数学（湖南省卷专用）-2025年中考终极押题猜想

1 / 124 学科网（北京）股份有限公司 2025 年中考数学终极押题猜想（湖南专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 实数的混合运算 ......................................... 1 押题猜想二 求代数式的值 ........................................... 4 押题猜想三 解不等式组 ............................................. 7 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 ............... 9 押题猜想五 规律探究 .............................................. 15 押题猜想六 统计与概率 ............................................ 20 押题猜想七 锐角三角函数的应用 .................................... 27 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 ............................ 36 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 ............................ 45 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 .................... 55 押题猜想十一 几何中的多结论判定 .................................. 68 押题猜想十二 几何中的最值问题 .................................... 78 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 ............................ 85 押题猜想十四 圆的综合问题 ........................................ 94 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 ............................... 111 押题猜想一 实数的混合运算 限时：2min （原创） 计算： 1 0 2025 1 221 12 1 4cos30 π 73                        2 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 4 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关 键．先代入特殊角的三角函数值，再根据乘方、负整数指数幂、二次根式、绝对值、零指数幂的性质化 简，再加减即可． 【详解】解： 1 0 2025 1 22-1 12 1 4cos30 π 73                         3 1 3 2 1 4 1 2 3         31 3 2 1 2 3 1       31 3 2 2 3 1 1       4  ． 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题， 难度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。 1．计算：     2 0 2025 1 4 3 1 3             【答案】13 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方运算．分别进行算术 平方根，零指数幂，乘方，负整指数幂运算，最后加减即可． 【详解】解：     2 0 2025 1 4 3 1 3             2 1 1 9    13 ． 2．计算   1 0 1 2025 π 3 2 3tan30 2            【答案】1 3 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值， 根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解：原式   31 2 3 3 2 3       1 2 3 3 2     1 ． 3．计算：   1 0 1 1 2025 2cos60 1 3 27 6 3             ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数 幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求 解即可． 【详解】解：   1 0 1 1 2025 2cos60 1 3 27 6 3             1 1 1 6 2 3 1 3 3 2 3         1 6 1 3 1 3      = 5 ． 4．计算：    1 02 1 4cos 45 3 2 3.14 π      ． 【答案】3 2 3 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可． 【详解】解： 1 02 1 4cos45 3 2 (3.14 )     （ ） 1 2 4 2 3 1 22 1        （ ） 2 1 2 2 2 3 1      3 2 3  ． 5．计算：    2 03 π 5 4sin 60 3 2     4 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4 3 3 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟 练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 3 3 1 4 2 3 2       4 3 3  ． 押题猜想二 求代数式的值 限时：2min （原创） 先化简，再求值： 25 6 9 2 1 2 2 x x x x x              ，其中 x为正整数且 4x  ． 【答案】化简得 6 3x  ，求值得 3 【分析】本题考查分式的化简，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简步骤是解题的关 键．先化简分式，再利用分式有意义的条件结合 x为正整数且 4x  ，确定 x的值，代入求值即可． 【详解】解： 25 6 9 2 1 2 2 x x x x x                   2 5 2 2 2 1 2 3 x x x x x            2 2 5 4 2 1 2 3 x x x x              2 3 3 2 1 2 3 x x x x x         3 1 3 x x     3 3 3 x x x      6 3x   ， ∵ x为正整数且 4x  ，且 2 0x   ， 3 0x  ， ∴ 1x  ， 5 / 124 学科网（北京）股份有限公司 ∴原式 6 6 3 3 1 3x       ． 押题解读 本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再 求值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。 1．先化简，再求值：      2 2 2 2x y x y x y    ，其中 1, 2x y  【答案】 2 23 x y ，7 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算积的乘方、单项式乘多项式 和完全平方公式，再去括号、合并同类项化简，然后将 x、 y 的值代入计算即可． 【详解】解：      2 22 2x y x y x y     2 2 2 24 2 2 2x xy y x xy y      2 2 2 24 2 2 2x xy y x xy y      2 23x y  ． 当 1, 2x y  时，原式 2 23 1 2 3 1 4 7       ． 2．先化简，再求值：       2 2 2 3 2 3 3 2x x x x x      ，其中 2x  ． 【答案】 2 13x  ，17 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公 式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解． 【详解】解：       22 2 3 2 3 3 2x x x x x       2 2 24 4 4 9 3 6x x x x x       2 2 24 4 4 9 3 6x x x x x       2 13x  ， 代入 2x  ，原式 2 2 13 17    ． 3．先化简，再求值： 24 4 4 1 2 2 x x x x        ，其中 3 2x   ． 6 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1 2x  ， 3 3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值 即可． 【详解】解： 24 4 4 1 2 2 x x x x         2 4 2 2 2 2 x x x x         2 2 2 2 2 x x x x      1 2x   ， 当 3 2x   时，代入上式， 原式 1 3 33 2 2     ． 4．先化简，再求值： 2 2 2 4 2 4 4 2 2 a a a a a a a a           ，且a的值满足 2 2 8 0a a   ． 【答案】 2 2 2a a ， 1 4 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简． 先对原式中分子分母进行因式分解，再根据分式运算法则化简，然后将 2 2 8a a  代入化简后的式子求 值． 【详解】解：原式       2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a                         2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a        2 2 8 0a a   ， 2 2 8a a   ， 原式 2 1 8 4   ． 5．先化简，再求值： 2 2 1 2 1 1 1 1 m m m m m            ，其中 2 1m = ． 7 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 2 1m  ， 2 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把 m 的值代入计算即可． 【详解】解： 2 2 1 2 1 1 1 1 m m m m m         2 2 1 1 1 1 1 2 1 m m m m m m m                   2 1 12 1 1 m m m m       2 1m   ， 当 2 1m = 时，原式 2 2 2 1 1     ． 押题猜想三 解不等式组 限时：2min （改编） 解不等式组：  3 2 6 1 1 4 2 x x x x            ，并将解集在数轴上表示出来 【答案】 5 0x   ，解集在数轴上表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集， 用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在 数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【详解】  3 2 6 1 1 4 2 x x x x          ① ② 解：由①得 0x  ， 由②得 5x   ， 原不等式组的解集为 5 0x   ； 解集在数轴上表示为： 8 / 124 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，解不等式组是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题难度不大， 易得分。 1．解不等式组 2 3 4( 2) 2 1 2 2 3 2 x x x x          ① ② 【答案】 11 2 x  【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取 小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解①得： 11 2 x  ， 解②得： 8x  ，  11 2 x  ． 2.解不等式组：  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ，并写出满足条件的正整数 x 的所有值． 【答案】 5 2x   ，满足条件的 x 值有：1，2 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ① ② ∴解不等式①，得 2x  ， 解不等式，②，得 5>x  ， ∴不等式组的解集为 5 2<x  ， ∴正整数解为1, 2 ． 3．解不等式组  4 3 2 1 2 1 3 x x x x          ，并求出整数解的和． 9 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】1 4x  ，6 【分析】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是关键； 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间大大小小是无解”求出不 等式组的解，进而即可得到答案 【详解】解：  4 3 2 1 2 1 3 x x x x          ① ② 由①得： 1x  ， 由②得： 4x  ， 此不等式组的解集为1 4x  ． ∵整数解 ∴ 1x  ，2，3 那么整数解的和为：1 2 3 6   押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 限时：5min （改编） 据统计，2025 年春节期间，长沙市累计接待国内游客1464.37 万人次．这里有种类繁多的特色小 吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐 4 份， 糖油粑粑 2 份需要 48 元；购买臭豆腐 2 份，糖油粑粑 4 份需要 54 元． (1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价． (2)据调查，某商家制作 1 份糖油粑粑需要成本 4 元，1 份臭豆腐需要成本 6 元．该商家结合市场需求，某天 可售卖臭豆腐和糖油粑粑共 1000 份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的 3 倍．若商家售完这 1000 份特色 小吃，可获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每份糖油粑粑的售价是 7 元，每份臭豆腐的售价是 10 元 (2)商家售完这 1000 份特色小吃，可获得的最大利润是 3250 元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设每份糖油粑粑的售价是 x 元，每份臭豆腐的售价是 y 元，根据“购买糖油粑粑 4 份，臭豆腐 2 份需要 48 元；购买糖油粑粑 2 份，臭豆腐 4 份需要 54 元”列出方程组，即可求解； （2）设售出 m 份糖油粑粑，则售出 1000 m 份臭豆腐，根据“某天可售卖糖油粑粑和臭豆腐共 1000 份， 且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的 3 倍”，可列出关于 m 的一元一次不等式组，解之可得出 m 的取值范围， 设总利润为 w 元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性 质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每份糖油粑粑的售价是 x 元，每份臭豆腐的售价是 y 元， 根据题意得： 4 2 48 2 4 54 x y x y      ， 10 / 124 学科网（北京）股份有限公司 解得： 7 10 x y    ， 答：每份糖油粑粑的售价是 7 元，每份臭豆腐的售价是 10 元； （2）解：设售出 m 份糖油粑粑，则售出 1000 m 份臭豆腐， 根据题意得：  3 1000m m  ， 解得： 750m ， 设商家售完这 1000 份特色小吃获得的总利润为 w 元， 则     7 4 10 6 1000w m m     ， 即 4000w m   ， 1 0  ， w 随 m 的增大而减小， 当 750m  时，w 取得最大值，最大值为 1 750 4000 3250    （元）， 答：商家售完这 1000 份特色小吃，可获得的最大利润是 3250 元． 押题解读 本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形 式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的关系。 1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共 160 千克，这两种水果的进价、 售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店购进两种水果共花费 1000 元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍，应怎样安排进货才能使水果店在销 售完这批水果时获利最多？ 【答案】(1)甲种水果购进 110 千克，则乙种水果购进 50 千克 (2)安排购买甲种水果 40 千克，乙种水果 120 千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解 析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设甲种水果购进 x千克，则乙种水果购进 (160 )x 千克， 11 / 124 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得：5 9(160 ) 1000x x   ， 解得 110x  ， 160 50x   ， 答：甲种水果购进 110 千克，则乙种水果购进 50 千克； （2）解：设购进甲种水果m 千克，则乙种水果购进 (160 )m 千克，获得的利润为w 元， 由题意可得： (8 5) (13 9)(160 ) 640w m m m        ， w 随m 的增大而减小， 该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍， 160 3m m   ， 解得 40m ， 当 40m  时，w 取得最大值，此时 600w  ，160 120m  ， 答：安排购买甲种水果40kg 千克，乙种水果 120 千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多． 2．【问题背景】 2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面 积，增加藏书数量，现需购进 20 个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有 A，B 两种书架可供选择，A 种书架的单价比 B 种书架单价高25%； 素材二：购买 3 个 A 种书架和 2 个 B 种书架共需要 2300 元； 素材三：A 种书架的数量不少于 B 种书架数量的 1 3 ． 【问题解决】 (1)求 A，B 两种书架的单价； (2)设购买a个 A 种书架，购买书架的总费用为w 元，求w 与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买 方案． 【答案】(1) A 种书架的单价为 500 元，B种书架的单价为 400 元 (2) 100 8000w a  （5 20a  ，且a是整数），购买A 种书架 5 个、B种书架 15 个 【分析】（1）设A 种书架的单价为 x元，B种书架的单价为 y 元． 由题意，得  1 25% , 3 2 2300. x y x y       解答即可． （2）由题意，得  500 400 20 100 8000w a a a     ，再解得 5a  ，利用一次函数的性质，解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 12 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：设A 种书架的单价为 x元，B种书架的单价为 y 元． 由题意，得  1 25% , 3 2 2300. x y x y       解得 500, 400. x y    答：A 种书架的单价为 500 元，B种书架的单价为 400 元． （2）由题意，得  500 400 20 100 8000w a a a     ， A 种书架的数量不少于B种书架数量的 1 3 ，  1 20 3 a a   ，解得 5a  ， w 与a的函数关系式为 100 8000w a  （5 20a  ，且a是整数）． 对于 100 8000w a  （5 20a  ，且a是整数），由100 0 可知w 随a的增大而增大， 当 5a  时，w 取得最小值，此时 8500w ，20 15a  ， 费用最少时的购买方案是购买A 种书架 5 个、B种书架 15 个． 3．2025 年 3 月 12 日是我国第 47 个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解， 每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵 10 元，用 900 元购买甲种树苗的棵数恰好与用 1200 元购买乙种树苗的棵 数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共 600 棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗 的售价打 9 折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的 2 倍，则学校应该如何设计购买方案， 才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是 30 元，乙种树苗每棵的价格是 40 元 (2)购买甲种树苗 400 棵，乙种树苗 200 棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟 练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是 x元，则乙种树苗每棵的价格是  10x  元，根据用 900 元购买甲种树苗的棵 数恰好与用 1200 元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗m 棵，总费用为w 元，则购买甲种树苗  600 m 棵，先求出200 600m  ，再根据费 用与价格、棵数的关系建立w 与m 的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是 x元，则乙种树苗每棵的价格是  10x  元． 由题意得： 900 1200 10x x   ， 解得 30x  ， 经检验， 30x  是所列分式方程的解，且符合题意， 13 / 124 学科网（北京）股份有限公司 则 10 30 10 40x    ， 答：甲种树苗每棵的价格是 30 元，乙种树苗每棵的价格是 40 元． （2）解：设购买乙种树苗m 棵，总费用为w 元，则购买甲种树苗  600 m 棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的 2 倍， ∴ 600 2 600 0 m m m      ， ∴200 600m  ， 由题意得：  30 600 90% 40 6 18000w m m m      ， ∵一次函数 6 18000w m  中的6 0 ， ∴在200 600m  内，w 随m 的增大而增大， ∴当 200m  时，w 的值最小， 此时600 600 200 400m    ， 答：购买甲种树苗 400 棵，乙种树苗 200 棵，总费用最少． 4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件 40 元．市场调研显示，当售价为每件 80 元时，每天能售出 20 件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低 1 元的售价，每天就能多售出 4 件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得 1400 元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)售价应降低 30 元 (2)商家每天获得的最大利润为 2025 元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． 找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次 函数关系式是解题的关键． （1）设售价应降低 x元，则每件的销售利润为  80 40x  元，每天可售出  20 4x 件，根据总利润=每件 的销售利润×日销售量，可列出关于 x 的一元二次方程，解之可得出 x 的值，再结合要尽量减少库存，即可 求解． （2）设商家每天获得的利润为w 元，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，列出 w 关于 x 的二次函数关 系，然后利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设售价应降低 x元，由题意得． (80 40)(20 4 ) 1400x x    ， 2 35 150 0x x    ， 解得 1 5x  ， 2 30x  ， 又要减少库存， 14 / 124 学科网（北京）股份有限公司 30x  ， 答：售价应降低 30 元． （2）解：设商家每天获得的利润为w 元， (80 40)(20 4 )w x x     (40 )(20 4 )x x   24 140 800x x    2 2 2 354 35 800 2 2 35 x x                     ． 2 35 4 2025 2 x        ， 当 35 2 x  时， max 2025w 元， 答：商家每天获得的最大利润为 2025 元． 5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收 藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是 敖丙手办单价的 1.2 倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多 6 个，购买哪吒手办共需 1200 元，敖丙手办共需 760 元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过 20 个，则其单价可以降低 4 元；敖丙手办的数量 若超过 20 个，则可以打九折销售．同学们现有 1850 元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若 能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)哪吒手办的单价为48 元，敖丙手办的单价为40元； (2)不能购买到原来统计的手办，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为 x元，则哪吒手办的单价为1.2x 元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与1850比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为 x元，则哪吒手办的单价为1.2x 元，根据题意得， 1200 760 6 1.2x x   解得： 40x  经检验 40x  是原方程的解，且符合题意， 1.2 1.2 40 48x    （元） 答：哪吒手办的单价为48 元，敖丙手办的单价为40元； （2）解：不能购买到原来统计的手办，理由如下： 原计划购买哪吒手办 1200 25 48  个，购买敖丙手办 760 19 40  个， 依题意，  25 48 4 19 40 1860 1850      15 / 124 学科网（北京）股份有限公司 ∵敖丙手办的数量若超过 20 个，则可以打九折销售． ∴购买敖丙手办21个，则需要  25 48 4 21 40 0.9 1856 1850       ∴不能购买到原来统计的手办. 押题猜想五 规律探究 限时：4min （改编）2025 年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000 架无人机编队划破夜空，展示了中国 “智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精 准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长度，无人机按图中“” 方向飞行，  1 0,0P ，  2 0,1P ，  3 1,1P ，  4 1, 1P  …根据这个规律，点 2025P 的坐标为（ ） A． ( 505,506) B． ( 506, 506)  C． (506, 506) D． (506,506) 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨 迹，发现以 4 个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点 4nP 在第四象限的角平分线上，点 4 1nP  在第三象限的角平分线上，点 4 2nP  在直线  1 0y x x    的图象上，点 4 3nP  在第一象限的角平分线上，且2025 4 506 1   ，再根据第四项 象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵  1 0,0P ，  2 0,1P ，  3 1,1P ，  4 1, 1P  ，  5 1, 1P   ，  6 1,2P  ，  7 2, 2P ，  8 3, 3P  ，  9 3, 3P   ，  10 3,3P  ，  11 4, 4P ，……， 16 / 124 学科网（北京）股份有限公司 由此发现：点 4nP 在第四象限的角平分线上，点 4 1nP  在第三象限的角平分线上，点 4 2nP  在直线  1 0y x x    的图象上，点 4 3nP  在第一象限的角平分线上， ∵ 2025 4 506 1   ， ∴点 2025P 在第三象限的角平分线上， ∴点  2025 506 506P  ， ． 故选：B． 押题解读 本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较 大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第 2025 个图案中的“ ”的个数是（ ） A．6072 B．6074 C．6076 D．6068 【答案】C 【分析】 根据题意可得第 n 个图案中的“ ”的个数为 (3 1)n  个，即可求解． 【详解】 解：∵第 1 个图案中的“ ”的个数 1 3 1 4    （个）， 第 2 个图案中的“ ”的个数 2 3 1 7    （个）， 第 3 个图案中的“ ”的个数 3 3 1 10    （个）， …， 第 2025 个图案中的“ ”的个数 3 2025 1 6076   （个）， 故选：C． 17 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律． 2．观察下列算式： 13 3 ， 23 9 ， 33 27 ， 43 81 ， 53 243 ， 63 729 …，根据你观察发现的规律， 20253 的个位上的数字应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数字的变化类、尾数的特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点， 求出相应数据的个位数字．根据题目中的数据，可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到 20243 的个位 数字． 【详解】解： 13 3 ， 23 9 ， 33 27 ， 43 81 ， 53 243 ， 63 729 ， ， 这列数的个位数字依次 3，9，7，1，循环出现， 2025 4 506 1   ， 20253 的个位数字是 3， 故答案为：3 3、数a是不为 1 的有理数，我们把 1 1 a 称为a的差倒数，如：2 的差倒数是 1 1 1 2    ， 1 的差倒数是 1 1 1 ( 1) 2    ．已知 1 1 3 a   ， 2a 是 1a 的差倒数， 3a 是 2a 的差的倒数，……，以此类推，则 2025a  ． 【答案】 4 【分析】此题考查数字的变化规律，根据差倒数的定义分别求出前几个数，不难发现，每 3 个数为一个循 环组依次循环，用 2025 除以 3，根据余数的情况确定出与 2025a 相同的数即可得解． 【详解】解： 1 1 3 a   ， 2 1 1 1 3 11 4 1 3 a a           ， 3 2 1 1 4 31 1 4 a a      ， 18 / 124 学科网（北京）股份有限公司 4 3 1 1 1 1 1 4 3 a a       ， ∴每 3 个数为一个循环组依次循环，依次为 1 3  ， 3 4 ，4 ； ∵2025 3 675  ∴ 32025 4a a  ， 故答案为：4． 4．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…… 根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1 的结果是 ． 【答案】22026﹣1 【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把 x=2，n=2025 代入计算即可， 【详解】解：根据题意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1， 把 x=2，n=2025 代入得， 22025+22024+22023+…+22+2+1 =（2﹣1）（22025+22024+22023+…+22+2+1）， =22026﹣1． 故答案为：22026﹣1． 【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关 键． 5、如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线OP 与 x 轴的夹角为 30°，点 1B 在 x 轴上，且 1 2OB  ，过点 1B 作 1 1B A OP 交OP 于点 1A ，以 1 1A B 为边在 1 1A B 右侧作等边三角形 1 1 1A B C ；过点 1C 作OP 的 垂线分别交 x 轴、OP 干点 2B 、 2A ，以 2 2A B 为边在 2 2A B 的右侧作等边三角形 2 2 2A B C ，过点 2C 作OP 的垂线 分别交 x 轴、OP 于点 3B 、 3A ，以 3A ， 3B 为边在 3 3A B 的右侧作等边三角形 3 3 3A B C ，…，按此规律进行下 去，则点 3A 的纵坐标为 ，点 2025A 的纵坐标为 ． 19 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 9 3 8 2024 2025 3 3 2 【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出 1OA ， 2OA ， 3OA ，…，可得点 1A ， 2A ， 3A 的纵坐标，从而得 nA 的纵坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵ 1 1B A OP ， ∴ 1 1 90OA B  ， ∵ 4 30POB  ， 1 2OB  ， ∴ 1 1 1A B C△ 的边长 1 1 1 1 1 2 A B OB  ， 2 2 1 2 1 3  OA ， ∴点 1A 的纵坐标为 1 1 3 2 2 OA  ， ∵等边三角形 1 1 1A B C ， ∴ 1 1 1 1 1A B AC  ， 1 1 1 60B AC  ， ∵ 1 1 60OB A  ， ∴ 1 1 1 1 1B AC OB A  ， ∴ 1 1AC x∥ 轴， ∴ 2 1 1 4 30A AC POB   ， ∵ 1 2 1 90A A C  ， ∴ 2 1 1 2 A C  ， 1 2 3 2 A A  ， ∴ 2 1 1 2 3 3 3 3 2 2 OA OA A A     ， 20 / 124 学科网（北京）股份有限公司 ∴点 2A 的纵坐标为 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 2 4 3 2 OA A C A B OA   ， ， 同理得： 2 3 3 3 4 A A  ， ∴ 3 2 2 3 3 3 3 3 9 3 2 4 4 OA OA A A     ， ∴点 3A 的纵坐标为 3 1 9 3 2 8 OA  ， …， ∴点 nA 的纵坐标为 13 3 2 n n  ， ∴点 2025A 的纵坐标为 2024 2025 2 3 2 ， 故答案为： 9 3 8 ， 2024 2025 3 3 2 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规 律的方法，属于中考常考题型． 押题猜想六 统计与概率 限时：3min （改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行 了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______； (2)若该校有 1000 名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______； (3)某班有 3 名男生和 1 名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中 1 名男生和 1 21 / 124 学科网（北京）股份有限公司 名女生的概率是______； (4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议． 【答案】(1) 200，80 (2)100 (3) 1 2 (4)见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率； （1）根据条形统计图得出基本了解的人数，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数； （2）根据扇形统计图与条形统计图得出“非常了解”安全知识的人数，再根据样本估计总体即可求解； （3）画树状图求概率即可求解； （4）根据统计图可得了解很少和不了解的人数占比较大，加大安全教育，言之合理即可求解． 【详解】（1）解： 80 40% 200  人，故此次抽查的学生总数为 200 人， 基本了解的人数为 80 人， 故答案为：200，80． （2）解：不了解的占比为 20% ，人数为200 20% 40  人， ∴非常了解的人数为：200 80 60 40 20    人 20 1000 100 200   （人） 故答案为：100． （3）解：画树状图如图， 总共有 12 种等可能情况，满足一男一女的有 6 种情况， 6 1 = 12 2 ； 恰好有 1 名男生和 1 名女生的概率为 1 2 ． 故答案为： 1 2 ． （4）由统计图可知，了解很少和不了解的人数占比较大，建议学校加大宣传，开展好“防溺水”安全教 育．（答案不唯一）． 22 / 124 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。 这些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都 10-14 分。 1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由 7 名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选 手的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他 5 名评委的平均分记为选手的最后 得分，那么表中的数据一定不发生变化的是（ ） 众数 中位数 平均数 方差 8.6 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数和众数，解题的关键是了解中位数、平均数、众数及方差 的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一 个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：C． 2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述 创新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至 3 月 17 日，《哪吒之魔童闹海》全球票 房已突破 150 亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机 APP 上提供 了 4 种电影厅：A．杜比影院，B． IMAX 激光厅，C．CINITY 厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述 4 种电影厅中随机选择 1 种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 1 16 D． 1 8 【答案】C 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，先列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用概 率公式解题即可． 【详解】解：由题意画树状图如下， 23 / 124 学科网（北京）股份有限公司 可能出现的结果有 16 种，他们都选中“剧院式巨幕厅”的情况有 1 种， ∴他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是 1 16 ． 故选：C． 3．下列说法正确的有（ ） （1）了解某市70 岁以上老年人的健康状况适合普查； （2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩 进行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本； （3）袋子中装有4 个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别， 在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （ 4 ）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等， 2 2S S甲 乙 ，则甲的成绩比乙稳定． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数据的收集，概率和方差，根据普查的特点、样本的定义、概率的意义及方差的意义 逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（1）了解某市70 岁以上老年人的健康状况适合抽样调查，该选项说法错误； （2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩 进行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本，该选项说法正确； （3）袋子中装有4 个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别， 在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大，该选项说法正 确； （ 4 ）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等， 2 2S S甲 乙 ，则乙的成绩比甲稳定，该选项说法错误； 综上，说法正确的有2个， 故选：B． 4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发 其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 24 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机 抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为 100 分，学 生测试成绩 x均为不小于 60 的整数，分为四个等级： : 60 70, : 70 80, :80 90, : 90 100D x C x B x A x        ），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在 B 等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； (1)任务 1：求所抽取的学生成绩为C 等级的人数，并补全条形统计图； (2)任务 2：求所抽取的学生成绩的中位数； (3)任务 3：请计算扇形统计图中“ A 组”所在扇形的圆心角的度数； (4)任务 4：该校七年级共有 600 名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A 等级的人数． 【答案】(1)7 人，见解析 (2)85 分 (3)120 (4)200 人 【分析】（1）利用 B 等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补 图即可． （2）根据中位数的定义计算解答即可； （3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可． （4）根据样本估计整体的思想计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得12 40 30 ％= （人）， C 等级的人数为30 12 10 1 7    （名）． 25 / 124 学科网（北京）股份有限公司 补图如下： ． （2）解：根据题意，得中位数是第 15 个，第 16 个数据的平均数， ∵从小到大排序为：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 第 15 个，第 16 个数为 84，86， 故中位数为 84 86 85 2   ． （3）解：A 等级所占圆心角为： 10 360 120 30   ． （4）解：根据题意，得 10 600 200 30   （人） 答：成绩为A 等级的有 200 人． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总 体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是 DeepSeek-V3 上线后，在知识类任务上水平显著提升，生 成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用 百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取 20 名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用 x表示，且得分为整数，共分为 5 组．A 组：0 60x  ， B 组：60 70x  ，C 组：70 80x  ，D 组：80 90x  ，E 组：90 100x  ）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中D 组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 26 / 124 学科网（北京）股份有限公司 平 均 数 中 位 数 众 数 八 年 级 79 84 a 九 年 级 79 b 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，a  ___________，b  ___________，m  ___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理 由． (3)本次调查中，八年级 E 组的四名学生中男女生各有 2 人，现从这 4 人中随机抽取两人参加全校“人工智能 知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)84，84.5，40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由见解析 (3) 2 3 【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可； （2）利用中位数进行决策解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：∵84 出现了 4 次，最多， ∴众数为 84a  ， ∵A 等级有：20 10% 2  (人)，B 等级有20 15% 3  (人)，C 等级有20 20% 4  (人)，D 等级有 8 人且成绩 为 84，85，86，88，88，88，88，89． ∵中位数是第 10 个数据，第 11 个数据的平均数， ∴中位数是 84 85 84.5 2 b    ， 根据题意，得 8 40% % 20 m  ， 故 40m  ． 故答案为：84，84.5，40． （2）解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成 绩的众数也大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． （3）解：根据题意，有女生 2 名，男生 2 名． 27 / 124 学科网（北京）股份有限公司 画树状图如图，共有 12 种等可能情况，一男一女的可能性有 8 种， 故一男一女的的概率是 8 2 . 12 3  【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件 的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 押题猜想七 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳 子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点C 处，张宏在点A 处将绳子拉直，测得点A 到BC 所在直线的距离为6 m，在A 处测得定滑轮点 B 的仰角为60，张宏后退到点D处，测得定滑轮点 B 的仰角 为37，此时物体上升到点E 处，点C A D、 、 在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长 不变，求物体上升的高度CE ．（结果精确到0.1 m ，参考数据： sin37 0.60 cos37 0.80 tan37 0.75 3 1.73     ， ， ， ） 【答案】物体上升的高度CE 约为5.3m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关 计算是解题的关键． 依题意得 6mAC  ， 60CAB  ， 37CDB  ， 90ACB  ，由直角三角形的两个锐角互余可得 30ABC  ，由含30度角的直角三角形的性质可得 2 12mAB AC  ，分别解Rt , RtABC BCD  ，得出 , ,BC AB BD的长，由于绳子的总长不变，即BC BA BE BD   ，，然后根据CE BC BE  即可求出物体 上升的高度CE ． 【详解】解：在Rt ABC△ 中， 6mAC  ， 60CAB  ， 依题意得： 90ACB  ， 28 / 124 学科网（北京）股份有限公司 90 90 60 30ABC CAB       ， 2 12mAB AC   ， 3 sin 12sin60 12 6 3 6 1.73 10.38m 2 BC AB CAB         ， 在Rt BCD△ 中， 37CDB  ， sin BC CDB BD    ， 17.3m sin sin 37 0.60 10.38 10.38BC BD CDB        ， 绳子的总长不变，即BC BA BE BD   ， 10.3 12 17.3 58 .08mBE BC BA BD       ， 10.38 5.08 5.3mC E B C B E      ， 答：物体上升的高度CE 约为5.3m ． 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。 现在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正 方形）来解题。 1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电 能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两 所成的角为120，当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时，在与塔底 D 水平距离为 60 米的 E 处，测得塔顶 部 O 的仰角 45OED  ，风叶OA的视角 30OEA  ． (1)已知 α，β 两角和的余弦公式为：  sin sin cos cos sin        ，请利用公式计算sin 75的值； (2)求风叶OA的长度． 29 / 124 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 6 2 4  (2)风叶OA的长度为  60 3 60 米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． （1）根据题中公式计算即可； （2）过点 A 作 AF DE ，连接 AC ，OG AC ，先根据题意求出OE ，再根据等腰对等边证明OE AE ， 结合第一问的结论用三角函数即可求EF ，再证明四边形DFAG是矩形，进一步计算即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得：  sin 75 sin 45 30    ， ∴  sin 45 30 sin 45 cos30 cos 45 sin30       2 3 2 1 2 2 2 2     6 2 4   ； （2）解：过点 A 作 AF DE ，连接 AC ，OG AC ，如图所示， 由题意得： 60DE  米， 45OED  ， ∴ 60 60 2 cos 45 2 2 DE OE     米， 45DOE  ， 60OD DE  米， ∵三片风叶两两所成的角为120， ∴ 120DOA  ， ∴ 120 45 75      AOE ， 又∵ 30OEA  ， ∴ 180 75 30 75        OAE ， ∴ OAE AOE  ， ∴ 60 2OE AE  米， ∵ 30OEA  ， 45OED  ， 30 / 124 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 75AED  ， 由（1）得： 6 2 sin 75 4    ， ∴ sin 75 30 3 30AF AE     米， ∵ AF DE ，OG AC ，OD DE ， ∴四边形DFAG是矩形， ∴ 30 3 30OG DG OD AF OD      米， ∵三片风叶两两所成的角为120，且三片风叶长度相等， ∴ 30OAG  ， ∴  2 60 3 60OA OG   米， ∴风叶OA的长度为  60 3 60 米． 2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图1是某款篮球架，图2是其示意图，已知立柱OA垂 直地面OB ，支架CD与OA交于点A ，支架CG CD 交OA于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筐EF 与支 架DE 在同一直线上， 2.5mOA  ， 0.8mAD  ， 58GAC  ． (1)求 AGC 的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3m处，那么他能挂上 篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：cos58 0.53  ） 【答案】(1)32； (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线 构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出OM 的长度，再根据OM 的长度判断能否挂上篮网．  1 根据CG CD 可知 90ACG  ，根据直角三角形两锐角互余可得 90 58 32AGC     ；  2 延长 ,OA ED 交于点M ，根据对顶角相等可知 58DAM GAC   ，利用锐角三角函数可求出 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 2025 年中考数学终极押题猜想（湖南专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 实数的混合运算 ......................................... 1 押题猜想二 求代数式的值 ........................................... 2 押题猜想三 解不等式组 ............................................. 3 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 ............... 3 押题猜想五 规律探究 ............................................... 5 押题猜想六 统计与概率 ............................................. 7 押题猜想七 锐角三角函数的应用 .................................... 10 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 ............................ 14 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 ............................ 16 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 .................... 18 押题猜想十一 几何中的多结论判定 .................................. 20 押题猜想十二 几何中的最值问题 .................................... 22 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 ............................ 25 押题猜想十四 圆的综合问题 ........................................ 27 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 ................................ 29 押题猜想一 实数的混合运算 限时：2min （原创） 计算： 1 0 2025 1 221 12 1 4cos30 π 73                        2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题， 难度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。 1．计算：     2 0 2025 1 4 3 1 3             2．计算   1 0 1 2025 π 3 2 3tan30 2             3．计算：   1 0 1 1 2025 2cos60 1 3 27 6 3              ． 4．计算：    1 02 1 4cos 45 3 2 3.14 π      ． 5．计算：    2 03 π 5 4sin 60 3 2     押题猜想二 求代数式的值 限时：2min （原创） 先化简，再求值： 25 6 9 2 1 2 2 x x x x x              ，其中 x为正整数且 4x  ． 押题解读 本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再 求值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。 1．先化简，再求值：      2 2 2 2x y x y x y    ，其中 1, 2x y  2．先化简，再求值：       2 2 2 3 2 3 3 2x x x x x      ，其中 2x  ． 3．先化简，再求值： 24 4 4 1 2 2 x x x x        ，其中 3 2x   ． 4．先化简，再求值： 2 2 2 4 2 4 4 2 2 a a a a a a a a           ，且a的值满足 2 2 8 0a a   ． 3 / 32 学科网（北京）股份有限公司 5．先化简，再求值： 2 2 1 2 1 1 1 1 m m m m m            ，其中 2 1m = ． 押题猜想三 解不等式组 限时：2min （改编） 解不等式组：  3 2 6 1 1 4 2 x x x x            ，并将解集在数轴上表示出来 押题解读 本考点为必考考点，解不等式组是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题难度不大， 易得分。 1．解不等式组 2 3 4( 2) 2 1 2 2 3 2 x x x x          ① ② 2.解不等式组：  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ，并写出满足条件的正整数 x的所有值． 3．解不等式组  4 3 2 1 2 1 3 x x x x          ，并求出整数解的和． 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 限时：5min （改编） 据统计，2025 年春节期间，长沙市累计接待国内游客1464.37 万人次．这里有种类繁多的特色小 吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐 4 份，糖油粑粑 2 份需要 48 元；购买臭豆腐 2 份，糖油粑粑 4 份需要 54 元． (1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价． (2)据调查，某商家制作 1 份糖油粑粑需要成本 4 元，1 份臭豆腐需要成本 6 元．该商家结合市场需求，某 天可售卖臭豆腐和糖油粑粑共 1000 份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的 3 倍．若商家售完这 1000 份特 色小吃，可获得的最大利润是多少？ 4 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答 题的形式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的 关系。 1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共 160 千克，这两种水果的进 价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店购进两种水果共花费 1000 元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍，应怎样安排进货才能使水果店在销 售完这批水果时获利最多？ 2．【问题背景】 2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面 积，增加藏书数量，现需购进 20 个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有 A，B 两种书架可供选择，A 种书架的单价比 B 种书架单价高25%； 素材二：购买 3 个 A 种书架和 2 个 B 种书架共需要 2300 元； 素材三：A 种书架的数量不少于 B 种书架数量的 1 3 ． 【问题解决】 (1)求 A，B 两种书架的单价； (2)设购买a个 A 种书架，购买书架的总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买 方案． 3．2025 年 3 月 12 日是我国第 47 个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了 解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵 10 元，用 900 元购买甲种树苗的棵数恰好与用 1200 元购买乙种树苗 的棵数相同． 5 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共 600 棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗 的售价打 9 折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的 2 倍，则学校应该如何设计购买方 案，才能使购买树苗的总费用最少？ 4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件 40 元．市场调研显示，当售价为每件 80 元时，每天能售出 20 件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低 1 元的售价，每天就能多售出 4 件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得 1400 元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的 收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单 价是敖丙手办单价的 1.2 倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多 6 个，购买哪吒手办 共需 1200 元，敖丙手办共需 760 元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过 20 个，则其单价可以降低 4 元；敖丙手办的数 量若超过 20 个，则可以打九折销售．同学们现有 1850 元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手 办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 押题猜想五 规律探究 限时：4min （改编）2025 年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000 架无人机编队划破夜空，展示了中国 “智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精 准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长度，无人机按图中“” 方向飞行，  1 0,0P ，  2 0,1P ，  3 1,1P ，  4 1, 1P  …根据这个规律，点 2025P 的坐标为（ ） 6 / 32 学科网（北京）股份有限公司 A． ( 505,506) B． ( 506, 506)  C． (506, 506) D． (506,506) 押题解读 本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较 大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第 2025 个图案中的“ ”的个数是（ ） A．6072 B．6074 C．6076 D．6068 2．观察下列算式： 13 3 ， 23 9 ， 33 27 ， 43 81 ， 53 243 ， 63 729 …，根据你观察发现的规律， 20253 的个位上的数字应是 ． 3、数a是不为 1 的有理数，我们把 1 1 a 称为a的差倒数，如：2 的差倒数是 1 1 1 2    ， 1 的差倒数是 1 1 1 ( 1) 2    ．已知 1 1 3 a   ， 2a 是 1a 的差倒数， 3a 是 2a 的差的倒数，……，以此类推，则 2025a  ． 4．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…… 根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1 的结果是 ． 7 / 32 学科网（北京）股份有限公司 5、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与 x轴的夹角为 30°，点 1B 在 x轴上，且 1 2OB  ，过点 1B 作 1 1B A OP 交OP于点 1A，以 1 1AB 为边在 1 1AB 右侧作等边三角形 1 1 1A BC ；过点 1C 作OP的 垂线分别交 x轴、OP干点 2B 、 2A ，以 2 2A B 为边在 2 2A B 的右侧作等边三角形 2 2 2A B C ，过点 2C 作OP的垂线 分别交 x轴、OP于点 3B 、 3A ，以 3A ， 3B 为边在 3 3A B 的右侧作等边三角形 3 3 3A B C ，…，按此规律进行下 去，则点 3A 的纵坐标为 ，点 2025A 的纵坐标为 ． 押题猜想六 统计与概率 限时：3min （改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行 了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______； (2)若该校有 1000 名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______； (3)某班有 3 名男生和 1 名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率是______； 8 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议． 押题解读 本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。 这些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都 10-14 分。 1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由 7 名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选 手的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他 5 名评委的平均分记为选手的最后 得分，那么表中的数据一定不发生变化的是（ ） 众数 中位数 平均数 方差 8.6 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述 创新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至 3 月 17 日，《哪吒之魔童闹海》全球票 房已突破 150 亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机 APP上提供 了 4 种电影厅：A．杜比影院，B． IMAX 激光厅，C．CINITY厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述 4 种电影厅中随机选择 1 种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 1 16 D． 1 8 3．下列说法正确的有（ ） （1）了解某市70 岁以上老年人的健康状况适合普查； （2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩 进行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本； （3）袋子中装有4 个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差 别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （4 ）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等， 2 2S S甲 乙 ，则甲的成绩比乙稳定． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发 其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 9 / 32 学科网（北京）股份有限公司 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机 抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为 100 分，学 生测试成绩 x均为不小于 60 的整数，分为四个等级： : 60 70, : 70 80, :80 90, : 90 100D x C x B x A x        ），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在 B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； (1)任务 1：求所抽取的学生成绩为C 等级的人数，并补全条形统计图； (2)任务 2：求所抽取的学生成绩的中位数； (3)任务 3：请计算扇形统计图中“ A 组”所在扇形的圆心角的度数； (4)任务 4：该校七年级共有 600 名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A 等级的人数． 5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是 DeepSeek-V3 上线后，在知识类任务上水平显著提升，生 成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用 百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取 20 名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用 x表示，且得分为整数，共分为 5 组．A 组：0 60x  ， B 组：60 70x  ，C 组：70 80x  ，D 组：80 90x  ，E 组：90 100x  ）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中D 组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 10 / 32 学科网（北京）股份有限公司 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平 均 数 中 位 数 众 数 八 年 级 79 84 a 九 年 级 79 b 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，a  ___________，b  ___________，m  ___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理 由． (3)本次调查中，八年级 E 组的四名学生中男女生各有 2 人，现从这 4 人中随机抽取两人参加全校“人工智能 知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 押题猜想七 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳 子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点C 处，张宏在点A 处将绳子拉直，测得点A 到BC 所在直线的距离为6 m，在A 处测得定滑轮点 B的仰角为60，张宏后退到点D处，测得定滑轮点 B的仰角 为37，此时物体上升到点E处，点C A D、 、 在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长 不变，求物体上升的高度CE．（结果精确到0.1 m ，参考数据： sin37 0.60 cos37 0.80 tan37 0.75 3 1.73     ， ， ， ） 11 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。 现在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正 方形）来解题。 1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电 能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两 所成的角为120，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底 D水平距离为 60 米的 E处，测得塔顶 部 O的仰角 45OED  ，风叶OA的视角 30OEA  ． (1)已知 α，β两角和的余弦公式为：  sin sin cos cos sin        ，请利用公式计算sin 75的值； (2)求风叶OA的长度． 2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图1是某款篮球架，图2是其示意图，已知立柱OA垂 直地面OB，支架CD与OA交于点A ，支架CG CD 交OA于点G ，支架DE 平行地面OB，篮筐EF 与支 架DE 在同一直线上， 2.5mOA  ， 0.8mAD  ， 58GAC  ． (1)求 AGC 的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3m处，那么他能挂上 篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：cos58 0.53  ） 12 / 32 学科网（北京）股份有限公司 3、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照 进落地窗．如图，已有的遮阳棚 130cmAB  ，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC 30cm ，遮阳棚的固定 高度 240cmAD  ， 12 sin 13 BAD  ． (1)如图 1，求遮阳棚上的点 B到墙面 AD的距离； (2)如图 2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是60（光线 EC与地面的夹角），请通过计 算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到 0.1，参考数据 3 1.73 ） 4、某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地 铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活 动 过 程 测量 工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不 载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量 方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点E的正上方高空 P处，测得 点A 处的俯角为59，点D处的俯角为45（参考数据：sin59 0.86  ， cos59 0.52  ， tan 59 1.66  ） 13 / 32 学科网（北京）股份有限公司 实地 测量 草图 备注 楼 AB的高度为30m，楼DC的高度为50m，点 B，E，C 在同一条直 线上， AB，PE，DC均垂直于BC，BE CE 任务 目标 求楼 AB与CD之间的距离（结果保留 1 位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 5、某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活 动 过 程 模型抽 象 学校的人工湖中有一个雕塑C ，湖边有两条直路 AB AD， ，路边有 B D， 两处观景平台，其示意图如下： 测绘过 程与数 据信息 ①用米尺测得 AB的距离为8米； ②用米尺测得 AD的距离为8.6米； ③在点A 处用指南针和测角仪测得观景台 B在正西方向，雕塑C 在北 14 / 32 学科网（北京）股份有限公司 偏西30方向，观景台D在北偏东 23方向； ④在点 B处用指南针和测角仪测得雕塑C 在北偏东30方向； ⑤用计算器计算得： sin23 0.4 cos23 0.9 tan23 0.4 sin53 0.8       ， ， ， ， cos53 0.6  ； tan53 1.3  ． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 限时：4min （改编）如图，是二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图象，该图象经过点  1, 4  ，其对称轴为：直线 3x   ，则下列结论：①6a=b② 2 6ax bx c    ；③若 2 21 1 2 2ax bx ax bx   且 1 2x x ，则 1 2 6x x   ；④关 于 x的一元二次方程 2 4ax bx c    的根为 1 ；⑤若点  1,m ，  2,n 在抛物线上，则m n ．其中正确的 个数有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 押题解读 本考点为必考考点，二次函数的图象与系数的关系是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形 式出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1、已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象的对称轴为直线 1x   ，部分图象如图所示，下列结论中：① 0abc  ；② 2 4 0b ac  ；③4 0a c  ；④若 t为任意实数，则有 2a b at bt   ；⑤当图象经过点 1 , 2 2       时，方程 2 2 0ax bx c    的两根为  1 2 1 2,x x x x ，则 1 2 3 2 2 x x   ，其中正确的结论个数是（ ） 15 / 32 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．3 C．4 D．5 2．二次函数 2y ax bx c   （a，b，c是常数， 0a  ）的图象如图所示，其对称轴为直线 1x  ．下列选项 正确的是（ ） A． 0c  B． 2 4 0b ac  C．4 0a c  D．当 1 3x   时， 0y  3．已知二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图象如图所示，图象经过点  0, 2 ，其对称轴为直线 1x   ．下列结论：①3 0a c  ；②若点  14, y ，  23, y 均在二次函数图象上，则 1 2y y ；③关于 x的一 元二次方程 2 9ax bx c   有两个相等的实数根；④满足 2 2ax bx c   的 x的取值范围为 2 0x   ．其中 正确结论的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．如图，抛物线  2 0y ax bx c a    与 x轴交于点  1,0A  ，  3,0B ，与 y轴的正半轴交于点C ．下列 16 / 32 学科网（北京）股份有限公司 结论：① 0b  ；②9 3 2 0a b c   ；③若 1x 和 2x 是关于 x的一元二次方程 2 2 0ax bx c   的两根，则 2 2 1 2 16x x  ；④抛物线上有两点 1 1 , 2 y     ，  2,t y ．若 1 2y y ，则 t的取值范围是 1 5 2 2 t   ；⑤当 ABC 是等腰三角形时，符合条件的a值有 3 个．其中正确结论的个数为（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 5．如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图像过点  4,0 ，对称轴为直线 1x   ．现有下列结论：① 0abc  ；②4 0a c  ；③若    1 2, , ,A x m B x m 是抛物线上的两点，则当 1 2x x x  时， y c ；④若方程   4 2 2a x x    的两个根为 1 2x x， ，且 1 2x x ，则 1 24 2x x    ．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 限时：5min （改编） 已知抛物线 2y x mx n   与 x轴交于  1,0A  ， B两点，与 y轴交于点  0, 3C  ． 17 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接 AC 、 BE、 AE、 BC，且 AE和BC相交于点F ，设 ACF△ 的面积为 1S ， BEF△ 的面积为 2S ，当 2 1 1S S  时，求点E的坐标． (3)如图 2，设点  1 1,P x y ，  2 2,Q x y 是直线BC下方抛物线上的两动点，且 2 1 1x x  ，过点 P作 PM y∥ 轴，交BC于点M ，过点Q作QN BC ，交BC于点N ．求 2PM QN 的最大值． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与线段、面积的问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。 这类题综合性强，难度较大，易失分往往是解答题中的压轴题。 1．在平面直角坐标系中，已知二次函数 2y x bx c   的图象与 x轴交于点    1,0 , 3,0A B ，与 y轴交于点 C ． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，点 P是直线BC下方抛物线上一动点，过点 P作PD BC 交 BC于点D，求线段PD的最大值及 此时点 P的坐标； (3)如图 2，过平面上一点  3,2T 作任意一条直线KQ交抛物线于K Q， 两点，过点A 作直线 AK AQ， ，分 别交 y轴于M N， 两点，试探究OM 与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 2、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 2 6y ax bx   的顶点坐标为  2, 8 ． 18 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图 1，点 E为线段BC上一点，过点 E作EM y 轴，交 x轴于点M，连接 AE，交 y轴于点D，当 AE平分 CEM 时，求直线 AE的解析式； (3)如图 2，点 F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线 AF 分别与 y轴、直线BC交于点 D，E．若 CAD ， CDE ， CEF△ 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，且满足 1 3 22S S S  ，求点 F的坐标． 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 限时：5min （改编） 定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点  ,P x y ，其关于抛物线 2y ax bx c   的对称点P同时满足以下条件：①点P在抛物线的对称轴上；②PP的中点在抛物线 上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L： 2y x bx c   的图象与 x轴的一个交点为  1,0A ，另一个交 点为 B，与 y轴交于点  0,3C ，顶点为D． (1)求抛物线 L的对称轴及顶点坐标； (2)若点  2,1P ，则点 P关于抛物线 L的对称点P是否存在？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说 明理由； (3)若点  0,P k 关于抛物线 L的对称点P存在． 19 / 32 学科网（北京）股份有限公司 ①求k的取值范围，并求出所有满足条件的点P的坐标； ②平面内是否存在点Q，使得以点 P、P、 B、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求点Q的坐标及k的 值，若不存在，请说明理由； 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与多边形、角度存在性的问题是湖南中考比较重要的考查内容，常以解 答题的形式出现。这类题综合性强，相关联的知识较多，并且难度较大，易失分，往往是解答题中的 压轴题。 1．如图，抛物线 2y x bx c    与 x轴交于A ， B两点，与 y轴交于点  0,3C ，对称轴为直线 1x  ．点 M 是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为 (0 3)m m  ．过点M 作MN x 轴，与BC交于点N ，连接 CM ， BM ． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段MN 的最大值； (3)是否存在以CN 为腰的等腰三角形CMN？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2、抛物线 21 1 : 2 L y x bx c    与 x轴交于  4,0A  ，  1 0B , 两点，与 y轴交于点C ，点 P是抛物线 1L 上的 一动点，设点 P的横坐标为 ( 4 0)m m   ． 20 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线 1L 的表达式． (2)如图 1，连接 AP，并延长 AP交 y轴于点D，连接BP，交 y轴于点E．点 P在运动过程中， 4OD OE 的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线 1L 向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位，得到如图 2 所示的抛物线 2L 刚好经过点 P，点 M 为抛物线 2L 对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使以点A ， P，M ，N 为顶点的四边形是菱形． 3、已知抛物线  2 0y ax bx c a    与 x轴左、右交点分别为 A、B，与 y轴负半轴交于点 C，坐标原点为 O，若 3OB OC OA  ， 6ABCS  ，点 P是抛物线上的动点（点 P在 y轴右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)D是线段OC 的中点，①当 45OPC  时，请求出点 P的坐标；②当 OPC OAD  时，请求出点 P 的坐标． 押题猜想十一 几何中的多结论判定 限时：4min （改编）如图，已知正方形 ABCD的边长为 6，P是对角线BD上一点，PE BC 于点 E，PF CD 于点 F，连接 AP，EF．给出下列结论：① 2PD EC ；② AP EF ；③ AP EF ；④EF的最小值为3 2 ； ⑤ APD△ 一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（ ） 21 / 32 学科网（北京）股份有限公司 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 押题解读 本考点为必考考点，几何中的多结论判定是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。 并且考试的知识点较多，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．如图，在 ABC 中， 90A  ， AB AC ，点D为斜边BC上的中点，点E， F 分别在直角边 AB， AC 上运动（不与端点重合），且保持 AE CF ，连接DE，DF，EF．设BE m ，CF n ， EF p ．在点 ,E F的运动过程中，给出下面三个结论： ① 1 p m n   ；②    2m p n p n   ；③ p最小值为  2 2 m n ． 上述结论中，所有．．正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 2．如图， AD是 ABC 的角平分线， BE平分 ABC 交 AD于点E， BF是 ABC 的外角平分线，交 AD的 延长线于点F ，且BF AC∥ ，连接CF．下列结论错误的是（ ） A． 90EBF   B． BCF BFC  C．若CF AB∥ ，则 AE BD D．若 AF BC ，则CF BC 3．如图，已知 ABC ，分别以 AB、 AC 为边向外作等边 ABF△ 和等边 ACE△ ，CF和 BE交于O点，则下 列结论：①CF BE ；② 60COE  ；③OA平分 FOE ；④OE OA OC  ．其中正确的有（ ） 22 / 32 学科网（北京）股份有限公司 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 4．如图，在Rt ABC△ 中， 90ABC  ，以 AC 为边，作 ACD ，满足 AD AC ，E为BC上一点，连接 AE， 2CAD BAE   ，连接DE，下列结论中：① ADE ACB  ；② AEB AED  ；③ AC DE ；④ 2DE CE BE  ．其中正确的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．如图 1，E为矩形 ABCD的边 AD上一点，点 P从点 B出发沿折线BE ED DC  运动到点 C停止，点 Q 从点 B出发沿BC运动到点 C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点 P、点 Q同时开始运动，设运动时 间为  st ， BPQ 的面积为  2cmy ，已知 y与 t之间的函数图象如图 2 所示．给出下列结论：①当 0 10t  时， BPQ 是等腰三角形；② 248cmABES △ ；③当14 22t  时， 110 5y t  ；④在运动过程 中，使得 ABP 是等腰三角形的 P点一共有 3 个；⑤ BPQ 与 ABE 相似时， 14.5t  ．对以上结论判断正 确的是（ ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 押题猜想十二 几何中的最值问题 限时：5min （改编）如图，已知点C 是直线 l外一定点， AB是直线 l上的动线段， 5AB  ，连接 AC 、 BC， 15ABCS  ．求当 AC BC 取最小值时sin CBA 的值．小慧在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运 动，若将 AB看作静止线段，则点C 在平行于直线 l的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当 AC BC 取 最小值时sin CBA  ． 23 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题解读 本考点为必考考点，几何中的最值问题是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式 出现。并且与其它知识结合在一起，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题、解答题中的常考 题。 1．如图，对折长方形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A落 在EF上的点 A处，得到折痕 BM ， BM 与EF相交于点 N．若直线BA交直线CD于点 O， 1OF  ， 3 2 A M A O  ，点 Q是折痕 BM 上的一个动点，则 AQ QE 的最小值为 ． 2．几何模型： 条件：如图 1，A、B是直线 l同侧的两个定点． 问题：在直线 l上确定一点 P，使PA PB 的值最小， 方法：作点 B关于直线 l的对称点B，连接 AB交 l于点 P，则PA PB AB  的值最小． 直接应用： 24 / 32 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图 2，正方形 ABCD的边长为 8，M在 DC上，且 2DM  ，N是 AC上一动点，则DN MN 的最 小值为 ． 变式练习： （2）如图 3，点 A是半圆上（半径为 1）的三等分点，B是弧 AN的中点，P是直径MN上一动点，求 PA PB 的最小值． 深化拓展： （3）如图 4，在锐角△ABC中， 4 2AB  ， 45BAC  ， BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N分别是 AD和 AB上的动点，求BM MN 的最小值． 25 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 限时：4min （改编） 1．如图，在 ABC 中， AB AC ， AD是 ABC 的高线，E是 AB边上一点，过点 C作 CF AB∥ 交ED的延长线于点 F． (1)求证： BDE CDF ≌ ； (2)当 1AE  ， 4CF  ， 3AD  时，求BC的长． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形的证明与计算问题是湖南比较重要的必考内容，常以解答题的形式出 现。这类题都是基础题，难度不大，易得分，每年都有 14-16 分。 1．如图， ABC 是等腰直角三角形， 90ACB  ，D为 AB边上一点，BD AE ， B EAC  ． (1)证明：CD CE ； (2)若 75AEC  ，求 ADE 的度数． 2．如图，在菱形 ABCD中，点E、F 分别为CD、 AD边上的点． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得 AE CF ，你添加的条件是______； 26 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (2)添加了条件后，证明 AE CF ． 3．如图，在 ABCD 中， AC 为对角线，过点 B作BE AC 交 AC 于点 E，交 AD于点 F，交CD的延长线 于点 G． (1)求证：GF CG DG BG   ； (2)如果 2AB BE BF  ，求证：四边形 ABCD是矩形． 4、如图， ABC 与 ADE 都是等边三角形，且 B，D，E三点共线，CF BE∥ 交 AD的延长线于 F． (1)求证：① ABD ACE≌△ △ ； ②四边形DFCE是平行四边形； (2)若 2AD  ， 4AB  ，求四边形 AFCE的面积． 5．已知，如图， AB是 O 的直径，点 C为 O 上一点，OF BC 于点 F，交 O 于点 E， AE与BC交于 点 H，点 D为OE的延长线上一点，且 ODB AEC   ． (1)求证：BD是 O 的切线； (2)连接 BE，求证： 2BE EH EA  ； (3)若 O 的半径为 10， 3sin 5 A  ，求BH 的长． 27 / 32 学科网（北京）股份有限公司 押题猜想十四 圆的综合问题 限时：5min （改编） 如图， AB是 O 的直径，CD平分 ACB 交 O 于点D，点E在CA的延长线上，满足 CDE CBD  . (1)求证：DE与 O 相切； (2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证 明； ① 1 1 2 AC BC FC   （ ）；② 2 1 1 1 AC BC BD CF FD     （ ）； (3)设 CED△ 的面积为 1S ， CDB△ 的面积为 2S ，若 tan E x  ， 1 2 4 SED y AB S    ，试求 y关于 x的函数关系 式，并求当 x为何值时， y的值最大. 押题解读 本考点为必考考点，圆的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性 强，知识跨度较大，所以难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。 1．已知， ABC 是半径为5的 O 的内接三角形，点D是 ABC 的内心，射线 AD分别交BC、 O 于点 E F、 ． (1)如图1，连接 BF，求证： AEC ABF ∽ ； 28 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2， 90BAC  ； ①若 8AB  ，求 AF 的长； ②若 30ABC  ，求 AF DF 的值； (3)如图3， 60BAC  ，射线BD CD、 分别交 O 于点G H、 ，点A 在直线BC上方的圆弧上运动，无论点 A 如何移动，线段DF DG DH、 、 中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 2、定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形 ABCD为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画 “√”，错误的画“×”） ①四边形 ABCD一定是平行四边形；（ ） ②四边形 ABCD可能是正方形；（ ） ③四边形 ABCD的四条边的数量关系为 2 2 2 2AB CD AD BC   ．（ ） (2)如图①，四边形 ABFC是圆正直四边形， O 的直径 AD交 BF 于点 P，连接BC交 AD于点 E，连接 DF ，证明： · ·PE PF PB PD ； (3)如图②，在 ABC 中，经过点 A，B的 O 交 AC边于点 D，交BC于点 E，连接 AE， BD交于点 F，若 在四边形 ABED的内部存在一点 P，PA PD ，PB PE ， PBC ADP     ，且 3 tan 4   ，PE交 BD 于点 G， 12PB PD  ， 1 2 CE AC  ，求DE 的最小值． 3、如图， AB为 O 的直径，弦CD AB 于点 ,E G为劣弧 AD上一动点， AG与CD的延长线交于点F ， 连接 AC AD CG DG、 、 、 ． 29 / 32 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： AGC DGF   ； (2)若 10, 8AB CD  ①若 5DF  ，求CG的长； ②若 , ACG CDG S DF x y S  △ △ ，求 y与 x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即 10, 8,AB CD DF x   ，求 AG DG 的最大值． 4、如图， AB是 O 的直径，点 C是AB的中点，弦CD CE， 分别交 AB于点 F，G，且 1 2 DCE ACB   ，连接DE． (1)设 ACD   ，用含 的式子表示 CDE 的度数； (2)求证： 2 2 2FG AF BG  ； (3)若 O 的半径为 1，记 ACF BCG CFG， ，   的面积分别为 1S ， 2S ，S，设 AF a ，BG b ，且满足 2 2 1 1 2 1 1 0 2 S S S S S ab     ，求 a，b的值． 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 限时：5min （改编） 【问题背景】 （1）如图 1，已知 AB DC ， BAD CDE  ，若 D是 AE的中点，求证： ABD DCE≌△ △ ． 【问题拓展】 （2）如图 2，在（1）的条件下，连接 AC ，过点 D作FG BC∥ ，交 AC 于点 F，交 AB于点 G，求证： 30 / 32 学科网（北京）股份有限公司 DF DG ． 【拓展探究】 （3）如图 3，在（2）的问题中，若 D是 AE上的任意一点，其他条件不变，求证：DF DG ． 押题解读 本考点为必考考点，特殊四边形的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题 是压轴题，综合性强，相关的知识点较多，并且难度较大，易失分。 1、如图，在菱形 ABCD中， 6, 60AB B   ，点 ,E F 分别是 ,AB AD上的动点，满足 AE DF ，连接 , , ,CE CF EF EF 与 AC 交于点G ． (1)求 ECF 的度数； (2)填空： ① AF AE CD AC  ______________，② AF FG CD EC   ______________，③ AG AG AE AF  ______________； (3)记 AEG△ 的面积为 1S ， AFG 的面积为 2S ， AEC△ 的面积为 3S ， AFC 的面积为 4S ． ①若 2 3CF AF FD  ，求 1 3 S S 的值； ②试判断 1 2 4 3 S S S S  的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 2、综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结 2025年中考数学终极押题猜想（湖南专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 实数的混合运算 1 押题猜想二 求代数式的值 4 押题猜想三 解不等式组 7 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 9 押题猜想五 规律探究 14 押题猜想六 统计与概率 20 押题猜想七 锐角三角函数的应用 26 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 36 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 44 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 54 押题猜想十一 几何中的多结论判定 67 押题猜想十二 几何中的最值问题 77 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 84 押题猜想十四 圆的综合问题 93 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 109 押题猜想一 实数的混合运算 限时：2min （原创） 计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再根据乘方、负整数指数幂、二次根式、绝对值、零指数幂的性质化简，再加减即可． 【详解】解： ． 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题，难度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。 1．计算： 【答案】13 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方运算．分别进行算术平方根，零指数幂，乘方，负整指数幂运算，最后加减即可． 【详解】解： ． 2．计算 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可． 【详解】解： ． 5．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式                 ． 押题猜想二 求代数式的值 限时：2min （原创） 先化简，再求值：，其中为正整数且． 【答案】化简得，求值得 【分析】本题考查分式的化简，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简步骤是解题的关键．先化简分式，再利用分式有意义的条件结合为正整数且，确定的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵为正整数且，且，， ∴， ∴原式． 押题解读 本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再求值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。 1．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算积的乘方、单项式乘多项式和完全平方公式，再去括号、合并同类项化简，然后将、的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，17 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 4．先化简，再求值：，且的值满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简． 先对原式中分子分母进行因式分解，再根据分式运算法则化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 押题猜想三 解不等式组 限时：2min （改编） 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 押题解读 本考点为必考考点，解不等式组是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题难度不大，易得分。 1．解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解①得：， 解②得：， ． 2.解不等式组：，并写出满足条件的正整数x的所有值． 【答案】，满足条件的x值有：1，2 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式，②，得， ∴不等式组的解集为， ∴正整数解为． 3．解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【分析】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是关键； 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间大大小小是无解”求出不等式组的解，进而即可得到答案 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 此不等式组的解集为． ∵整数解 ∴，2，3 那么整数解的和为： 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 限时：5min （改编） 据统计，2025年春节期间，长沙市累计接待国内游客万人次．这里有种类繁多的特色小吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐4份，糖油粑粑2份需要48元；购买臭豆腐2份，糖油粑粑4份需要54元． (1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价． (2)据调查，某商家制作1份糖油粑粑需要成本4元，1份臭豆腐需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖臭豆腐和糖油粑粑共1000份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每份糖油粑粑的售价是7元，每份臭豆腐的售价是10元 (2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设每份糖油粑粑的售价是x元，每份臭豆腐的售价是y元，根据“购买糖油粑粑4份，臭豆腐2份需要48元；购买糖油粑粑2份，臭豆腐4份需要54元”列出方程组，即可求解； （2）设售出m份糖油粑粑，则售出份臭豆腐，根据“某天可售卖糖油粑粑和臭豆腐共1000份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每份糖油粑粑的售价是x元，每份臭豆腐的售价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每份糖油粑粑的售价是7元，每份臭豆腐的售价是10元； （2）解：设售出m份糖油粑粑，则售出份臭豆腐， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， 答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元． 押题解读 本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的关系。 1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？ 【答案】(1)甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克 (2)安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克， 由题意可得：， 解得， ， 答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克； （2）解：设购进甲种水果千克，则乙种水果购进千克，获得的利润为元， 由题意可得：， 随的增大而减小， 该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：安排购买甲种水果千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多． 2．【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)求A，B两种书架的单价； (2)设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 【答案】(1)种书架的单价为500元，种书架的单价为400元 (2)（，且是整数），购买种书架5个、种书架15个 【分析】（1）设种书架的单价为元，种书架的单价为元． 由题意，得解答即可． （2）由题意，得，再解得，利用一次函数的性质，解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元． 由题意，得 解得 答：种书架的单价为500元，种书架的单价为400元． （2）由题意，得， 种书架的数量不少于种书架数量的， ，解得， 与的函数关系式为（，且是整数）． 对于（，且是整数），由可知随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时，， 费用最少时的购买方案是购买种书架5个、种书架15个． 3．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)售价应降低30元 (2)商家每天获得的最大利润为2025元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． 找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可求解． （2）设商家每天获得的利润为元，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，列出w关于x的二次函数关系，然后利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设售价应降低元，由题意得． ， ， 解得，， 又要减少库存， ， 答：售价应降低30元． （2）解：设商家每天获得的利润为元， ． ， 当时，元， 答：商家每天获得的最大利润为2025元． 5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； (2)不能购买到原来统计的手办，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2）解：不能购买到原来统计的手办，理由如下： 原计划购买哪吒手办个，购买敖丙手办个， 依题意， ∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售． ∴购买敖丙手办个，则需要 ∴不能购买到原来统计的手办. 押题猜想五 规律探究 限时：4min （改编）2025年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故选：B． 押题解读 本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“”的个数是（   ） A．6072 B．6074 C．6076 D．6068 【答案】C 【分析】 根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解． 【详解】 解：∵第1个图案中的“”的个数（个）， 第2个图案中的“”的个数（个）， 第3个图案中的“”的个数（个）， …， 第2025个图案中的“”的个数（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律． 2．观察下列算式：，，，，，…，根据你观察发现的规律，的个位上的数字应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数字的变化类、尾数的特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出相应数据的个位数字．根据题目中的数据，可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到的个位数字． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 这列数的个位数字依次3，9，7，1，循环出现， ， 的个位数字是3， 故答案为：3 3、数是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差的倒数，……，以此类推，则 ． 【答案】 4 【分析】此题考查数字的变化规律，根据差倒数的定义分别求出前几个数，不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2025除以3，根据余数的情况确定出与相同的数即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴每3个数为一个循环组依次循环，依次为，，； ∵ ∴， 故答案为：4． 4．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…… 根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1的结果是 ． 【答案】22026﹣1 【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2025代入计算即可， 【详解】解：根据题意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1， 把x=2，n=2025代入得， 22025+22024+22023+…+22+2+1 =（2﹣1）（22025+22024+22023+…+22+2+1）， =22026﹣1． 故答案为：22026﹣1． 【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 5、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ．    【答案】 【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出，，，…，可得点，，的纵坐标，从而得的纵坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴的边长，， ∴点的纵坐标为， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理得：， ∴， ∴点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 押题猜想六 统计与概率 限时：3min （改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______； (2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______； (3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______； (4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议． 【答案】(1)， (2) (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率； （1）根据条形统计图得出基本了解的人数，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数； （2）根据扇形统计图与条形统计图得出“非常了解”安全知识的人数，再根据样本估计总体即可求解； （3）画树状图求概率即可求解； （4）根据统计图可得了解很少和不了解的人数占比较大，加大安全教育，言之合理即可求解． 【详解】（1）解： 人，故此次抽查的学生总数为200人， 基本了解的人数为80人， 故答案为：，． （2）解：不了解的占比为，人数为人， ∴非常了解的人数为：人 （人） 故答案为：． （3）解：画树状图如图， 总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，； 恰好有1名男生和1名女生的概率为． 故答案为：． （4）由统计图可知，了解很少和不了解的人数占比较大，建议学校加大宣传，开展好“防溺水”安全教育．（答案不唯一）． 押题解读 本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。这些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都10-14分。 1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由7名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他5名评委的平均分记为选手的最后得分，那么表中的数据一定不发生变化的是（   ） 众数 中位数 平均数 方差 8.6 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数和众数，解题的关键是了解中位数、平均数、众数及方差的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：C． 2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述创新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至3月17日，《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破150亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机上提供了4种电影厅：A．杜比影院，B．激光厅，C．厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述4种电影厅中随机选择1种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，先列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用概率公式解题即可． 【详解】解：由题意画树状图如下， 可能出现的结果有16种，他们都选中“剧院式巨幕厅”的情况有1种， ∴他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是． 故选：C． 3．下列说法正确的有（   ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数据的收集，概率和方差，根据普查的特点、样本的定义、概率的意义及方差的意义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）了解某市岁以上老年人的健康状况适合抽样调查，该选项说法错误； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本，该选项说法正确； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大，该选项说法正确； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，该选项说法错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； (1)任务1：求所抽取的学生成绩为等级的人数，并补全条形统计图； (2)任务2：求所抽取的学生成绩的中位数； (3)任务3：请计算扇形统计图中“组”所在扇形的圆心角的度数； (4)任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数． 【答案】(1)7人，见解析 (2)85分 (3) (4)200人 【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补图即可． （2）根据中位数的定义计算解答即可； （3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可． （4）根据样本估计整体的思想计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（人）， C等级的人数为（名）． 补图如下： ． （2）解：根据题意，得中位数是第15个，第16个数据的平均数， ∵从小到大排序为：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 第15个，第16个数为84，86， 故中位数为． （3）解：A等级所占圆心角为：． （4）解：根据题意，得（人） 答：成绩为等级的有200人． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． (3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)84，，40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可； （2）利用中位数进行决策解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【详解】（1）解：∵84出现了4次，最多， ∴众数为， ∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89． ∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数， ∴中位数是， 根据题意，得， 故． 故答案为：84，，40． （2）解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． （3）解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的的概率是 【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 押题猜想七 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点处，张宏在点处将绳子拉直，测得点到所在直线的距离为，在处测得定滑轮点的仰角为，张宏后退到点处，测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到点处，点在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】物体上升的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 依题意得，，，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，分别解，得出的长，由于绳子的总长不变，即，，然后根据即可求出物体上升的高度． 【详解】解：在中，，， 依题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 绳子的总长不变，即， ， ， 答：物体上升的高度约为． 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。现在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正方形）来解题。 1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． (1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值； (2)求风叶的长度． 【答案】(1) (2)风叶的长度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． （1）根据题中公式计算即可； （2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，进一步计算即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴ ； （2）解：过点A作，连接，，如图所示，    由题意得：米，， ∴米，，米， ∵三片风叶两两所成的角为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等， ∴， ∴米， ∴风叶的长度为米． 2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．      (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度，再根据的长度判断能否挂上篮网． 根据可知，根据直角三角形两锐角互余可得； 延长交于点，根据对顶角相等可知，利用锐角三角函数可求出，从而可得，所以该运动员能挂上篮网． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网， 理由如下： 如图，延长交于点， ，， ， 又， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 3、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据） 【答案】(1) (2)光线不能照射到商户内，方案可行，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长光线交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长光线交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线不能照射到商户内，方案可行． 4、某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 【答案】60.6m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作，作，求出，再说明为等腰直角三角形，可得，然后设，表示，最后根据得出方程，求出解即可． 【详解】解：如答案图，过点A作于点，交于点，过点作于点， 楼高为，楼高为， ． ， ∴为等腰直角三角形， ． 设， ． ， ， ， ， 解得， ， 楼与之间的距离约为． 5、某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【答案】观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得到是等边三角形，得到的长，即观景台到雕塑的距离；在中，求出，的长，在中，利用勾股定理，求出的长，即可得到结果． 【详解】解：∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向 ∴ ∴是等边三角形， ∴； 如图，过点作于点 ∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ∴ 在中，， ∵ ∴ 在中， 答：观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 限时：4min （改编）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①6a=b②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②正确； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数的图象与系数的关系是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1、已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．利用抛物线开口方向得到，利用抛物线对称轴的方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， ，故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，故②正确； 时，， ， 而， ， ， ，故③正确； ，有最小值， （为任意实数）， 即，故④正确； 图象经过点时，方程的两根为，， 二次函数与直线的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与直线的另一个交点为， 即，， ，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有②③④⑤共4个． 故选：C． 2．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线没有交点，推得关于x的一元二次方程没有实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，， 即， 而， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故②正确； ③由图象可知：二次函数与直线没有交点， 即关于x的一元二次方程没有实数根，故③错误； ④∵函数图象经过，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：B． 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、根与系数的关系、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得，再根据抛物线的对称轴可得即可判定①；由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则，当时，则，即；又，即可判定②；根据根与系数的关系可得，将，将、代入计算化简即可判定③；根据二次函数的性质可得，然后求解即可判定④；分、、分别求a的值即可判定⑤． 【详解】解：由抛物线开口方向向下，则， 该抛物线的对称轴为：，即，则，即①错误； 由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则， 当时，则，即，解得： 由，即②正确； 由和是关于的一元二次方程的两根，则， 所以， 将代入可得， 将、代入可得：，即③正确； 因为抛物线的对称轴为：， 所以当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 因为点到对称轴的距离为， 要使，则点到对称轴的距离小于，即，解得：，即④正确； 由题意可得：， 当，，即，解得：，故； 当，，即，解得：，故； 当，无解．则即符合条件的值有2个，即⑤错误． 综上，正确的有②③④，共3个． 故选B． 5．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 限时：5min （改编） 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为4 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与线段、面积的问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，难度较大，易失分往往是解答题中的压轴题。 1．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)与的积为定值，定值为2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：； （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； (3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出直线的解析式，求出点坐标，联立两个解析式求出点的横坐标，根据角平分线结合平行线的性质，推出，列出方程进行求解，即可； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，推出，进而推出过点作轴，过点作轴，作，证明，推出同法（2）设出直线解析式，联立解析式求出两点的横坐标，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设所求抛物线解析式为，当时，，即： ∴， 解得， 故所求抛物线解析式为． （2）∵， 当时，有， 解得， ， 由（1）可知：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得 直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立得，， 平分， ， 又轴， ， ∴， 过点作轴，则：， ∵， ， ， 解得， 直线的解析式为． （3），，，为同高三角形， ， ∴， 过点作轴，过点作轴，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）设直线的解析式， 由得，， 由得，， ，即， ，解得或（舍）， ， 当时，， ． 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 限时：5min （改编） 定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与多边形、角度存在性的问题是湖南中考比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，相关联的知识较多，并且难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2、抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 【答案】(1) (2)的值为定值10，理由见详解 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论； （3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：的值为定值10，理由如下， 如图，过点作轴于点,则, ∴, 即 假设点坐标为，则点坐标为， ∴，，,，， ∴， 整理得， ∴的值为定值10； （3）解：平移后抛物线的表达式为， 整理得， 联立， 解得， ∴点坐标为， ∴根据勾股定理得， 抛物线的对称轴为直线， ①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为； ②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示， 假设交点坐标为， ∴ 解得或， 即， 假设， ∵, ∴，；，； 解得；； 所以此时； ③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示， 假设， ∴ 即 解得 ∴ 假设，根据得， ， 解得， 所以此时 综上可得点坐标为或． 3、已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或②或 【分析】（1）根据，，求出的长，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据，得到，进而得到，推出四点共圆，圆周角定理得到为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，设，结合勾股定理列出方程进行求解即可；②中点得到，进而得到，取点，连接，得到，进而得到，同法①进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且，则：点在轴左侧，点在轴右侧： ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴，，， ∴设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得：， ∴， ∴； （2）①当∵， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，满足题意；此时：； 当点与点不重合时，则：四点共圆， ∵， ∴为圆的直径，取的中点，则点即为圆心，连接，则：， ∵， ∴，，， 设点， 则：， 整理，得： 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或， 当时，， ∴； 综上：或； ②∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 取点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边共圆， ∵， ∴为圆的直径，取的中点，则，， ∵， ∴， 设， ∴， 化简，得：， 解得：（舍去）或或（舍去）或； ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，四点共圆，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 押题猜想十一 几何中的多结论判定 限时：4min （改编）如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到．根据正方形的性质得到，求得是等腰直角三角形，得到，①正确；延长交于点N，延长交于点M．推出四边形是正方形，，根据全等三角形的性质得到；故②正确；根据垂直的定义得到，故③正确；当时，最小，即最小，此时是等腰直角三角形，斜边为，于是得到的最小值为，故④正确；当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故⑤错误． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； 延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故②正确； ， 与中，，， ∴， ∴， 故③正确； ∵矩形中，， ∴当时，最小，即最小， 此时是等腰直角三角形，斜边为， 则， ∴的最小值为， 故④正确； ∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形， 故⑤错误． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键． 押题解读 本考点为必考考点，几何中的多结论判定是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且考试的知识点较多，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由得，根据点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合），则，由此可对结论①进行判断；②根据，由勾股定理得：，由此可对结论②进行判断；③连接，设，根据等腰直角三角形的性质得，由勾股定理得，即，再由得，当且仅当时，，此时，则有，当时，，此时，则有，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合）， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴，故结论②正确； ③连接，设，如图所示： 在，点D为斜边上的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 当且仅当时，即点E，F分别为的中点时，， 此时，则有， 当时，即点E，F不是的中点时，，此时，则有， ∴，且等号可以取到，即最小值为．故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 2．如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到即可判断B，再证明是平行四边形即可判断C，最后证明垂直平分即可判断D，即可得到答案． 【详解】解平分，平分， ，，，选项A正确，不符合题意； ，平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，选项B正确，不符合题意； ，， 四边形是平行四边形． ，， 由上面知：， ，均为等边三角形， 由三线合一易知，， 在中，由角平分线定义知，， ， 易知， ，选项C错误，符合题意； ，平分， 结合易证全等于， 易知垂直平分， ， 又， ，选项D正确，不符合题意； 综上，故选C． 【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件． 3．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：A． 4．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 5．如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，， 四边形是矩形， ，． ， ， ． 对于①，当时，点在上，点在上，且， 是等腰三角形，①正确； 对于②，，②错误； 对于③，，， 当时，点在上，点在处， ，③正确； 对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误； 对于⑤，是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，⑤正确． 综上可得，正确的有：①③⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 押题猜想十二 几何中的最值问题 限时：5min （改编）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小慧在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动，若将看作静止线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 押题解读 本考点为必考考点，几何中的最值问题是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。并且与其它知识结合在一起，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题、解答题中的常考题。 1．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 2．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    【答案】（1）10；（2）；（3）4 【分析】（1）如图2（详解），由正方形的性质可知点和点关于对称，连接,由题目中的几何模型可知是的最小值，由题可知,,根据勾股定理可求出即可； （2）如图3（详解），先作出点关于对称点,连接,,由几何模型可知是的最小值，因为点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，所以可得，根据勾股定理求出即可； （3）由题意和对称性可知,要求最小值，就是求出的最小值即可，根据垂线段最短过点作,是两线段之和最小值；因为，，根据解直接三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接 在正方形中， ,， 又 ∴, 在中 ， 故的最小值为10.    （2）作出点关于对称点，连接,, ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点， ∴， 在中 ， 即的最小值．      （3）连接,过点作. ∵的平分线交BC于点D， ∴， 即要求最小值，就是求出的最小值，根据垂直段最短，是的最小值，即也是的最小值. 在中 ，， ∴， 即的最小值4.    【点睛】本题主要考查了将军饮马模型，勾股定理，解直接三角形，垂直段最短等知识点，解决此题的关键是合理的理由题目中的几何模型（将军饮马模型）. 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 限时：4min （改编） 1．如图，在中，，是的高线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由三线合一得到，再由平行线导角，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质先求出，由三线合一得到，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， 是的高，， ． ； （2）解：， ， ， ，是角平分线， ∴，， ， ． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形的证明与计算问题是湖南比较重要的必考内容，常以解答题的形式出现。这类题都是基础题，难度不大，易得分，每年都有14-16分。 1．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）根据可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）由得到，推出是等腰直角三角形，得到，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在菱形中，点、分别为、边上的点． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明． 【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可） (2)见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键 （1）根据菱形的性质可知，，要使得，只需要添加的条件使得即可； （2）根据（1）的思路，利用查菱形的性质，全等三角形的判定及性质证明即可． 【详解】（1）解：添加，可根据全等三角形的性质得到结果 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：在菱形中，， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到，由相似比变形即可得证； （2）由题中条件，结合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质得到，根据四边形是平行四边形，由矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 4、如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等式的性质可得出，，，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，则，根据平行线的判定得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）过E作于，设与相交于O，根据正弦的定义求出，，可得出，，设，则，， ∴，根据全等三角形的性质得出，证明，求出，则，解方程求出，然后根据平行四边形的性质求出，最后根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：①∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过E作于，设与相交于O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识，明确题意，寻找合适的相似三角形求解是解题的关键． 5．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，再证，进而证得即可证明结论； （2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论； （3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）解：如图：连接BE， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵⊙O的半径为10， ∴AB=20，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键． 押题猜想十四 圆的综合问题 限时：5min （改编） 如图，是的直径，平分交于点，点在的延长线上，满足. (1)求证：与相切； (2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（    ）；②（    ）； (3)设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大. 【答案】(1)见解析 (2)①√；②√ (3)关于的函数解析式为，当时，取最大值为2 【分析】（1）连接，先证，再证即可得证； （2）分别根据①和②式倒推出需要证明的等式，再根据题干条件去证即可，①过作，，则四边形是正方形，再根据等面积即可得证．②证和得出比例线段，再代入式子推导即可； （3）根据题干条件可得，，由得，所以，再代入得即可，需要注意的是在求最值过程中需要换元法． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：①，②． 证明：①如图：过作，，则四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 两边同时除以得：． ②，， ， ，即， ，， ， ，即， ． 故答案为：，． （3）解：由前两问可知，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，取最大值为2，此时， 关于得函数解析时为，当时，取最大值为2． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题关键． 押题解读 本考点为必考考点，圆的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，知识跨度较大，所以难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。 1．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)；； (3)线段为定值，且． 【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证； （）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解； 连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解； （）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可． 【详解】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 2、定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出，即可证明．再根据平行四边形、正方形的性质判断①②③即可． （2）连接，如图，根据圆周角定理得出，再根据四边形为圆正直四边形，得出，判断出，证明，即可得，即可证明． （3）证明，得出，再证明，得出，根据三角形内角和定理得出，即，，勾股定理证出，根据四点共圆得出，证明，得出，结合，设，则，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，根据列出方程即可得出关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果． 【详解】（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则， ， ． 故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形； ①四边形一定是平行四边形；（×） ②四边形可能是正方形；（√） ③四边形的四条边的数量关系为．（√） （2）证明：连接，如图， ∵是的直径， ， ∵四边形为圆正直四边形， ， ， ， ， ∴． （3）解：∵， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， ， 又 ∵， ∴，即， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， 又 ∵， 设，则， ， ∴在中，， ， 则利用勾股定理可得， 在中，， ， 则利用勾股定理可得， ∵， ∴， 即有， ∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为， 即的最小值为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合，主要考查了新定义圆正直四边形的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，二次函数的最值，四点共圆的性质等知识点，多次证明相似三角形是解答本题的关键． 3、如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，利用圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）①先根据圆周角定理、勾股定理可得、、、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可；②通过证明，进而得到，再根据等高三角形得到，最后代入计算即可； （3）分别证明和得到、，然后代入，最后根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ∴，即． （2）解：如图：连接， ∵是直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵是直径，弦于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． ②∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴相似比为， ∴，即， ∵和是等高三角形， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数关系式． （3）解：在中，， ∵， ∴，即：，解得：， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， ∵，即最小值为 ∴， ∴的最大值为． 4、如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接． (1)设，用含的式子表示的度数； (2)求证：； (3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，． 【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程； （1）连接，由是的直径可得，则，即可得到，根据计算即可； （2）把顺时针旋转，则与重合，即可得到，得到，，则，再证明得到，即可得到； （3）连接，则，即可表示出，，S，再结合（2）中结论代入计算即可． 【详解】（1）连接，， ∵是的直径，点C是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）把顺时针旋转，点对应点，连接，则， ∵， ∴与重合， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵的半径为1， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 由（2）可得，，， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，即， ∴ ∴，即 ∵， ∴， ∴ 整理可得，解得， ∵， ∴， ∴． 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 限时：5min （改编） 【问题背景】 （1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：． 【问题拓展】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：． 【拓展探究】 （3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）先证明，，可得，可得，证明，结合，可得，分别为的中点，再进一步求解即可； （3）如图，延长至，使，证明，可得，，在上取点，且，可得，，证明，可得，再证明，，结合相似三角形的性质可得结论；当在线段上，如图，同理可得结论. 【详解】证明：（1）∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴分别为的中点， 又∵D是的中点， ∴，， ∴； （3）如图，延长至，使， ∵，， ∴， ∴，， 在上取点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 当在线段上，如图， 同理可得：. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 押题解读 本考点为必考考点，特殊四边形的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题是压轴题，综合性强，相关的知识点较多，并且难度较大，易失分。 1、如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①______________，②______________，③______________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1，0，1 (3)①；②的最小值为 【分析】（1）先由菱形性质得到相关角度与边的关系，再由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出即可得到答案； （2）利用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行填空． （3）①根据已知条件结合相似三角形的性质求出的值；②根据三角形面积比与线段比的关系，结合二次函数性质判断是否存在最小值． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ， ，，则， 是等边三角形，则， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①由（1）知，， ； ②由（1）知， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， ， ， ，， ； ③，， ， ， ，则； ，， ， ， ，则； ； 故答案为：①；②；③； （3）解：①由（2）中③可知：， ， 由（2）中②可知：， ， ， ， ， ， ， 设、的高为， ； ②， ， ， ， ， 同理可证明， ， 设， ， 当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及三角形面积公式等数学概念和定理．通过证明三角形相似得出对应成比例的线段是正确解答此题的关键． 2、综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点，    由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 3、（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）（1）；见解析；（2）；见解析；（3）；见解析； 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，有，再证明，则，再证明是直角三角形即可． 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，连接，如图， 则， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ，； ∵， ∴， ∴； ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 4、【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M． ∵四边形是正方形，， ∴，，．     ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（湖南专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 实数的混合运算 1 押题猜想二 求代数式的值 2 押题猜想三 解不等式组 3 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 3 押题猜想五 规律探究 5 押题猜想六 统计与概率 7 押题猜想七 锐角三角函数的应用 10 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 14 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 16 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 18 押题猜想十一 几何中的多结论判定 20 押题猜想十二 几何中的最值问题 22 押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 25 押题猜想十四 圆的综合问题 27 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 29 押题猜想一 实数的混合运算 限时：2min （原创） 计算： 押题解读 本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题，难度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。 1．计算： 2．计算 3．计算：． 4．计算：． 5．计算： 押题猜想二 求代数式的值 限时：2min （原创） 先化简，再求值：，其中为正整数且． 押题解读 本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再求值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。 1．先化简，再求值：，其中 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，且的值满足． 5．先化简，再求值：，其中． 押题猜想三 解不等式组 限时：2min （改编） 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 押题解读 本考点为必考考点，解不等式组是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题难度不大，易得分。 1．解不等式组 2.解不等式组：，并写出满足条件的正整数x的所有值． 3．解不等式组，并求出整数解的和． 押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 限时：5min （改编） 据统计，2025年春节期间，长沙市累计接待国内游客万人次．这里有种类繁多的特色小吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐4份，糖油粑粑2份需要48元；购买臭豆腐2份，糖油粑粑4份需要54元． (1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价． (2)据调查，某商家制作1份糖油粑粑需要成本4元，1份臭豆腐需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖臭豆腐和糖油粑粑共1000份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？ 押题解读 本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的关系。 1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？ 2．【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)求A，B两种书架的单价； (2)设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 3．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 押题猜想五 规律探究 限时：4min （改编）2025年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 押题解读 本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“”的个数是（   ） A．6072 B．6074 C．6076 D．6068 2．观察下列算式：，，，，，…，根据你观察发现的规律，的个位上的数字应是 ． 3、数是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差的倒数，……，以此类推，则 ． 4．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…… 根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1的结果是 ． 5、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ．    押题猜想六 统计与概率 限时：3min （改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______； (2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______； (3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______； (4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议． 押题解读 本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。这些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都10-14分。 1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由7名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他5名评委的平均分记为选手的最后得分，那么表中的数据一定不发生变化的是（   ） 众数 中位数 平均数 方差 8.6 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述创新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至3月17日，《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破150亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机上提供了4种电影厅：A．杜比影院，B．激光厅，C．厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述4种电影厅中随机选择1种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（  ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（   ） （）了解某市岁以上老年人的健康状况适合普查； （）为了了解我市今年名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计．其中名考生的数学成绩是总体的一个样本； （）袋子中装有个黑球、个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大； （）甲乙两人跳绳各次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定． A．个 B．个 C．个 D．个 4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知． 【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89 【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题； (1)任务1：求所抽取的学生成绩为等级的人数，并补全条形统计图； (2)任务2：求所抽取的学生成绩的中位数； (3)任务3：请计算扇形统计图中“组”所在扇形的圆心角的度数； (4)任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数． 5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． (3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 押题猜想七 锐角三角函数的应用 限时：5min （改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点处，张宏在点处将绳子拉直，测得点到所在直线的距离为，在处测得定滑轮点的仰角为，张宏后退到点处，测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到点处，点在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：） 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。现在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正方形）来解题。 1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． (1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值； (2)求风叶的长度． 2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．      (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 3、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据） 4、某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 5、某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 限时：4min （改编）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①6a=b②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 押题解读 本考点为必考考点，二次函数的图象与系数的关系是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1、已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 3．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 限时：5min （改编） 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与线段、面积的问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，难度较大，易失分往往是解答题中的压轴题。 1．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； (3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 限时：5min （改编） 定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 押题解读 本考点为必考考点，二次函数与多边形、角度存在性的问题是湖南中考比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，相关联的知识较多，并且难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2、抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 3、已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标． 押题猜想十一 几何中的多结论判定 限时：4min （改编）如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 押题解读 本考点为必考考点，几何中的多结论判定是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且考试的知识点较多，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。 1．如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 2．如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 押题猜想十二 几何中的最值问题 限时：5min （改编）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小慧在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动，若将看作静止线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 押题解读 本考点为必考考点，几何中的最值问题是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。并且与其它知识结合在一起，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题、解答题中的常考题。 1．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 2．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 限时：4min （改编） 1．如图，在中，，是的高线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 押题解读 本考点为必考考点，几何图形的证明与计算问题是湖南比较重要的必考内容，常以解答题的形式出现。这类题都是基础题，难度不大，易得分，每年都有14-16分。 1．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 2．如图，在菱形中，点、分别为、边上的点． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明． 3．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 4、如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 5．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 押题猜想十四 圆的综合问题 限时：5min （改编） 如图，是的直径，平分交于点，点在的延长线上，满足. (1)求证：与相切； (2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（    ）；②（    ）； (3)设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大. 押题解读 本考点为必考考点，圆的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，知识跨度较大，所以难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。 1．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 2、定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 3、如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 4、如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接． (1)设，用含的式子表示的度数； (2)求证：； (3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值． 押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 限时：5min （改编） 【问题背景】 （1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：． 【问题拓展】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：． 【拓展探究】 （3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：． 押题解读 本考点为必考考点，特殊四边形的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题是压轴题，综合性强，相关的知识点较多，并且难度较大，易失分。 1、如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． (1)求的度数； (2)填空： ①______________，②______________，③______________； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 2、综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 3、（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 4、【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$