第5章 特殊平行四边形章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第5章 特殊平行四边形 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25·八年级下·浙江·三模）在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 2．（24-25·八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．菱形的对角线相等 C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 8．（24-25·八年级下·浙江杭州·期中）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25·八年级下·浙江舟山·期中）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②三角形的周长为定值4 ③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可) 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 13．（24-25·八年级下·浙江温州·期中）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ． 14．（24-25·八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 15．（24-25·八年级下·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 18．（24-25八年级下·河北保定·期中） 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，，求 (1)的长； (2)的长． 20．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形． 要求： ①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形； ②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上． 21．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．（24-25·八年级下·浙江·期中）如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． (1)如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形． (2)如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值． (3)如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当时，求的长． ②当点F恰好落在上时，求的长． 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 特殊平行四边形 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25·八年级下·浙江·三模）在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】此题重点考查菱形的判定，根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则是菱形； B．，根据对角线相等的平行四边形是矩形，则是矩形； C．因为平分且，所以，所以，则是菱形； D．，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则是菱形； 故选：B． 2．（24-25·八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，，是菱形的对角线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】∵，是菱形的对角线， ∴，， 不能得出， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．菱形的对角线相等 C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，菱形的性质、正方形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的； B、菱形的对角线互相垂直且平分，不一定相等，故该选项是错误的； C、矩形是轴对称图形且有两条对称轴，故该选项是错误的； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的； 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 是四个全等的直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，作辅助线构造矩形是解题的关键． 先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个三角形的面积相等，根据三角形面积的和差进行求解即可． 【详解】解：作于点，交于点，如图所示： 又∵， 则四边形，，，都是矩形， ，，，，，， ，， ， ， ∴， 故选：A． 8．（24-25·八年级下·浙江杭州·期中）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，连接交于，连接，证明是等边三角形，得到；再求出的度数可证明，由菱形的性质得到， 则，；证明，推出点R为的中点，即点R与点N重合，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于，连接， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点R为的中点，即点R与点N重合， ∴， 故选：D． 9．（24-25·八年级下·浙江舟山·期中）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②三角形的周长为定值4 ③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，再证四边形是菱形，则，，，得，可知四边形的面积，进而可知当时，四边形的面积随着增大而增大，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④错误． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∴，故①正确； 连接，令与交于点， 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 当时，四边形的面积随着增大而增大，故③错误； ∵，， 则在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④错误， 综上，正确的有①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的判定及性质，全等三角形的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 10．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，为上一动点，连接，以为腰作等腰三角形，使得，连结．当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合菱形的性质推出，通过“边角边”证明后，由全等三角形的性质可得，，过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点，结合含的直角三角形的特征、勾股定理求出、，证明四边形是矩形后，结合矩形性质即可得，最后根据即可得解． 【详解】解：菱形中，，，， ， ， 即， 是以为腰的等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 过作延长线于点，延长交延长线于点，作交于点， 则，， ，， 中，，， 中，，，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、矩形的判定与性质，解题关键是做出合适的辅助线． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 13．（24-25·八年级下·浙江温州·期中）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意及矩形的判定和性质得出四边形为矩形，，再由平移的性质确定即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将沿斜边向右平移得到， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 14．（24-25·八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 15．（24-25·八年级下·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，取的中点，连接，可得为的中位线，即得，得到点在射线上运动，当时，的值最小，设与相交于点，先证为等边三角形，得到，，即得，再利用平行四边形的性质可得，四边形是矩形，即得，，进而即可求解，正确作出辅助线并判断出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小，如图， 设与相交于点， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．先利用三线合一得出，，利用四边形是平行四边形结合，推出四边形是平行四边形，再结合，即可证明． 【详解】证明：∵，是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 18．（24-25八年级下·河北保定·期中） 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 19．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，，求 (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2)的长为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，由折叠得，而，所以，则； （2）设，由，，根据勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ， ， 的长为． （2）解：设， ，， ， 由折叠可知：， ， ， 的长为． 20．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形． 要求： ①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形； ②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及要求作出图形即可． 【详解】解：图形如图所示： 由图1可知， 四边形为平行四边形； 由图2根据勾股定理得 四边形为菱形； 连接、交于点O 根据勾股定理得 四边形为矩形 21．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形是矩形， ． 22．（24-25·八年级下·浙江·期中）如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 【答案】(1)选小波，证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选小波，证明得出，进而可证四边形为平行四边形； 选小杭，证明，得出，进而可证四边形为平行四边形； （2）分别连接，，由菱形和平行四边形的性质证明是等边三角形得，，根据证明，结合全等三角形的性质得出是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）选小波，证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 选小杭，证明：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）如图，分别连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． (1)如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形． (2)如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值． (3)如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当时，求的长． ②当点F恰好落在上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，结合平行线的性质得出，从而推出，即可得出结论； （2）由“”证明得出，即可得解； （3）①由等腰直角三角形的性质可得，由折叠的性质得出，，即可求解；②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，由面积公式求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，连接，设与交点， ∵，，， ∴， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵将沿折叠后，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$