数学（北京卷02）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（北京卷02） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，直线与交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 第II卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．如果代数式有意义，那么实数的取值范围是 ． 10．分解因式： ． 11．分式方程的解为 ． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”） 13．某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表： 月用电量x（千瓦时） 户数（户） 7 13 10 15 5 根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有 户． 14．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 15．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ． 16．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 22．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 23．2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列人《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，： b．八年级成绩在这一组的是：74  74  75  77  77  77  77  78  79   79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 77 81.5 八年级 79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）； (3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____； (4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分． 24．如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 25．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 27．已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． (1)如图1，求与的数量关系； (2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； (2)若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； (3)已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 第试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 第试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（北京卷02） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C D B D D 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9． 10． 11． 12． 13．380 14． 15． 16．6 2 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． 【详解】解： ………………………………2分 ………………………………4分 ．………………………………5分 18． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得，………………………………2分 解不等式②，得，………………………………4分 ∴原不等式组的解集为．………………………………5分 19．，3 【详解】解：∵， ∴，………………………………1分 ∴ ………………………………2分 ………………………………3分 ………………………………4分 ………………………………5分 20．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为的中点， 又M是中点， ∴为中位线， ∴；………………………………1分 在中，， ∴, ∵， ∴，………………………………2分 ∴四边形是平行四边形；………………………………3分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，………………………………4分 设，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，………………………………5分 设斜边上的高为h，则有： ， ∴， ∴， ∴．………………………………6分 21．(1)； (2)且． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴，………………………………1分 ∵函数经过点， ∴， 解得，，………………………………2分 ∴一次函数解析式为；………………………………3分 （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且．………………………………6分 22．第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则，………………………………2分 即，………………………………3分 解得，………………………………4分 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟．…………………………5分 23．(1)78.5 (2)七年级赋予等级的学生更多 (3)八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 (4)该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为78.5分 【详解】（1）解：根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、， 所以八年级的中位数， 故答案为：；………………………………1分 （2）解：因为七年级的平均数为，中位数为，可判断七年级赋予等级的学生至少有人， 根据频数分布直方图得八年级赋予等级的人数为（人）， 所以在本次抽取的学生中七年级赋予等级的学生更多， 故答案为：七；………………………………2分 （3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，理由是： ∵该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，……………3分 ∴知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，………………………………4分 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 （4）解：估计七年级名学生成绩的平均数为分，八年级名学生成绩的平均数为分， 所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为：（分）．………………………………5分 24．(1)见解析 (2)的长为． 【详解】（1）证明：连接， 则，………………………………1分 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；………………………………2分 （2）解：由（1）知， ∴， ∵，………………………………2.5分 ∴设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，，………………………………3分 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得，………………………………4分 ∴，，………………………………4.5分 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴，………………………………5分 ∴，即的长为．………………………………6分 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25．(1)见详解 (2)①②③8 【详解】（1）解：如图所示： ……………………………1分 （2）解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：；………………………………2分 ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：；………………………………4分 ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8………………………………5分 26．(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，则抛物线为．………………………………1分 令，则， ∴该抛物线与轴交点坐标为；………………………………2分 （2）解：∵抛物线，对于，，都有， ∴且，………………………………3分 则，即，， 解得：或；………………………………4分 ，即，， 解得：或；………………………………5分 综上，或．………………………………6分 27．(1) (2)图见解析，．理由见解析 【详解】（1）解：∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，，………………………………1分 ∴， ∵， ∴；………………………………2分 （2）解：．理由如下： 如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，………………………………3分 作于点， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即是的平分线，……………………4分 ∵，， ∴，即， 连接，作于点， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，………………………………5分 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，，………………………………6分 ∴， ∵， ∴， ∴．………………………………7分 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28．(1) (2)或 (3)2；或 【详解】（1）解：∵，而的半径为1，则直径为2， ∴线段不可能是的关于点的关联线段； 如图所示，结合定义可知和是的以点为中心的关联线段， 故答案为：；………………………………2分 （2）解：如图： ∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵，半径为1， ∴为等边三角形， ∴根据等边的对称性可知点在轴上，记与轴交于点H， ∴， ∴， ∴或， ∵与关于点C对称， ∴或；………………………………4分 （3）解：∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵， ∴当时，为直径，………………………………5分 而线段在直线上， ∴点在直线上，如图： 设， ∵点在上，且点与点关于点C对称， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∴或，…………………………7分 故答案为：2；或． 12/12 11/12 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（北京卷02） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 填空题（每小题 2 分，共 16 分） __________________ 10 ． __________________ ________ _________ 12 ． ___________________ 13. __________________ 14 ． __________________ ___________________ 16. )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 12 个小题，共 68 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （5分） 18. （5分） 19. （5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （6分） 21.（6分） 22.（5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23.（5分） （1）m=___________; （2）______________; （3）___________;__________ （4） 24.（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1）画图 （2） ① ____________; ② ______________ （3）____________ 26.(6分) ) 25.（5分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28. （7分） ) 27.（7分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考押题预测卷（北京卷 02） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9. __________________ 10．__________________ 11．_________________ 12．___________________ 13.__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 12 个小题，共 68 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5 分） 18. （5 分） 19. （5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （6 分） 21.（6 分） 22.（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（5 分） （1）m=___________; （2）______________; （3）___________;__________ （4） 24.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1）画图 （2）①____________;②______________ （3）____________ 26.(6 分) 25.（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28. （7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考押题预测卷（北京卷02） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，直线与交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 第II卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．如果代数式有意义，那么实数的取值范围是 ． 10．分解因式： ． 11．分式方程的解为 ． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”） 13．某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表： 月用电量x（千瓦时） 户数（户） 7 13 10 15 5 根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有 户． 14．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 15．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ． 16．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 22．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 23．2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列人《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，： b．八年级成绩在这一组的是：74  74  75  77  77  77  77  78  79   79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 77 81.5 八年级 79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）； (3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____； (4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分． 24．如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 25．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 27．已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． (1)如图1，求与的数量关系； (2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； (2)若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； (3)已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 2/8 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（北京卷02） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．有3个面； B．有4个面； C．有5个面； D．有6个面； ∴面数最多的几何体是D； 故选：D． 2．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：14亿 故选：B 3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ， ∴，故选项D正确； 故选D． 4．如图，直线与交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，， ， ． 故选：C． 5．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 7．如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：由作图过程可知，该选项正确，故该选项不符合题意； B：∵，∴，，该选项正确，故该选项不符合题意； C：∵是的中点，，∴，∴，该选项正确，故该选项不符合题意； D：根据已知条件不能得出，故该选项符合题意． 故选：D ． 8．如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第II卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．如果代数式有意义，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如果代数式有意义，则， ， 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： ． 11．分式方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根； 故答案为： 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，再每一个象限内，随的增大而增大， ∵函数的图象经过点和，且， ∴； 故答案为： 13．某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表： 月用电量x（千瓦时） 户数（户） 7 13 10 15 5 根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有 户． 【答案】380 【详解】解：该小区用电量在（千瓦时）的家庭所占的百分比为：，（户）； 答：该小区用电量在（千瓦时）的家庭有380户． 14．将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 16．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况． 【答案】 6 2 【详解】解：∵每个人在展示完成后至少要休息一次， ∴将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小， ∴相邻两节目的人数之和越小，总人数越少， ∵节目所需人数最多为5人， ∴总人数一定要大于5， ∴人数和最少为或，即最少需要6人； 例如：让节目最先展示，然后接人数最少的节目，此时节目的人进行休息，然后再接节目，中的4个人可以上节目，此时节目中剩余1人，节目的人休息，再接节目，正好用到之前剩余的2人，此时节目的4人休息，再接节目，节目中上3人即可，此时用人最少，即组和组人数之和为6； ∵用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，故A节目后面必须接节目， ∴后续排列的可能性为：，相邻人数和分别为，满足题意；或，相邻和依次为6、4、5、6，符合要求； 其它情况均不符合要求； 故符合条件的展示顺序共有2种不同的情况； 故答案为：6，2． 三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：． 【答案】 【详解】解： ………………………………2分 ………………………………4分 ．………………………………5分 18．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得，………………………………2分 解不等式②，得，………………………………4分 ∴原不等式组的解集为．………………………………5分 19．已知，求代数式的值． 【答案】，3 【详解】解：∵， ∴，………………………………1分 ∴ ………………………………2分 ………………………………3分 ………………………………4分 ………………………………5分 20．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为的中点， 又M是中点， ∴为中位线， ∴；………………………………1分 在中，， ∴, ∵， ∴，………………………………2分 ∴四边形是平行四边形；………………………………3分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，………………………………4分 设，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，………………………………5分 设斜边上的高为h，则有： ， ∴， ∴， ∴．………………………………6分 21．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴，………………………………1分 ∵函数经过点， ∴， 解得，，………………………………2分 ∴一次函数解析式为；………………………………3分 （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且．………………………………6分 22．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 【答案】第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则，………………………………2分 即，………………………………3分 解得，………………………………4分 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟．……………………………5分 23．2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列人《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，： b．八年级成绩在这一组的是：74  74  75  77  77  77  77  78  79   79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 77 81.5 八年级 79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）； (3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____； (4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分． 【答案】(1)78.5 (2)七年级赋予等级的学生更多 (3)八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 (4)该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为78.5分 【详解】（1）解：根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、， 所以八年级的中位数， 故答案为：；………………………………1分 （2）解：因为七年级的平均数为，中位数为，可判断七年级赋予等级的学生至少有人， 根据频数分布直方图得八年级赋予等级的人数为（人）， 所以在本次抽取的学生中七年级赋予等级的学生更多， 故答案为：七；………………………………2分 （3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，理由是： ∵该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，………………………………3分 ∴知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，………………………………4分 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 （4）解：估计七年级名学生成绩的平均数为分，八年级名学生成绩的平均数为分， 所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为：（分）．………………………………5分 24．如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【详解】（1）证明：连接， 则，………………………………1分 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；………………………………2分 （2）解：由（1）知， ∴， ∵，………………………………2.5分 ∴设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，，………………………………3分 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得，………………………………4分 ∴，，………………………………4.5分 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴，………………………………5分 ∴，即的长为．………………………………6分 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】(1)见详解 (2)①②③8 【详解】（1）解：如图所示： …………………………1分 （2）解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：；………………………………2分 ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：；………………………………4分 ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8………………………………5分 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，则抛物线为．………………………………1分 令，则， ∴该抛物线与轴交点坐标为；………………………………2分 （2）解：∵抛物线，对于，，都有， ∴且，………………………………3分 则，即，， 解得：或；………………………………4分 ，即，， 解得：或；………………………………5分 综上，或．………………………………6分 27．已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． (1)如图1，求与的数量关系； (2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)图见解析，．理由见解析 【详解】（1）解：∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，，………………………………1分 ∴， ∵， ∴；………………………………2分 （2）解：．理由如下： 如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，………………………………3分 作于点， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即是的平分线，…………………4分 ∵，， ∴，即， 连接，作于点， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，………………………………5分 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，，………………………………6分 ∴， ∵， ∴， ∴．………………………………7分 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28．在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； (2)若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； (3)已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 【答案】(1) (2)或 (3)2；或 【详解】（1）解：∵，而的半径为1，则直径为2， ∴线段不可能是的关于点的关联线段； 如图所示，结合定义可知和是的以点为中心的关联线段， 故答案为：；………………………………2分 （2）解：如图： ∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵，半径为1， ∴为等边三角形， ∴根据等边的对称性可知点在轴上，记与轴交于点H， ∴， ∴， ∴或， ∵与关于点C对称， ∴或；………………………………4分 （3）解：∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵， ∴当时，为直径，………………………………5分 而线段在直线上， ∴点在直线上，如图： 设， ∵点在上，且点与点关于点C对称， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∴或， 故答案为：2；或．………………………………7分 2/26 1/26 学科网（北京）股份有限公司 $$