精品解析：福建省福州教育学院附属中学2024-2025学年七年级下学期半期考数学试卷

2024-2025学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是无理数，故C正确； D、是有理数，故D错误； 故选C． 【点睛】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握其定义. 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，明白“四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0”是解题的关键． 【详解】解：第二象限点的坐标特点为， 在第二象限的点是， 故选：A． 3. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的平方根是. 4. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中与不是对顶角，不符合题意； B、选项中与不是对顶角，不符合题意； C、选项中与是对顶角，符合题意； D、选项中与不是对顶角，不符合题意． 故选：C． 5. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴． 故选：D． 6. 若在轴上，则到轴的距离是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离．根据轴上的点的横坐标为得出，进而得出纵坐标即可求解． 【详解】解：∵在轴上， ∴，即， ∴， ∴， 则到轴的距离是， 故选：C． 7. 九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、全价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为人，金价为钱，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，金价为钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为人，金价为钱， ∵每人出钱400，会多出3400钱， ∴； ∵每人出钱300，会多出100钱， ∴， 联立两方程组成方程组得， 故选：D． 8. 若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，据此进行求解即可． 【详解】解：∵将向右移动3个单位，再向下移动1个单位， ∴M点的坐标为， ∵直线轴，且线段，点N在点M的左侧， ∴点N的坐标为， 故选：A． 9. 有下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②若点满足，则点在坐标原点上；③；④若，则；⑤实数与数轴上的点一一对应，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据垂线的性质、坐标轴上点的坐标特征、算术平方根、有理数的乘方和实数与数轴的关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题错误，不合题意； ②若点满足，则点在坐标轴上，原命题错误，不合题意； ③，原命题错误，不合题意； ④若，则，原命题错误，不合题意； ⑤实数与数轴上的点一一对应，命题正确，符合题意． ∴正确的有1个． 故选：A． 10. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则，，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F，根据平行线的性质可得∠EFC＝∠EOM＝90°，再根据三角形的外角性质可得∠BAO＝∠B＋∠BEA，∠BCD＝∠FEC＋∠EFC，由此等量代换即可求得答案． 【详解】解：如图，延长OA交BC于点E，延长DC交OE于点F， ∵， ∴∠EOM＝90°， ∵， ∴∠EFC＝∠EOM＝90°， ∵∠BAO＝∠B＋∠BEA， ∴∠BEA＝∠BAO－∠B， ∴∠FEC＝180°－∠BEA＝180°－(∠BAO－∠B)， 又∵∠BCD＝∠FEC＋∠EFC， ∴∠BCD＝180°－(∠BAO－∠B)＋90°， ∴∠BCD＋∠BAO－∠B＝180°＋90°＝270°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及三角形的外角性质，熟练掌握相关图形的性质并作出正确的辅助线是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 最接近的整数是______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴与最接近的整数是7． 故答案是：7． 12. 把方程改写成用含y的代数式表示x，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个字母看做已知数，另一个字母看做未知数． 将y看作已知的数值即可求解． 【详解】解：把方程改写成用含y的代数式表示x， 则． 故答案为：． 13. 如图，已知棋子“车”的坐标为（-2，-1），棋子“马”的坐标为（1，-1），则棋子“炮”的坐标为_________． 【答案】（3，﹣2） 【解析】 【详解】如图，棋子“炮”的坐标为（3，-2）． 故答案为：（3，﹣2）． 14. 若，，，，请根据以上规律得到的结果______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（，b），如f（1，2）=（，2）；g（a，b）=（b，），如g（1，2）=（2，1），据此得=________． 【答案】（，） 【解析】 【分析】根据两种变换的规则，先计算f（5，9）=（5，9），再计算g（5，9）即可． 【详解】g（f（5，9））=g（5，9）=（9，5）． 故答案为（，） 【点睛】本题考查了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系内，有一个动点，若点到轴的距离为，到轴距离为，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值和的最小值．根据题意得到，，得到，从而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴①当时，； ②当时，， ③当时，； 综上，， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根、去绝对值、立方根、乘方，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，立方根的性质，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 19. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根 【答案】（1）； （2）的平方根是． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根的含义． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 20. 如图，点，在直线外，于点，于点，连接和，是由沿方向平移至点得到（点的对应点是点）． （1）依据题意，补充完整图形．（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） （2）证明：． 【答案】（1） 补充完整图形，如图所示． （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质知， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质． （1）根据题意作出图形即可； （2）因为，，可得，因为同位角相等两直线平行，所以，因为两直线平行同旁内角互补，所以，再由平移的性质知，得，据此即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需190元，种头盔4个和种头盔3个共需195元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ 【答案】（1）A种头盔的单价是30元，B种头盔的单价是25元； （2）该商店共有2种购买方案：①购进A种头盔10个，B种头盔6个；②购进A种头盔5个，B种头盔12个． 【解析】 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需190元，A种头盔4个和B种头盔3个共需195元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（，两种头盔均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是30元，B种头盔的单价是25元； 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔10个，B种头盔6个；②购进A种头盔5个，B种头盔12个． 22. 如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【答案】（1）①，③或③，① （2） 选择的条件是①，结论是③，证明如下： ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①，证明如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 解：选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①； 【小问2详解】 略 23. 【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 【答案】（1）； （2）如图，点即为所作； （3）证明：假设为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是10的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解； （2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为； （3）依照例题求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1， ∴大正方形的面积之和为：2， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）略 （3）略 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，其中、满足． （1）填空：______，______； （2）如果在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积； （3）在（2）的条件下，当时，此时线段与轴交于点，动点在轴上运动，当的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据双重非负性可知，，，求解即可； （2）过点M作轴于点N，得到，根据三角形面积公式求解即可； （3）求出，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式为，求出，设，表示出，然后根据的面积与的面积相等得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴且， 解得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 过点M作轴于点N， ∵，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； 【小问3详解】 当时，， ∴， ∵ ∴设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当时， ∴ 设 ∴ ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴或， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形性质，一次函数与三角形面积综合等知识点，根据题意建立方程是解题的关键． 25. 在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点，过点作直线与平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点，画直线，这样做的依据是：__________________ 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平，则的度数为______； （3）第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线，使得．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 【答案】方法一：内错角相等，两直线平行； 方法二：第一步：； 第二步：证明： 如图4，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴， ∴； 思维拓展：方法1：如图，过点折叠纸片，使得点的对应点落在线段上，记折痕为直线m，将纸片展开铺平，再将直线m对折，使得线段经过点P，折痕为直线n，直线a即为所求． 方法2：如图， 过点和点的直线折叠纸片，使得与重合，将纸片展开铺平，再将线段对折，使得点和点重合，记折痕与的交点为，再将纸片展开铺平，则得到直线． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，折纸问题，解题的关键是掌握平行线的判定方法，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据内错角相等两直线平行，可判断； （2）根据折叠的性质可知，可求得，进而求得，根据角之间的等量关系，可判断； （3）方法1：如图，过点折叠纸片，使得点的对应点落在线段上，记折痕为直线m，将纸片展开铺平，再将直线m对折，使得线段经过点P，折痕为直线n，直线a即为所求；方法2：过点和点的直线折叠纸片，使得与重合，将纸片展开铺平，再将线段对折，使得点和点重合，记折痕与的交点为，再将纸片展开铺平，则得到直线． 【详解】解：方法一，利用三角板： 如图，， ∴，即内错角相等，两直线平行； 方法二：折纸法 如图3，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴． 故答案为：； 思维拓展：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 3. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若在轴上，则到轴的距离是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 7. 九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、全价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为人，金价为钱，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 有下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②若点满足，则点在坐标原点上；③；④若，则；⑤实数与数轴上的点一一对应，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则，，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 最接近的整数是______ 12. 把方程改写成用含y的代数式表示x，则______． 13. 如图，已知棋子“车”的坐标为（-2，-1），棋子“马”的坐标为（1，-1），则棋子“炮”的坐标为_________． 14. 若，，，，请根据以上规律得到的结果______． 15. 对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（，b），如f（1，2）=（，2）；g（a，b）=（b，），如g（1，2）=（2，1），据此得=________． 16. 在平面直角坐标系内，有一个动点，若点到轴的距离为，到轴距离为，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算题： （1） （2） 18. 解方程（组） （1） （2） 19. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根 20. 如图，点，在直线外，于点，于点，连接和，是由沿方向平移至点得到（点的对应点是点）． （1）依据题意，补充完整图形．（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） （2）证明：． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需190元，种头盔4个和种头盔3个共需195元． （1）求，两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ 22. 如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 23. 【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，其中、满足． （1）填空：______，______； （2）如果在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积； （3）在（2）的条件下，当时，此时线段与轴交于点，动点在轴上运动，当的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 25. 在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点，过点作直线与平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点，画直线，这样做的依据是：__________________ 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平，则的度数为______； （3）第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线，使得．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $