精品解析：四川省内江市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

内江一中高2026届高二下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 2. 安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为（ ） A. 432 B. 144 C. 216 D. 1296 【答案】C 【解析】 【分析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组后全排列，然后3个女生分成三组，全排列即可. 【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，女生的安排方法共有，故不同的安排共有种. 故选：C 3. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】首先代入等差数列的基本量，由等比数列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，，， 由题意可知，，即， 解得：或（舍）， 则数列的前5项和. 故选：A 4. 如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 A. 72 B. 96 C. 108 D. 120 【答案】B 【解析】 【详解】若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3＝72种涂色法；若1,3同色，有＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法． 5. 等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案. 【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以. 故选：D. 6. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果. 【详解】构造函数， 因为对一切恒成立， 所以函数在上是减函数，从而有， 即. 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型. 7. 已知数列 的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得. 【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴． 故选:D． 8. 设函数是定义在R上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导后求得函数的单调区间，然后利用函数的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】令，则， 当时，所以函数在上单调递增．且． 因为函数是定义在R上的偶函数，所以在R上为奇函数，故可得函数在也是增函数，且． 由数形结合分析可知的解集为． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值处理问题，令，整理可判断ABC的正误；利用求导可得，再令，代入运算判断D正误． 【详解】令，则，所以A正确； 令，则， 又， 所以，，所以B正确，C错误；， 令，则，故D正确； 故选：ABD． 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 时，n的最大值是18 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 解得，因为，所以. A：由，可得 所以等差数列为递增数列，故A错误； B：，故B正确； C：， 由可得，所以，又， 所以n的最大值是18，故C正确； D：，， 由，得，故D错误. 故选：BC. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数， 所以在内，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增， 所以是的极小值点，故A错误； 对于选项B，由，得， 由于分子判别式小于零，所以恒成立， 所以函数在，上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对于选项C，若，可得， 令，则， 令，则， 所以在内，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 所以，所以， 所以函数在上单调递减． 又因为当时，， 所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确； 对于选项D，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得，所以，故单调递增， 可得，故成立，故D正确． 故选：BD. 【点睛】方法点睛： （1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析； （2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围； （3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知 ，即 解得， 所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算． 13. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种． 【答案】1440 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解. 【详解】先从剩余5种乐器中任选3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的4个空中， ∴共有种． 故答案为：1440 14. 函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案. 【详解】由题意，，设，则问题可转化为. 因为是上的增函数（增+增），所以恒成立. 设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是. 故答案为：. 【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式（）. （1）若，求展开式中的第项； （2）若展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求展开式中的有理项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再分析求解即可；（2）根据题意得，所以，再分析当时为有理项，求解即可. 【小问1详解】 因为所以， 所以展开式中的第项为： 【小问2详解】 由， ， 展开式中的有理项即为，又，且，所以当时为有理项， 即. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）由题意，得.又， ∴，∴， ∵，∴或， ∵，∴. ∴. （2）由（Ⅰ），知.∴. ∴. ∴. ∴ . ∴. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 18. 设函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极大值和极小值； （3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）极大值为，极小值；（3）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可. （2）当时，求导函数，确定单调性，从而得到函数的极值. （3）分类讨论，利用在上是增函数，即x＜﹣3时，恒成立，即可确定实数a的取值范围． 【详解】（1）当时， ∴ 即为所求切线方程. （2）当时， 令得或， 令可得x＜﹣2或x＞3；令可得﹣2＜x＜3， ∴f（x）在递增，在（﹣2，3）递减，在（3，+）递增， ∴的极大值为，f（x）的极小值为 （3） ①若a＝0，则，函数的对称轴为，开口向下， 函数在上单调递增，所以在区间上单调递增,符合题意． ②若a≠0，令，得， a＞0时，令可得x＜﹣2或x＞,即函数f（x）在上是增函数， 所以在上单调递增,符合题意． a＜0时，导函数二次函数的开口向下，所以在x＜﹣3时，不恒成立， 故不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点（）， （ⅰ）求证；（为自然对数的底数）； （ⅱ）若满足，求a的最大值. 【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无递减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）（i）令，得， 设，求导，令，解得，则 x + 0 - 极大值 当时，取得极大值，且 且当时，，当时，，如图， 数形结合可知，即. （ii） 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可； （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可证得结论； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【小问1详解】 （1）求导，， 当时，恒成立，的单调递增区间是，无递减区间. 当时，由，得，由，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为，即，且， 不妨设，将代入中， 得，即. 设，则，令， 则，∴在上单调递减， 即，从而有，得在上单调递减， 由已知条件得，即，∴在上单调递减，即， 得，，即. 又因为，设， 由（ⅰ）知，在上单调递增，而， 所以在上也单调递增，得，得，即. 综上，a的最大值是. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法： （1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2026届高二下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为（ ） A. 432 B. 144 C. 216 D. 1296 3. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 4. 如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 A. 72 B. 96 C. 108 D. 120 5. 等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列 的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在R上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 时，n的最大值是18 D. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 13. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，则不同的排课方式有__________种． 14. 函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式（）. （1）若，求展开式中的第项； （2）若展开式中第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，求展开式中的有理项. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 18. 设函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极大值和极小值； （3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点（）， （ⅰ）求证；（为自然对数的底数）； （ⅱ）若满足，求a的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $