精品解析：甘肃省甘南藏族自治州夏河县藏族中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

夏河藏中2023-2024学年度第二学期期末考试 高一 数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为， 则 故选：C 2. 复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解. 【详解】解：化简可得：复数， 因为其对应的点在第三象限内，所以，解得． 故选：C. 3. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解； 【详解】由，可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：B 4. 已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，若正三棱柱的侧面积为，底面积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，根据题意里程方程组求得，设的外接圆半径为，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径为，进而求得球的表面积. 【详解】由正三棱柱是直三棱柱，设其高为，， 因为正三棱柱的侧面积为，底面积为， 可得，且，解得， 设的外接圆半径为，则，解得， 设球的半径为，则， 所以球的表面积为． 故选：A. 5. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化，利用三点共线来求得的最小值. 【详解】设是的中点， ，所以， 所以. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，所以， 由于，所以平面，所以， 则，所以. ， ， 所以， 当三点共线，也即是的中点，是与的交点时， 取得最小值为，所以的最小值为. 故选：C 6. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 7. 已知圆台的轴截面为梯形，若圆台的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设设上底面半径，由圆台表面积公式求出，进而得到圆台的高，利用面积公式即可求. 【详解】如图：设上底面半径，由题意，下底面半径，母线， 则圆台的表面积为， 解得或（舍去）， 过作，垂足为， ，， 该圆台的体积为. 故选：A 8. 已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出是以为直角的等腰直角三角形，结合投影向量的定义可得出结果. 【详解】因为，所以，，即， 即为的中点，所以是圆的直径. 又因为，所以是以为直角的等腰直角三角形. 所以，，所以在上的投影向量为. 故选：B. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 复数的共轭复数是z B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 在复平面中，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】依据共轭复数定义判断选项A；举反例否定选项B；求得的关系判断选项C；依据复平面定义判断选项D. 【详解】选项A：复数的共轭复数是z.判断正确； 选项B：令，则有，但.判断错误； 选项C：设复数， 则由，可得，则有.判断正确； 选项D：在复平面中，虚轴上的点（除原点外）对应的复数都是纯虚数.判断错误. 故选：AC 10. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若向量互为相反向量， 则 B. 若，则 C. 若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D. 若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 11. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，可证得四边形为平行四边形，即可判断A；因为，所以或其补角为直线与直线BF所成的角，求解可判断B；取的中点，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可判断C；由平面，得BE与平面ABCD所成的角为∠EBC，且，又平面平面，即可判断D． 【详解】设， 对A选项，如图，取的中点，连接， 又E、F分别为和的中点，∴GE∥DC∥AB，且GE＝DC＝AB， ∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG∥BE，AG＝BE， ∵AF∥，AF＝，∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，F，B，E四点共面，故A正确； 对B选项，∵四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角为直线与直线BF所成的角， ∵，∴， ∴直线与直线BF所成的角为，故B错误； 对C选项，取的中点，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形，四点共面， ∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面， ∴平面，∴直线与平面所成的角为，故C正确； 对D选项，∵平面，∴BE与平面ABCD所成的角为∠EBC， 由题意易知，又平面平面， ∴直线BE与平面所成的角为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知，，则在的投影是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用在的投影的定义求解即可 【详解】解：因为，， 所以在的投影为， 故答案为： 【点睛】此题考查平面向量的几何意义的应用，属于基础题 13. 将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先分析可得表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分），即可得到旋转后的几何体，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】由，则，所以， 所以表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分）， 将函数的图象绕着轴旋转一周得到一个半径的半球面， 则该几何体的容积. 故答案为： 14. 空间四面体中，，，，直线和所成的角为，则该四面体的外接球的表面积为 __. 【答案】##11.5π 【解析】 【分析】将该四面体的六条棱看成某长方体的六个面的对角线，然后该长方体的外接球即为该四面体的外接球，最后求出外接球的表面积 【详解】如图所示， 因为，，，先将四面体的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，下面验证直线和所成的角为， 易知，，且，互相平分于点，所以， 设长方体的三边长为，，，则，解得， 故是等边三角形，则，即直线和所成的角为，即成立， 故四面体的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径，故外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 甲、乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示. （1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数； （2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率. 【答案】（1）甲组成绩的中位数为，乙组成绩的众数；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图中的数据可甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数. （2）利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】（1）甲组共有7名学生的成绩，其中位数为. 乙组成绩中，出现次数最多，故众数为. （2）90分以上的学生共计5人，其中来自甲组有2人， 设为“随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组”， 则. 16. 已知平面向量． （1）若，求满足的和的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量相等列出关于和的方程组，解之即可求得和的值； （2）利用向量垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值． 【小问1详解】 当时， ∴ ∴，解之得 【小问2详解】 由，可得， 又，则 解得：或 17. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） 证明：， 又，所以，故三点共线. 【解析】 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【小问1详解】 由题图，， . 【小问2详解】 略 18. 甲、乙两人在一起做猜拳（剪刀、石头、布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分，出现得3分者游戏结束. （1）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率； （2）求甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“第次划拳甲赢”为；事件“第次划拳甲乙平局”为；事件“第次划拳甲输”为，分析事件乙得分的意义，利用独立事件概率乘法公式求概率，（2）分析事件甲至多在进行五次猜拳后获胜的意义，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率. 【小问1详解】 设事件“第次划拳甲赢”为；事件“第次划拳甲乙平局”为；事件“第次划拳甲输”为，则. 因为游戏结束时甲得3分，乙得−3分，所以这包含两种可能的情况： 第一种：前4次猜拳甲赢2次，平局2次，第5次猜拳甲获胜， 其概率为：； 第二种：前3次猜拳甲赢2次，输1次，第4，5次猜拳甲连胜， 其概率为：. 所以游戏结束时乙得−3分的概率为. 【小问2详解】 依题可知包含三种情况： 第一种：进行3次猜拳后游戏结束，只可能为甲连胜3次， 其概率为； 第二种：进行4次猜拳后游戏结束，只可能为甲在前3次中胜2次，平1次，第4次甲胜， 其概率为：； 第三种：进行5次猜拳后游戏结束，由（1）知， 其概率为：， 综上：甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率为. 19. 已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．请从下面三个条件中任选一个作为已知条件并解答：①，②，③． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选的条件，利用正余弦定理或两角和的正切公式化简，可求A的大小； （2）由正弦定理和三角形内角和，结合三角恒等变换得到周长，再由为锐角三角形求得的范围，从而利用正弦函数的性质即可得解． 【小问1详解】 选①，， 由正弦定理得， 中，，所以，得，即， ∵，则， ∴，∴. 选②，，由正弦定理得， ∴，∵， ∴. 选③，，有， ， ∴，∵，∴. 【小问2详解】 为锐角三角形，，， 由正弦定理得， ∴，，， 周长 ， ∵为锐角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏河藏中2023-2024学年度第二学期期末考试 高一 数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无解 3. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，若正三棱柱的侧面积为，底面积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的轴截面为梯形，若圆台的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 复数的共轭复数是z B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 在复平面中，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数 10. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若向量互为相反向量， 则 B. 若，则 C. 若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D. 若与是共线向量，则A，B，C三点共线 11. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 三、填空题 12. 已知，，则在的投影是_________． 13. 将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是_____________. 14. 空间四面体中，，，，直线和所成的角为，则该四面体的外接球的表面积为 __. 四、解答题 15. 甲、乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示. （1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数； （2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率. 16. 已知平面向量． （1）若，求满足的和的值； （2）若，求m的值． 17. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 18. 甲、乙两人在一起做猜拳（剪刀、石头、布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分，出现得3分者游戏结束. （1）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率； （2）求甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率. 19. 已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．请从下面三个条件中任选一个作为已知条件并解答：①，②，③． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $