）请问有哪几种租车方案？ （2）学校租车总费用最少是多少元？ 【答案】（1）方案1：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆； 方案2：租甲型客车4辆，租乙型客车4辆； 方案3：租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． （2）2800元 【解析】 【分析】（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据不等关系列出一元一次不等式组并解不等式组，利用为整数讨论即可． （2）设学校租车总费用是w元，根据等量关系列出关系式，由（1）中m的值讨论即可． 【小问1详解】 解：（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意得， 解得， 为整数， 可取3、4、5， 一共有3种租车方案： 方案1：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆； 方案2：租甲型客车4辆，租乙型客车4辆； 方案3：租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 【小问2详解】 设学校租车总费用是w元， ， ， 随m的增大而增大， 由（1）可得m取3，4，5， 时，w取最小值，最小值为（元）， 答：学校租车总费用最少是2800元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，理清题意，根据不等关系及等量关系列出一元一次不等式组及一次函数的表达式是解题的关键． 26. 观察猜想： （1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考： （2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸： （3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 【答案】（1）；； （2）证明：如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接，    则． ∴，，． ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴， ． (3) 【解析】 【分析】（1）根据，，，运用证明，根据全等三角形性质即可得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据定理可得，可得，再在中，利用勾股定理即可得； （3）将绕点A顺时针旋转得到，先根据定理可得，从而可得，再以是直角三角形分两种情况：①和②，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是． 理由：在中，，， ， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴，即 ， 故答案为：． （2）略 （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，    ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵以、、为边的三角形是直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，若 ，且， ， ， ， ， 综上，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $