18.1 等腰三角形的性质（四大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版七年级下册

18.1 等腰三角形的性质 题型一 等腰三角形的定义 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是 ． 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是 ． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为 ． 题型二 等边对等角 1．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则 ． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若点B在上，则 ．    题型三 三线合一 1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    2．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，于D，的周长为，那么 ．    3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，则的长为 ． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E，若，则的度数为 ．    题型四 根据等腰三角形的性质证明 1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点． (1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点． ①若为的平分线，求证：； ②若为的中线，连接，求证：． (2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值． 3．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，是的角平分线，且于点．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，，连接，，的面积是的面积的，求的长． 4．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．    (1)求与的面积之比； (2)比较与的大小并说明理由； (3)如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1 等腰三角形的性质 题型一 等腰三角形的定义 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】/12厘米 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系及分类讨论腰即可得到答案． 【详解】解：当是腰长时，，无法组成三角形，不符合题意； 当是腰长时，，符合题意，此时周长为：； 综上所述，这个等腰三角形的周长是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为 ． 【答案】9.5，9.5． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 当等腰三角形的底边为6时，腰为，根据，，得满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为6时，底边为，根据得不满足三角形三边关系，综上，即可得． 【详解】解：当等腰三角形的底边为6时，腰为：， ∵，， ∴满足三角形三边关系， 当等腰三角形的腰为6时，底边为：， ∵， ∴不满足三角形三边关系， 综上，另两边长分别为9.5，9.5， 故答案为：9.5，9.5． 题型二 等边对等角 1．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解决问题的关键．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若点B在上，则 ．    【答案】/75度 【分析】由旋转的性质可得，，，再由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 题型三 三线合一 1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，于D，的周长为，那么 ．    【答案】3 【分析】由已知可求得等腰三角形的底边长，等腰三角形的性质可得，即可求得结果． 【详解】解：∵，的周长为， ∴， 即； ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键． 3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质—三线合一可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，于点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到． 【详解】解：，是边上的中线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了余角的性质． 题型四 根据等腰三角形的性质证明 1．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（）． 得（全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（等腰三角形三线合一性质） 2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）；． 【分析】（）由余角性质可得，进而由即可证明，得到，进而得到，，据此可得； （）过点作于点，如图，同理（）可得，得到，由等腰三角形三线合一得到，即得； （）如图，作于点，作，作于点，作于点，可得四边形和四边形是长方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，进而得到；如图，作于点，同理（）得到，，即得，，进而可得； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：，； （）， 理由如下： 过点作于点，如图， 同理（）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）如图，作于点，作，作于点，作于点， 则四边形和四边形是长方形， ∴，， 同理（）可得，， ∴，， ∴， ∴， 即； 如图，作于点， 同理（）可得，， ∴，， ∴， 即． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点． (1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点． ①若为的平分线，求证：； ②若为的中线，连接，求证：． (2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质； （1）①根据等腰直角三角形的性质得出，再根据角之间的关系得出，再得出，从而得出，再根据三线合一的性质得出，从而证明； ②过作交延长线于，根据角之间的关系得出，再证明，从而得出，，再证明，从而证明，最后证明，即可得证； （2）过点作于点，证明，从而得出，，再根据角之间的关系得出，从而证明，最后得出． 【详解】（1）证明：，，是边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分， ， 在与中 ． ②过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，， 是中线， ， ， ，， ， 在和中， ， 在和中， ∴ ∴ （2）解：过点作于点， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ∴． 3．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，是的角平分线，且于点．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，，连接，，的面积是的面积的，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明（）即可得到结论； （2）过作于，求出，证明，得到，得出，证明，得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴； （2）过作于， ∵，，， ∴ ∴， 在和中， ∴（）， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴.    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 4．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．    (1)求与的面积之比； (2)比较与的大小并说明理由； (3)如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为定值3 【分析】（1）作于点I，作于点Q，由角一部分线性质定理得，根据三角形面积公式可得结论； （2）证明，得，由可得； （3）在上取点R，使可证明，再证明，则，即可由推导出 【详解】（1）解：作于点I，作于点Q，如图1，   平分 又，， ； （2）解：，理由如下： 由（1）可得：， 在和中， ， ； （3）解：在上取点R，使如图2，   ， 在和中， ， ， ， 所以，的值为定值3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$