精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试 高2026届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：赵荣坪 审题人：袁亮 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可得解. 【详解】因为为常数，根据基本初等函数的求导公式可知，， 故选：D 2. 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质直接计算即可. 【详解】由二项式定理知其展开式有21项， 根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. 故选：C 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒成立，对参数的取值进行简单讨论，即可求得结果. 【详解】，故可得；由题可知在上恒成立， 当时，显然有恒成立； 当时，令，解得， 故当或时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导函数值，即切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式即可求得. 【详解】由，得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 故选：A. 5. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值的特征排除A，利用导数说明函数的单调性，即可排除B、D. 【详解】因，所以当时，当时，，故排除A， 又， 令，则， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当时，即，则单调递增， 当时，即，则单调递增， 且在上有解，即在上有解， 所以在上存在单调递减区间，故排除B、D. 故选：C 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法， 其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法， 故共有条路线. 故选：B 7. 已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求出点的坐标，由此可得的表达式，再利用导数求其最小值可得结论. 【详解】因为直线分别与曲线和曲线交于两点， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以， 设，则， 因为函数在上都为增函数， 所以函数在为增函数，又， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数有三个零点，，，其中，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案. 【详解】定义域为，显然， 若是零点，则， ， 所以也是零点，函数有三个零点， 不妨设，则， 所以，， 因为有三个零点，令，则， 即或， 当时，的对称轴为，且， 所以当时，，即恒成立， 即函数在上单调递增，不符合题意； 当时，设的两根分别为， 则，，故， 因为或时，，；时，，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， ，当，， 所以由零点存定理易知有三个零点，满足题意. 综上，的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项系数和为 B. 展开式中系数最大的项是第项 C. 展开式中各系数的绝对值之和为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，赋值直接求得即可；对于B，利用通项直接求出正数项系数比较大小即可；对于C，赋值直接求得即可；对于D，利用赋值后相加减求得，，比较即可. 【详解】对于A，令，，故选项A正确； 对于B，展开式通项为：， 由题意易知：均为负值，且，，， 所以展开式中系数最大的项是第项，故选项B错误； 对于C，令，则，所以选项C正确； 对于D，由， ， 得：，即， 得：， 即，所以，所以选项D错误； 故选：AC. 10. 已知，，若随机事件，相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立，结合条件概率公式以及和事件的概率公式，结合已知数据，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为相互独立，故，故A正确； 对B：因为相互独立，故，故B正确； 对C：因为相互独立，故也相互独立，故，故C错误； 对D：，故，解得， 则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知实数有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；构造函数利用导数探讨单调性判断BC. 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，令函数，求导得，在上单调递增， 由，得，即，因此，B正确； 对于C，令函数，，函数在上单调递增， 由，得，则，，因此，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的极大值点为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出其极大值点. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为1. 故答案为： 13. 某班上午有5节课，现要将语文、数学、英语、地理安排在上午，其中数学排两节课，其它科各一节，则不同的排法有______种（结果用数值表示） 【答案】60 【解析】 【分析】先排语文、英语、地理，余下两节课即数学课，计算即可. 【详解】由题意可知排法有种. 故答案为：60 14. 已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，利用导数求出函数的单调性，不等式，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为， 令，，则， 所以在上单调递增， 不等式，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值点的定义待定系数计算并验证即可； （2）根据（1）的结论得出极大值，极小值，再计算端点值比较即可. 【小问1详解】 易知，由题意可知是其一个变号零点， 即或， 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极小值，符合题意； 当时，， 此时时，，即单调递减， ，，即单调递增，故在处取得极大值，不符合题意； 综上，此时； 【小问2详解】 由上可知在和上单调递增，在上单调递减， 即时取得极大值，处取得极小值， 又， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 已知，其中，，，，．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． （1）求的值； （2）求（用数值作答）； （3）若，求二项式的值被7除的余数． 【答案】（1）8； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质求解可得； （2）分别令，即可求解； （3）将代入二项式得，变形为，利用二项式定理展开，根据是7的倍数即可求得余数. 【小问1详解】 因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以，解得. 【小问2详解】 令得， 令得， 所以. 【小问3详解】 若，则 ， 因为是7的倍数，所以能被7整除， 所以被7除的余数为1. 17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”概率为. 【小问2详解】 由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 18. 解决下列问题，结果用数字表示. （1）有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； （2）有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； （3）有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 【答案】（1）90 （2）28 （3）7 【解析】 【分析】（1）将6个球分为三组，然后分三种情况计算，即可得到结果； （2）利用隔板法即可得到结果； （3）分6个小球入一个盒子，两个盒子以及三个盒子讨论，即可得到结果； 小问1详解】 6个球分为三组有以及以及三种情况， 种； 【小问2详解】 利用隔板法可得， 所以一共有：28种存放方式. 【小问3详解】 ①6个小球入一个盒子有1种情况； ②6个小球入两个盒子有，共3种情况； ③6个小球入三个盒子有，共3种情况； 所以一共有：7种存放方式. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得； （2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证. 【小问1详解】 ， 当时，易知，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 令， ，故恒成立，即， ，令，则， 所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减， ，即单调递增， 所以， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又 所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，有，即， 令，得， ， ， 即. 【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试 高2026届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人：赵荣坪 审题人：袁亮 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数，则为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数有三个零点，，，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中各项系数和为 B. 展开式中系数最大的项是第项 C. 展开式中各系数的绝对值之和为 D. 10. 已知，，若随机事件，相互独立，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数有，则（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的极大值点为_________． 13. 某班上午有5节课，现要将语文、数学、英语、地理安排在上午，其中数学排两节课，其它科各一节，则不同排法有______种（结果用数值表示） 14. 已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（）处取得极小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值. 16. 已知，其中，，，，．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． （1）求的值； （2）求（用数值作答）； （3）若，求二项式的值被7除的余数． 17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 18. 解决下列问题，结果用数字表示. （1）有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； （2）有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； （3）有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$