信息必刷卷05（江苏南京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（南京专用） 数学·参考答案 一、选择题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 B B A D D A 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在横线上． 7．< 8．2025 9． 10．12π 11．0 12．1 13． 14．65° 15．a≥1 16． 三、解答题：本大题有11个小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（7分） 【答案】﹣2＜x≤﹣1 【解析】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤﹣1． ∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1． 18．（7分） 【答案】 【解析】解： ＝[]• • • • ． 19．（7分） 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时BCx， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝10，解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴BC， 故本题答案为：． 20．（8分） 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有：C，D，共2种， ∴样本溶液变红色的概率是． 故本题答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 21．（8分） 【答案】（1）①③④；（2）84．7分；（3）详见解析． 【解析】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确； ②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确； 所以正确结论的序号是①③④． 故本题答案为：①③④； （2）84.7（分）， 答：B款汽车的平均得分为84．7（分）； （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价促销（答案不唯一）． 22．（8分） 【答案】11m 【解析】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DE＝AF，DF＝AE，DE⊥AE， 在Rt△CDE中，CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m），CEDE＝3（m）， ∴DE＝AF＝3m， 设AC＝x m， ∴DF＝AE＝CE+AC＝（3x）m， 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， ∴AB＝AC•tan45°＝x（m）， 在Rt△DBF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.509（3x）m， ∵BF+AF＝AB， ∴0.509（3x）+3＝x，解得：x≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m． 23．（8分） 【答案】（1）40，60；（2）购进甲款机器人26件、乙款机器人102件，61.4万元． 【解析】解：（1）设购进甲款机器人2m件，购进乙款机器人3m件． 根据题意得：1.5，解得：m＝20， 经检验，m＝20是所列分式方程的解， 2×20＝40（件），3×20＝60（件）． 答：购进甲款机器人40件，购进乙款机器人60件． （2）甲款机器人进价为4（万元），乙款机器人进价为4﹣1.5＝2.5（万元）， 设甲款机器人减小x件，则乙款机器人增加3x件， 根据题意得：4（40﹣x）+2.5（60+3x）≤360，解得：x， 设总利润为W元，则W＝10%×4（40﹣x）+20%×2.5（60+3x）＝1.1x+46， ∵1.1＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵x且x为非负整数， ∴当x＝14时W值最大，W最大＝1.1×14+46＝61.4， 40﹣14＝26（件），60+3×14＝102（件）． 答：购进甲款机器人26件、乙款机器人102件可使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为61.4万元． 24．（8分） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）． 【解析】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADE＝∠ABF＝90°， 又∵∠FAE＝∠FAE， ∴△ADE∽△ABF， ∴， ∴AB•AE＝AD•AF； （2）证明：如图， ∵，∠FAE＝∠FAE， ∴△ADB∽△AEF， ∴∠ADB＝∠AEF； （3）解：∵AC⊥BD，AC是⊙O的直径， ∴AC垂直平分BD， ∴AD＝AB＝6， ∵在Rt△ABF中，， ∴FD＝AF﹣AD＝10﹣6＝4， ∵∠AFB＝∠AFB，∠ABF＝∠CDF＝90°， ∴△ABF∽△CDF， ∴，即， ∴CD＝3， ∴， 故本题答案为：3． 25．（9分） 【答案】（1）①抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.1x+3；②抛物线的顶点坐标为（0.5，3.025）； （2）①a；②b． 【解析】解：（1）①由题意得：抛物线经过点A（﹣4，1），B（6，0）， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.1x+3； ②∵y＝﹣0.1x2+0.1x+3 ＝﹣0.1（x2﹣x+0.25）+3.025 ＝﹣0.1（x﹣0.5）2+3.025； ∴抛物线的顶点坐标为（0.5，3.025）； （2）①∵抛物线恒过A（﹣4，1）， ∴16a﹣4b+3＝1，解得：a； ②由题意得：点D的坐标为（5，0.5），G（7，0.5）， 当抛物线过点D时，0.5＝255b+3，解得：b， 当抛物线过点G时，0.5＝497b+3，解得：b， ∴b． 26．（8分） 【答案】详见解析 【解析】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 27．（10分） 【答案】（1）；（2）1；（3）6+2；（4）cm或14cm；（5）cm． 