精品解析：河北省承德第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷

河北省承德第一中学 2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 60 D. 80 2. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 5. 化简结果为（ ） A. B. C. D. 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）． A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 10. 设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的值不可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 14. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 17. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 18. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）求函数的极值. （3）若时，，求的取值范围. 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德第一中学 2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 60 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得； 【详解】的展开式的通项，令，解得， 所以，所以项的系数为. 故选：D. 2. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 3. 在数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求的值. 【详解】因为，，故，，， 故为周期数列且周期为3，而，故， 故选：C. 4. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解. 【详解】因为， 又函数在处的导数为，所以， 故选：A. 5. 化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围. 【详解】， ∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导得到导函数的零点和，就参数分类讨论，判断函数的单调性，即可分析判断，确定参数的范围. 【详解】由题意得，， 由可得，或， ① 若，即时，，显然不合题意； ② 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ③ 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减，故在处取得极大值，不符题意. 综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，得到，变形为，令，求导得到函数单调性，得到有两个不同的解，故，得到答案. 【详解】， 令，得， 设，则， 时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，当， 由题意，有两个不同的解， 即与的图像有两个不同的交点， ，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）． A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法， 共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排， 若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C正确； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BCD. 10. 设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的值不可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由，求得，又由，求得，求得，得到，进而求得，结合题意，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 整理得，即， 由，可得， 即，所以， 所以， 所以， 所以， 因为恒成立，所以， 故选：BC. 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】设， 由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数， 且时，， 故在单调递减， 由偶函数的对称性知，在单调递增， 故，即，故，B选项正确； 当时，，故，C选项正确； 当时，，故，D选项错误； 由B，D选项知，，故，A选项错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______. 【答案】 ①. 36 ②. 27 【解析】 【分析】由归纳推理及组合数的运算可得． 【详解】依题意 ，， 解得． 故答案为：；. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 【答案】72 【解析】 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 14. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，利用函数导数判断函数的单调性在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也是最大值，，又当时，恒成立，当时，恒成立，数形结合得出实数a的取值范围. 【详解】定义域为， 故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点， 其中， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极大值，也是最大值， ，且当时，恒成立， 当时，恒成立， 画出的图象如下： 显然要想，与两函数有两个交点， 需要满足. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在, 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间； （2）求出导函数，假设存在，则在上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当时，． 所以 令，则或，令，则， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）存在，满足题设， 因为函数 所以 要使函数在上单调递增， 即，， 令，， 则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点，且， ∴在上的最大值为． 所以存在，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用确定增区间，用确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多． 17. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ； 【小问3详解】 ∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 18. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）求函数的极值. （3）若时，，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，，则，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） ， 当时，在上单调递增，无极值， 当时，由，得，由0得 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得极小值，无极大值， 所以当时，函数无极值， 当时，函数有极小值，无极大值； （3） 【解析】 【分析】（1）由和解出，即可得到函数的单调区间； （2）判断的单调性，由极值的概念即可求出函数的极值.； （3）对分类讨论分析函数的单调性，得到的范围或最值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知当时，在上单调递增，所以当时，符合题意， 当时，在上单调递增，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 综上,的取值范围是. 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）证明：方法一： 等价于 当时， 令 令，则在区间上单调递增    ∵， ∴存在，使得，即 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增 ∴ ∴，故 方法二： 当时， 令，则， 令，则 当时，；当时， ∴在区间上单调递减，上单调递增． ∴，即 ∴， 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解； （2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间； （3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. 【小问1详解】 ，则， 由已知，解得 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 所以，， 则在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，得， ①时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②时，，则在上单调递增； ③时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 略. 【关键点点睛】 解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $