精品解析：广西河池市巴马县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

广西巴马瑶族自治县2024年秋季学期期中教学质量检测 九年级数学测试卷 注意：1．本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分为120分，考试用时120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效．考试结束，将答题卡交回，试题卷学生自行保管． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的．） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. ， 6. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 180° 7. 下列关于二次函数性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 8. 如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（ ） A. 点C B. 点D C. 线段的中点 D. 线段的中点 9. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 10. 如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为，，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题6小题，每小题2分，共12分．） 13. ______ 14. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是_____． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 17. 如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是_______． 18. 如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是______． 三、解答题（本大题共8题，共72分．） 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 21. 用配方法完成下列推理过程． 解： ； ； ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 22. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数． 23. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 24. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会．吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3日销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4200元？ 25. 【综合与实践】 在实验课上，小明做了一个试验．如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 图1 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象（如图2）． （1）求出关于函数表达式； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①请在图2中作出关于的函数图象，并直接写出关于的函数表达式； ②当时，观察的函数图象，并结合解析式，请写出函数的一个性质； （3）若在容器中加入水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 26. 问题发现： 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）①的度数是______；②线段，，之间的数量关系是 ； 拓展探究： （2）如图2，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）如图3，在中，，，，若点A满足，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广西巴马瑶族自治县2024年秋季学期期中教学质量检测 九年级数学测试卷 注意：1．本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分为120分，考试用时120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效．考试结束，将答题卡交回，试题卷学生自行保管． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的．） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C．图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 3. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 4. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用直接开方法即可求解． 【详解】解： 开方，得：， 解得：，， 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题的关键． 6. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°． 故选C． 7. 下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 8. 如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（ ） A. 点C B. 点D C. 线段的中点 D. 线段的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 9. 点在抛物线上，则的大小关系为（    ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵点在抛物线上， ∵，离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：A． 10. 如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为，，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，由此即可得出一元二次方程，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为， 由题意得：， 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，综上即可得出结论． 【详解】解：①当，即时，， 令，， 解得， ∴此时函数的图象与x轴只有一个交点， ②当时， ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得． 综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题6小题，每小题2分，共12分．） 13. ______ 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：， 故答案为：16． 14. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ， ， 的长是：． 故答案为：2． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】为任意数 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况即可确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的取值范围是任意数， 故答案：为任意数． 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横、纵坐标都互为相反数”，即可解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题关键． 17. 如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 18. 如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，，证明，进而可证，从而，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8题，共72分．） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，， 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点的坐标． 【详解】解：如图，即为所求，. 21. 用配方法完成下列推理过程． 解： ； ； ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【解析】 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 22. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数． 【答案】∠CAE=45°；∠B=115°． 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，易知∠ACD=90°-20°=70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC=∠B，则可求． 【详解】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°， 所以△ACE是等腰直角三角形． 所以∠CAE=45°； 根据旋转的性质可得∠BDC=90°， ∵∠ACB=20°． ∴∠ACD=90°-20°=70°． ∴∠EDC=45°+70°=115°． 所以∠B=∠EDC=115°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，对应线段相等，解决这类问题要找准旋转角以及旋转前后对应的线段． 23. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 24. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会．吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3日销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4200元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由3月份的销售量=1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设“冰墩墩”每个降价x元，则每个“冰墩墩”的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【小问1详解】 设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，则： ∴（舍）， 答：“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为 【小问2详解】 设当“冰墩墩”每个降价元，则： 整理得： 解得：（舍）， 答：当“冰墩墩”每个降价5元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4200元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 【综合与实践】 在实验课上，小明做了一个试验．如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 图1 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象（如图2）． （1）求出关于的函数表达式； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①请在图2中作出关于函数图象，并直接写出关于的函数表达式； ②当时，观察的函数图象，并结合解析式，请写出函数的一个性质； （3）若在容器中加入水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 【答案】（1）关于的函数表达式是 （2）①作出关于的函数图象见解析；；②当时，随的增大而减小 （3）托盘B与点C的距离的取值范围是 【解析】 【分析】（1）观察可知，是的反比例函数，设，把代入计算即可； （2）①描点连线即可画出函数图象，再根据表格规律求解析式即可； ②结合函数图象分析即可； （3）把代入计算即可． 【小问1详解】 观察可知，是的反比例函数， 设，把代入得：， ， 关于的函数表达式是； 【小问2详解】 ①作出关于的函数图象右图： 观察函数图象和题中表格可以发现 ， ； ； ②当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 ，， ， ， 答：托盘与点的距离的取值范围是． 26. 问题发现： 如图1，在中，，，D边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）①的度数是______；②线段，，之间的数量关系是 ； 拓展探究： （2）如图2，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）如图3，在中，，，，若点A满足，，求线段的长度． 【答案】（1），；（2）；，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质； （1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图，延长至E，使，连接，证明，得到，，然后求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①在中，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ②∴， ∴； 故答案为：，； （2），， 理由如下： 同（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴； （3）如图，延长至E，使，连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$