【解析】解：（1）∵S△ABCAB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE， ∴S△ABCS矩形ABDE， 故本题答案为：； （2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”， 故本题答案为：1； （3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF， ∴CF＝AC， ∴AC+BC≥BF， ∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF， ∵AB＝6cm，AE＝2cm， 在Rt△ABF中，BF＝2， ∴△ABC周长的最小值（6+2）cm， 故本题答案为：（6+2）； （4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB＝5cm， ∵S△ABC3×45×AE， ∴AE， ∴矩形ABDE的周长＝2×（5）（cm）； 如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF， ∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）； 同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm； 综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm； （5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G， ∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB， 又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm， ∴AG＝9cm，BG＝5cm， ∴CG＝12cm， ∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52（cm）； 如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H， ∵S△ABCCG×AB12×14AH×BC， ∴AHcm， ∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13）（cm）； 如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K， ∵S△ABCCG×AB12×14BK×AC， ∴BKcm， ∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15）（cm）； ∵52， ∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向：数学核心素养，如推理能力、模型观念、创新意识等，愈发受到重视。最后3道题可能更贴近实际问题或者跨学科思维。 中考·新考法：2024年南京中考出现较大变化，几何比重减少，代数比重增加；同时解答题涉及2道解直角三角形的应用，分别是方向角问题和影长问题，且影长问题与函数图象、相似、不等式等知识点综合，显示出命题的多样性和创新性。 命题·大预测：最后3道题可能涉及以下题型，难度逐步增加： ①第25题考查二次函数，2024年中考明确提到：第25题为“典型且正常的二次函数题目”。2023年和2024年中考均考查二次函数的图象与性质，2025年中考可能仍然考查二次函数的图象和性质，但考查形式可能会倾向于以实际应用题为背景。 ②第26题考查尺规作图。2021年中考查过尺规作图后，2022和2023年中考均未考查，但是2024年中考又再次考查，且尺规作图这一实践操作类题型，非常符合新课标对学生的素养要求，因而2025年中考考查的可能性还是比较大的。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 ③第27题考查创新综合题。南京中考压轴题历来以灵活著称，2024年中考的影长问题完美覆盖了推理能力、模型观念、创新意识等核心素养，2025年中考很可能延续这一风格。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．两个连续偶数的平方差一定是（　　） A．3的倍数 B．4的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m 4．将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 5．如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E．研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图（2）的图象表示，已知点M（8，2），则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．比较大小：﹣|﹣2.7|　 　． 8．若|2021﹣a|a，则a﹣20212的值为　 　． 9．已知，则m＝　 　． 10．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是　 　． 11．当x＝　 　时，分式与的值互为相反数． 12．随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝1.5m/s，当其载重后总质量m＝30kg时，它的最快移动速度v是　 　m/s． 13．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，将它绕着边AB的中点O旋转一周，得到△A1B1C1，连接BA1、BC1，则△BA1C1面积的最大值为　 　． 14．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝20°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB．作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为　 　． 15．定义：对于函数图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），将的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作kMN.已知二次函数y＝ax2+1（a＞0）的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），若对于任意的x1，x2均满足当x2＞x1≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有kMN＞2，则a的取值范围是　 　． 16．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式， 那么（B+1）﹣（A+1）＝　 　． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）计算：． 19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E． （1）求证：四边形BCDE是菱形； （2）若AB，E为AC的中点，当BC的长为　 　时，四边形BCDE是正方形． 20．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小周将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是　 　； （2）若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 21．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是　 　． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议． 22．（8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（精确到1m）． （参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，1.414，1.732） 23．（8分）宇树人形机器人亮相春晚后爆火，带动了整个机器人行业的畅销．某公司计划销售甲、乙两款机器人，甲款机器人进价比乙款机器人高1.5万元/件．现计划用160万元购进甲款机器人，150万元购进乙款机器人，且甲款机器人数量与乙款机器人数量之比为2：3． （1）该公司计划购进甲、乙两款机器人各多少件？ （2）通过市场调研，甲款机器人的利润率是10%，乙款机器人的利润率是20%，该公司决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲款机器人的购进数量，增加乙款机器人的购进数量，且乙款机器人增加的数量是甲款机器人减少的数量的3倍，用于购进这两款机器人的总资金不超过360万元．更改购进策略后，该公司怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润． 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB与DC的延长线交于点E，BC与AD的延长线交于点F． （1）求证：AB•AE＝AD•AF； （2）连接BD，EF．求证：∠ADB＝∠AEF； （3）若AC⊥BD，AB＝6，BF＝8，则AC的长是　 　． 25．（9分）某班“迎五四青年节”活动将举行掷篮球比赛，小明不知道比赛规则，只知道将篮球掷出10m的距离．为取得好成绩，小明在课余时间进行了练习．如图1，将篮球从A点掷出，篮球在B处落到地面，球的运动路线近似为抛物线的一部分（把篮球看作一个点）．为了研究这个过程，小明建立了如图所示的平面直角坐标系，其中，以水平地面为x轴，点A距离y轴4m且距离水平地面（x轴）1m，点B距离y轴6m，抛物线经过y轴于点C，抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3． （1）①求抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； （2）比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以B处为中心放置一个高为0.5m，直径为2m的圆筐，其截面为矩形DEFG，若抛物线恒过A，C两点． ①求a与b之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中b的取值范围． 26．（8分）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 27．（10分）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的　 　； （2）钝角三角形的“矩形框”有　 　个； 【巩固新知】 （3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为　 　cm； （4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长； 【解决问题】 （5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向：数学核心素养，如推理能力、模型观念、创新意识等，愈发受到重视。最后3道题可能更贴近实际问题或者跨学科思维。 中考·新考法：2024年南京中考出现较大变化，几何比重减少，代数比重增加；同时解答题涉及2道解直角三角形的应用，分别是方向角问题和路灯影长问题，且影长问题与函数图象、相似、不等式等知识点综合，显示出命题的多样性和创新性。 命题·大预测：最后3道题可能涉及以下题型，难度逐步增加： ①第25题考查二次函数，2024年中考明确提到：第25题为“典型且正常的二次函数题目”。2023年和2024年中考均考查二次函数的图象与性质，2025年中考可能仍然考查二次函数的图象和性质，但考查形式可能会倾向于以实际应用题为背景。 ②第26题考查尺规作图。2021年中考查过尺规作图后，2022和2023年中考均未考查，但是2024年中考又再次考查，且尺规作图这一实践操作类题型，非常符合新课标对学生的素养要求，因而2025年中考考查的可能性还是比较大的。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 ③第27题考查创新综合题。南京中考压轴题历来以灵活著称，2024年中考的影长问题完美覆盖了推理能力、模型观念、创新意识等核心素养，2025年中考很可能延续这一风格。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：0，是负数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； （﹣1）3＝﹣1＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（﹣5）＝5＞0，是正数； ∴负数有，﹣|﹣2|，（﹣1）3，共3个． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 2．两个连续偶数的平方差一定是（　　） A．3的倍数 B．4的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 【答案】B 【分析】设两个连续的偶数分别是2n，2n+2，根据题意列出等式（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4＝4（2n+1），即可求解． 【详解】解：设两个连续偶数为2n，2n+2， 则（2n+2）2﹣（2n）2 ＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n） ＝（4n+2）×2 ＝4（2n+1）， 因为n为整数， 所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数， 所以4（2n+1）是4的倍数， 故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单． 3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m 【答案】A 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m． 故本题选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 4．将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝60°，再由三角形外角的性质可判断出结论． 【详解】解：将⊙O的圆周12等分，则每一等分的度数为30°， ∵点A、B、C是等分点， ∴， 又∠ADB是△ADB的一个外角， ∴∠ADB＞∠ACB，即∠ADB＞60°， 所以，满足条件的是选项D， 故本题选：D． 【点睛】本题主要考查了贺周角定理以及三角形外角的性质，得出∠ACB＝60°是解答本题的关键． 5．如图，在⊙O中，AB是直径，直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l，垂足为D．若AB＝15，BD＝12，则CD的长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 【答案】D 【分析】连接OC，作OF⊥BD于点F，由直线l与⊙O相切于点C，得l⊥OC，可证明四边形OCDF是矩形，则FD＝OC＝OBAB，所以BF＝BD﹣FD，求得CD＝OF6，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接OC，作OF⊥BD于点F，则∠OFD＝∠OFB＝90°， ∵直线l与⊙O相切于点C，BD⊥l于点D， ∴l⊥OC， ∴∠OFD＝∠OCD＝∠CDF＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∵AB＝15，BD＝12， ∴FD＝OC＝OBAB15， ∴BF＝BD﹣FD＝12， ∴CD＝OF6， ∴CD的长为6， 故本题选：D． 【点睛】此题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E．研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图（2）的图象表示，已知点M（8，2），则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点M的坐标可求出BC的长，再过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为点M的坐标为（8，2），如图所示， AD′＝8，CE′＝2． 过点C作D′E′的平行线，交AN于点F， ∵CF∥D′E′，AN∥BC， ∴四边形CE′D′F是平行四边形， ∴D′F＝CE′＝2， ∴AF＝8﹣2＝6． 同理可得， 四边形ABCF是平行四边形， ∴BC＝AF＝6． 过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM． 在Rt△ABM中， AM， ∴tan∠B． 故本题选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形及函数图象，能通过图（2）得出BC的长度是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．比较大小：﹣|﹣2.7|　　． 【答案】< 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵﹣|﹣2.7|＝﹣2.7，， |﹣2.7|＝2.7，||， 2.7， ∴﹣|﹣2.7|． 故本题答案为：＜． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 8．若|2021﹣a|a，则a﹣20212的值为　　． 【答案】2025 【分析】根据二次根式有意义的条件可得a的值，然后进行式子的变形可得20212，再代入计算即可． 【详解】解：∵|2021﹣a|a， ∴a≥2025， ∴a﹣2021a， ∴2021， ∴a﹣2025＝20212， ∴a﹣20212＝2025． 故本题答案为：2025． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件、求代数式的值，掌握二次根式有意义的条件得到a的取值范围是解决此题关键． 9．已知，则m＝　　． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则先计算等号左侧，再求m． 【详解】解：∵3， ∴， ∴10m＝9． ∴m． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，掌握“（a≥0，b≥0）”是解决本题的关键． 10．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是　　． 【答案】12π 【分析】圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为3， ∴圆锥的底面周长为2×3π＝6π， ∴侧面积＝4×6π÷2＝12π． 故本题答案为：12π． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式，牢记公式是解题的关键． 11．当x＝　　时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论． 【详解】解：∵分式与的值互为相反数， ∴． ∴x+2＝2﹣x． ∴x＝0． 经检验，x＝0是分式方程的解． 故本题答案为：0． 【点睛】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 12．随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝1.5m/s，当其载重后总质量m＝30kg时，它的最快移动速度v是 　1　 m/s． 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝30代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝1.5m/s， 设反比例函数解析式为v，代入得： k＝20×1.5＝30， ∴反比例函数解析式为v， 当m＝30时，v1（m/s）， 故本题答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求反比例函数解析式． 13．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，将它绕着边AB的中点O旋转一周，得到△A1B1C1，连接BA1、BC1，则△BA1C1面积的最大值为　　． 【答案】 【分析】由等边△ABC绕着边AB的中点O旋转一周，可得A1在以O为圆心，2为半径的圆上运动，记A1C1与⊙O的另一个交点为N，当A1N最小时，A1C1上的高最大，此时AB⊥A1N，记垂足为M，即A1C1上的高为BM，再进一步解答即可． 【详解】解：∵△ABC，△A1B1C1是等边三角形， ∴， ∴A1在以O为圆心，2为半径的圆上运动， 记A1C1与⊙O的另一个交点为N， 如图， ∴重叠部分△BA1C1的面积为上的高， 当A1N最小时，A1C1上的高最大， 此时AB⊥A1C1，记垂足为M，即A1C1上的高为BM， ∵△ABC，△A1B1C1是等边三角形， ∴∠C1A1B1＝60°， ∴， ∴， ∴△BA1C1面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 14．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝20°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB．作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为　　． 【答案】65° 【分析】作CE⊥PQ于E，CG⊥MN于G，CH⊥AB于H，连接OC，由角平分线的性质可得CE＝CH，CG＝CH，从而得到CE＝CG，即可推出OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的角平分线上，得到∠AOC＝45°，∠FOC＝25°，当FC′⊥OC′时，C′F最小，此时点C在C′处，再由OFC′＝90°﹣∠FOC′进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作CE⊥PQ于E，CG⊥MN于G，CH⊥AB于H，连接OC， ∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB， ∴CE＝CH， 同理可得：CG＝CH， ∴CE＝CG， ∵CE⊥PQ，CG⊥MN， ∴OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的平分线上， ∴∠AOC＝45°， ∵∠AOF＝20°， ∴∠FOC＝∠AOC﹣∠AOF＝45°﹣20°＝25°， 如图，当FC′⊥OC′时，C′F最小，此时点C在C′处， ∴∠FC′O＝90°， ∴OFC′＝90°﹣∠FOC′＝90°﹣25°＝65°， ∴当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为65°， 故本题答案为：65°． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质、垂线段最短，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15．定义：对于函数图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），将的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作kMN.已知二次函数y＝ax2+1（a＞0）的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），若对于任意的x1，x2均满足当x2＞x1≥1时，该函数图象在MN段的“攀登值”始终有kMN＞2，则a的取值范围是　　． 【答案】a≥1 【分析】由新定义可知kMN＝a（x1+x2），kMN＞2，即a（x1+x2）＞2，又x2＞x1≥1，故x1+x2＞2，从而a，又1，所以a≥1． 【详解】解：由新定义可知kMNa（x1+x2）， ∵kMN＞2，即a（x1+x2）＞2， 又x2＞x1≥1，故x1+x2＞2， ∴a， ∵1， ∴a≥1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，新定义，准确理解新定义并能正确计算是解题关键． 16．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式， 那么（B+1）﹣（A+1）＝　　． 【答案】 【分析】由可得，据此知，解之求得A、B的值，代入计算可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则，解得：， 所以（B+1）﹣（A+1）＝3﹣2， 故本题答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，根据题意列出关于A、B的方程组． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤﹣1． ∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18．（7分）计算：． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ＝[]• • • • ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E． （1）求证：四边形BCDE是菱形； （2）若AB，E为AC的中点，当BC的长为　　时，四边形BCDE是正方形． 【分析】（1）先判断AC为BD的垂直平分线，得到AC⊥BD，OB＝OD，再证明△EOB≌△COD（AAS），得到EO＝CO，于是可判断四边形BCDE为平行四边形，然后利用CB＝CD，可判断四边形BCDE是菱形； （2）设OB＝x，根据正方形的判定定理可知：当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BCx，由于AE＝CE＝2x，则在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝102，解方程得x＝1，从而得到此时BC的长． 【详解】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时BCx， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝10，解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴BC， 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质． 20．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小周将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是　　； （2）若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两种样本溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中样本溶液变红色的结果有：C，D，共2种， ∴样本溶液变红色的概率是． 故本题答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是　　． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议． 【分析】（1）根据统计图数据判断即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确； ②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确； 所以正确结论的序号是①③④． 故本题答案为：①③④； （2）84.7（分）， 答：B款汽车的平均得分为84．7（分）； （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价促销（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键． 22．（8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（精确到1m）． （参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，1.414，1.732） 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF，DF＝AE，DE⊥AE，然后在Rt△CDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出DE和CE的长，再设AC＝x m，则DF＝AE＝（3x）m，最后分别在Rt△ACB和Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DE＝AF，DF＝AE，DE⊥AE， 在Rt△CDE中，CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m），CEDE＝3（m）， ∴DE＝AF＝3m， 设AC＝x m， ∴DF＝AE＝CE+AC＝（3x）m， 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， ∴AB＝AC•tan45°＝x（m）， 在Rt△DBF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.509（3x）m， ∵BF+AF＝AB， ∴0.509（3x）+3＝x，解得：x≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（8分）宇树人形机器人亮相春晚后爆火，带动了整个机器人行业的畅销．某公司计划销售甲、乙两款机器人，甲款机器人进价比乙款机器人高1.5万元/件．现计划用160万元购进甲款机器人，150万元购进乙款机器人，且甲款机器人数量与乙款机器人数量之比为2：3． （1）该公司计划购进甲、乙两款机器人各多少件？ （2）通过市场调研，甲款机器人的利润率是10%，乙款机器人的利润率是20%，该公司决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲款机器人的购进数量，增加乙款机器人的购进数量，且乙款机器人增加的数量是甲款机器人减少的数量的3倍，用于购进这两款机器人的总资金不超过360万元．更改购进策略后，该公司怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润． 【分析】（1）设购进甲款机器人2m件，购进乙款机器人3m件，根据题意列关于m的分式方程并求解即可； （2）分别求出两款机器人的进价，设甲款机器人减小x件，则乙款机器人增加3x件，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设总利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W的值最大，求出其最大值及此时两款机器人购进的数量即可． 【详解】解：（1）设购进甲款机器人2m件，购进乙款机器人3m件． 根据题意得：1.5，解得：m＝20， 经检验，m＝20是所列分式方程的解， 2×20＝40（件），3×20＝60（件）． 答：购进甲款机器人40件，购进乙款机器人60件． （2）甲款机器人进价为4（万元），乙款机器人进价为4﹣1.5＝2.5（万元）， 设甲款机器人减小x件，则乙款机器人增加3x件， 根据题意得：4（40﹣x）+2.5（60+3x）≤360，解得：x， 设总利润为W元，则W＝10%×4（40﹣x）+20%×2.5（60+3x）＝1.1x+46， ∵1.1＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵x且x为非负整数， ∴当x＝14时W值最大，W最大＝1.1×14+46＝61.4， 40﹣14＝26（件），60+3×14＝102（件）． 答：购进甲款机器人26件、乙款机器人102件可使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为61.4万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB与DC的延长线交于点E，BC与AD的延长线交于点F． （1）求证：AB•AE＝AD•AF； （2）连接BD，EF．求证：∠ADB＝∠AEF； （3）若AC⊥BD，AB＝6，BF＝8，则AC的长是　　． 【分析】（1）由直径所对圆周角等于90°可得∠ADE＝∠ABF＝90°，进而利用两角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ABF，即可证明结论； （2）根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明△ADB∽△AFE，由相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据已知可得AC垂直平分BD，从而可得AD＝AB＝6，在Rt△ABF中，，再证明△ABF∽△CDF，由相似三角形性质得出求出CD＝3，进而由求解． 【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADE＝∠ABF＝90°， 又∵∠FAE＝∠FAE， ∴△ADE∽△ABF， ∴， ∴AB•AE＝AD•AF； （2）证明：如图， ∵，∠FAE＝∠FAE， ∴△ADB∽△AEF， ∴∠ADB＝∠AEF； （3）解：∵AC⊥BD，AC是⊙O的直径， ∴AC垂直平分BD， ∴AD＝AB＝6， ∵在Rt△ABF中，， ∴FD＝AF﹣AD＝10﹣6＝4， ∵∠AFB＝∠AFB，∠ABF＝∠CDF＝90°， ∴△ABF∽△CDF， ∴，即， ∴CD＝3， ∴， 故本题答案为：3． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90°，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 25．（9分）某班“迎五四青年节”活动将举行掷篮球比赛，小明不知道比赛规则，只知道将篮球掷出10m的距离．为取得好成绩，小明在课余时间进行了练习．如图1，将篮球从A点掷出，篮球在B处落到地面，球的运动路线近似为抛物线的一部分（把篮球看作一个点）．为了研究这个过程，小明建立了如图所示的平面直角坐标系，其中，以水平地面为x轴，点A距离y轴4m且距离水平地面（x轴）1m，点B距离y轴6m，抛物线经过y轴于点C，抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3． （1）①求抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； （2）比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以B处为中心放置一个高为0.5m，直径为2m的圆筐，其截面为矩形DEFG，若抛物线恒过A，C两点． ①求a与b之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中b的取值范围． 【分析】（1）①判断出点A和点B的坐标，代入所给的二次函数解析式可得a和b的值，即可得到抛物线的解析式； ②把抛物线进行配方，整理成顶点式可得抛物线的顶点坐标； （2）①把点A的坐标代入抛物线解析式，用b表示出a即可； ②判断出点D和点G的坐标，分别代入所给的抛物线解析式，求得相应的b的值，即可判断出若篮球能掷入圆筐，解析式中b的取值范围． 【详解】解：（1）①由题意得：抛物线经过点A（﹣4，1），B（6，0）， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.1x+3； ②∵y＝﹣0.1x2+0.1x+3 ＝﹣0.1（x2﹣x+0.25）+3.025 ＝﹣0.1（x﹣0.5）2+3.025； ∴抛物线的顶点坐标为（0.5，3.025）； （2）①∵抛物线恒过A（﹣4，1）， ∴16a﹣4b+3＝1，解得：a； ②由题意得：点D的坐标为（5，0.5），G（7，0.5）， 当抛物线过点D时，0.5＝255b+3，解得：b， 当抛物线过点G时，0.5＝497b+3，解得：b， ∴b． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键，难点是判断出篮球入筐时运动路线所经过的点． 26．（8分）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【分析】（1）先分别以O、M点为圆心，以OM长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作∠AOM和∠BOM的平分线OP、OQ，然后以M点为圆心，MO为半径画弧交OP、OQ于点N、N′，则点N、N′满足条件； （2）方法一：先过A点作AH⊥l于H点，再以点A、H为圆心，以AH长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件； 方法二：先过A点作AH⊥l于H点，再作AH得垂直平分线，接着以点A圆心，以AH长为半径画弧交AH得垂直平分线于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件． 【详解】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质． 27．（10分）【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的　　； （2）钝角三角形的“矩形框”有　　个； 【巩固新知】 （3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为　　cm； （4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长； 【解决问题】 （5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可； （2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可； （3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解； （4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可； （5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可． 【详解】解：（1）∵S△ABCAB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE， ∴S△ABCS矩形ABDE， 故本题答案为：； （2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”， 故本题答案为：1； （3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF， ∴CF＝AC， ∴AC+BC≥BF， ∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF， ∵AB＝6cm，AE＝2cm， 在Rt△ABF中，BF＝2， ∴△ABC周长的最小值（6+2）cm， 故本题答案为：（6+2）； （4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB＝5cm， ∵S△ABC3×45×AE， ∴AE， ∴矩形ABDE的周长＝2×（5）（cm）； 如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF， ∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）； 同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm； 综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm； （5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G， ∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB， 又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm， ∴AG＝9cm，BG＝5cm， ∴CG＝12cm， ∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52（cm）； 如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H， ∵S△ABCCG×AB12×14AH×BC， ∴AHcm， ∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13）（cm）； 如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K， ∵S△ABCCG×AB12×14BK×AC， ∴BKcm， ∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15）（cm）； ∵52， ∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm． 【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，理解定义，能够分类构造“矩形框”是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$