精品解析：2025年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷

数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上分别表示数，，2，的4个点，其中离原点最远的是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正五边形内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 7. 某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 10. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 11. 如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则________． 12. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻的取值范围为________． 13. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 15. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 16. 如图1，落地灯的支撑杆垂直放于地面，为可绕点上下旋转的支架，为长度不变的挂绳，为落地灯的灯罩，始终与地面平行．已知米，米，当时，与地面之间的距离为米．为了让光线更舒适，现调节，使得，如图2，求此时与地面的距离．（参考数据：，，，） 17. 如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径及的长． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． （1）求点的坐标及的值； （2）如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线表达式； （3）在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 20. 如图，正方形的对角线，相交于点，点为上一点，连接并延长交于点．若，，则正方形的周长为________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为________． 22. 如图，四边形对角线，交于点，，，若，，点恰好在的中垂线上，则的长为________． 23. 已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为________；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 四川是中国茶文化发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； （3）如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 26. 已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图3，保持图2中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看到的图形为：． 故选：D． 2. 在数轴上分别表示数，，2，的4个点，其中离原点最远的是（ ） A B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是数轴．先求出各数的绝对值，再比较出其大小即可． 【详解】解：，，，， ， 离原点最远的是． 故选：B． 3. 第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据15000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方、合并同类项、乘法公式，根据相关运算法则和公式分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意； 故选：D 5. 如图，正五边形内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，根据正五边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度． 【详解】解：连接， 正五边形内接于， ， 的长， 故选：A． 6. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为24，26，29，30，30，处在第三名的是29， ∴这组数据的中位数是29， 故选：C． 7. 某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，由“知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克”即可建立方程组． 【详解】解：设该文创店制作甲、乙两种产品数量分别为件、件，则可列方程组为： ， 故选：A． 8. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：B． 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式y，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 11. 如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 12. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴电流与电阻之间的函数关系是反比例函数， 设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 13. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线和线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由作图可得，垂直平分，得到，继而，求出，根据等腰三角形的判定得到，最后由即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 由作图可得：，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据事实的运算法则求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 15. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），； （2）名； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表、用样本估计总体、画树状图求概率． 根据喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的，人数是名，可以求出九年级班共有学生名；根据喜欢《美国队长》的有名，求出的值即可； 根据九年级班喜欢《哪吒》的人数占全班人数的，用样本估计总体求出该年级喜欢《哪吒》的人数； 画树状图可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种，利用概率公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知：喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的， 由条形统计图可知：喜欢《熊出没》的人数是名， 九年级班共有学生(名)， 由统计表可知：喜欢《美国队长》的有名， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由统计表可知：九年级班喜欢《唐探》的有名，喜欢《熊出没》的有名，喜欢《封神》的有名，喜欢《美国队长》的有名， 喜欢《哪吒》的人数是名， 喜欢《哪吒》的人数占全班人数的， 用样本估计总体， 可知该年级有学生名，估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数为名； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 从图中可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 16. 如图1，落地灯的支撑杆垂直放于地面，为可绕点上下旋转的支架，为长度不变的挂绳，为落地灯的灯罩，始终与地面平行．已知米，米，当时，与地面之间的距离为米．为了让光线更舒适，现调节，使得，如图2，求此时与地面的距离．（参考数据：，，，） 【答案】与地面之间的距离为米． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 在图1和图2中作于点B，延长交于点F，交于点E，在图1中根据的长和的正弦值求得的长，进而求得点C到地面的距离，减去到地面的距离即为的长度；在图2中根据的长和的正弦值求得的长，减去的长度即为的长度，加上的长度即为此时与地面的距离． 【详解】解：如图1∶作于点B，延长交于点F，交于点E，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∵米， ∴点C到地面的距离为米， ∵与地面之间的距离为米， ∴（米）， 如图2：作于点B，延长交于点F，交于点E，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴与地面之间的距离为（米）． 答：与地面之间的距离为米． 17. 如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径， 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质及判断，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，在解决切线问题时，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）先证明，即可证出，由，，可证，继而证得即可得证． （2）连接、，过点作于点，易证，利用直角三角形的边角关系，和三角形的面积公式，可求出，在中，利用勾股定理求出，继而在可用求出直径，即可求半径；在中，利用，可求出从而可知，通过的面积可求出，由勾股定理可求出，通过证，即可求出长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接、，如图 ∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∴， ∴．即的半径为． 过点作于点，如图 ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． （1）求点的坐标及的值； （2）如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为直线分别与轴，轴交于，两点，得出，结合，则，再求出，故，因为，所以，再代入反比例函数进行计算，即可作答． （2）结合平行线分线段成比例，得，再设点，因为，，即，j结合点在反比例函数上，得，故，得，运用待定系数法求出的解析，即可作答． （3）先运用等面积法求出，结合在中，故，因为，设点的坐标为，且，得，再运用证明，得出，同理得，，因为，故，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在轴的负半轴， ∴， 把代入， 得， ∵， ∴， 故， ∴ ∵， ∴，， 即，， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， 由（1）得反比例函数解析式为， ∵点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点， ∴设点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴， ∴ 设的解析式为． 把代入， ∴ 解得， ∴的解析式为． 【小问3详解】 解：由（2）得的解析式为． 把代入，得， 依题意， ∴ 整理得， 解得， ∵ ∴把代入， 得， ∴， 则，， 过点作，过点作直线轴，过点作直线轴，过点 作轴，且分别交直线于点，过点 作轴，且交直线于点， 如图所示： ∵ ∴ ； 则 则， 在中， ∴ ∵， ∴， 连接，， ∵点为反比例函数图象上，两点之间一点， ∴设点的坐标为，且， ∵点关于轴的对称点为， ∴， 即轴，且， 过点作且使，过点M作，再过分别作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即， ∵， ∴是共线的， 设的解析式分别为， 把分别代入， 得， ∴， 把，分别代入， 得， ∴， ∵是共线的， ∴， 即， 整理得 ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，勾股定理，反比例函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握并能灵活运用根与系数的关系建立关系式是解题的关键． 由，是一元二次方程的两个实数根，则、、代入，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、． ∴ ∴ ． 故答案为：28． 20. 如图，正方形的对角线，相交于点，点为上一点，连接并延长交于点．若，，则正方形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先利用正方形的性质证得，，再证明平分，然后利用角平分线的性质可得，再利用特殊三角形函数值求得，最后根据正方形的性质求出其周长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形，对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴正方形的周长为， 故选： 8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是掌握上述知识，并能熟练求解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．连接，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段，……，以此类推，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、图形规律、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，发现坐标点的变化规律成为解题的关键． 如图：过P作轴于A，过作轴于B，依次求得、、、、、，进而得到规律、、、、、，然后运用规律求解即可． 【详解】解：如图：过P作轴于A，过作轴于B， ∵点的坐标为， ∴，，即， ∵将绕点逆时针旋转并缩短为的得到线段， ∴，， ∴，，即， 同理：，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴． 故答案为：． 22. 如图，四边形对角线，交于点，，，若，，点恰好在的中垂线上，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键在于相似三角形的判定与性质的应用． 由线段垂直平分线可设设，由勾股定理得，建立方程求出，导角证明，求出，再由即可求解． 【详解】解：如图： ∵点恰好在的中垂线上， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（舍）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 23. 已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为________；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得，再根据对称性可得，进而得到直线上纵坐标为t的点的横坐标为；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴， ∴； ∴ ∵设点所在的定直线为， ∴直线解析式， ∵点A在二次函数图象上， ∴， ∵A，B两点纵坐标相同， ∴A，B两点关于对称轴对称， ∴则， ∵直线解析式， ∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为， ∵线段与定直线没有公共点， ∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：； 当点A在店B的左侧时，即，有，解得：． 综上，m的取值范围为或． 故答案为：，或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； 【小问2详解】 解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 25. 在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； （3）如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等知识点，难度很大，计算复杂． （1）由待定系数法即可求解； （2）联立，得到，由根与系数得关系得到，则，由，代入可得，再解方程即可； （3）可设直线：，联立得：，则，化简得到，那么可得，，则，由与的面积之比等于，得到，故，同理可求直线，则，而，则，化简得到，同理可得，化简得到，解得：，再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：， 解得：； ∴抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴， 联立， ∴， ∴， ∵点在点左侧， ∴， ∵， ∴， ， ， 整理得，， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意得，， 设直线， 代入得，， ∴， ∴直线， 即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线，即， 当， ∴， 当，则， 解得：， ∴， ∴， ∵与的面积之比等于， ∴， ∴， ∵， 同理可求直线， ∵， ∴， ∴同理可求直线， 当，则， 解得：， ∴， 对于直线，同理可求， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 26. 已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图3，保持图2中菱形形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由菱形的性质可得，再根据等边对等角可得；然后根据等角的余角相等即可证明结论； （2）设，根据菱形的性质可得，，则；在中运用勾股定理可得，即；设，则，再证明可得，进而得到，然后代入计算即可； （3）由（2）可得、，结合菱形的性质以及运用勾股定理可得；如图：过M作于G，过P作于H，设，根据正切的定义可得、；再证明可得，证明可得；由可得，即，然后解方程组求得m的值即可． 【小问1详解】 解：∵菱形的对角线，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∵菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可得：，， ∵菱形，， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 如图：过M作于G，过P作于H，设， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， 同理：； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴，即， ∴ 即，， 解可得：， 将代入 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）， ∴，即点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$