2025届陕西省高考模拟数学试题

大荔县2025年高考模拟试题命制比赛作品 2025届陕西省高考模拟数学试题 命题人：吴鹏 单位：大荔县城郊中学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,,则( ) A． B． C． D． 2．已知复数满足,则( ) 3．已知向量,,若,则( ) 4．已知对称轴在坐标轴上的双曲线的渐近线为,则双曲线的离心率为( ) A．或 B．或 C． D． 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( ) A． B． C． D． 6．已知,则( ) A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于直线对称,则当时,曲线与的交点个数为( ) A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数在区间上单调递增,且满足,,则( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某高中为了解该校学生的体质情况,对全校同学进行了身体素质测试,现随机抽取所有测试同学中的名,经统计这一部分同学的体测分数均介于至之间;为进一步分析该校学生体质情况,现将数据整理得到如下所示频率分布直方图,则下列结论正确的是( ) A． B．样本中得分不低于分的同学有名 C．估计样本的分位数为分 D．该组数据的平均数大于众数 10．已知正数,满足,则下列说法正确的是( ) A． B． C． D． 11．如图,直三棱柱中,,,.点在线段上(不含端点),则( ) A．若,则 B．点到面的距离为 C．的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知,,则__________. 13．已知圆,过点作圆的切线,切点为、,则直线方程为__________. 14．一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动,每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动-步.设移动步后回到点的概率为,到达点的概率为,则__________. 四、解答题：本题共:5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中,角,,所对的边分别为,,,已知. (1)求; (2)已知是边上的点,,,求的最小值. 16．（15分）如图,,平面,,且,,是线段上一动点. (1)证明,,,四点不共面; (2)当二面角与二面角大小相等时,求的长度. 17．（15分）已知椭圆,点,分别是椭圆短轴的端点,椭圆的焦点也是抛物线的焦点,且. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点且斜率不为的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值. 18．（17分）现有个分别标有甲、乙、丙、丁的盒子和个相同的小球,将这个球全部随机放入四个盒子中,且每个盒子容纳球数不限. (1)记盒子甲中的小球个数为随机变量,求的分布列和数学期望; (2)对于两个不互相独立的事件,,若,,称为事件,的相关系数. ①若,求证:; ②若事件:盒子乙不空,事件:至少有两个盒子不空,求. 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围; (3)证明:. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届陕西省高考模拟数学试题答案和解析 一、选择题（（每小题5分,共40分）） 1．【答案】B 【解析】由题意,∴.故选B. 2．【答案】C 【解析】由,, 则.故选C. 3．【答案】D 【解析】因为,所以, , , 根据题意,,所以:,因此,正确答案是D. 4．【答案】B 【解析】因双曲线的渐近线为, 当双曲线焦点在轴上时,设双曲线的方程:(,), 其渐近线为:,于是得,离心率, 当双曲线焦点在轴上时,设双曲线的方程:(,), 其渐近线为:,于是得,离心率, 所以双曲线的离心率为或.故选B. 5.【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为,则圆锥的母线长为, 而它们的侧面积相等,所以即, 故,故圆锥的体积为. 故选:B. 6．【答案】A 【解析】令,则, ,故选A. 7．【答案】B 【解析】,其中,且, 则有,解得,即,则,即,画出与图象如图所示: 由图可知,曲线与的交点个数为. 故选:B. 8．【答案】D 【解析】对于函数有,,则函数关于直线对称, 由,则函数关于点对称, 所以,所以得, 则,故函数的周期为,且,故函数为偶函数,因为函数在区间上单调递增,则函数的大致图象如下图: 由对称性可得, 所以 ,故A错误; 由于,,所以,故B错误; 又,,所以,故C错误; ,且, 因为,所以,故, 所以,故D正确.故选:D. 二、多选题（（每小题6分,共18分）） 9．【答案】A,B,C 【解析】对于A:由,可得:,正确;对于B:样本中得分不低于分的频率,故样本中得分不低于分的同学有,正确;对于C:第一个矩形面积为,第二个矩形面积为,第三个矩形面积为,,,所以样本的分位数为,正确;对于D:平均数为:,众数为:,故D错误;故选:ABC. 10．【答案】A,C,D 【解析】对于A,分离变量可得,解得,且,故A正确; 对于B,分离变量可得,解得,且,故B错误; 对于C,由基本不等式可得, 所以则,当且仅当即时取等号,故C正确; 对于D,由, 得,得或(舍去), 当且仅当,即,时取等号,故D正确;故选ACD. 11．【答案】A,C,D 【解析】由题意,在直三棱柱中,,,∴四边形为正方形,∴,在中,,,, ∴,又,且,∴面, 面,∴,即,而,∴面, ∴,∴当点为和的交点时,,故A正确. 连接, 设点到面的距离为, 在三棱锥中,, 即,解得:,故B错误. 将和沿展开,连接交于点,当点与点重合时的值最小,如下图所示: ,, ,, , 在中,由余弦定理得,,故C正确. 过点作直线,交于点,如下图所示, ∴点到面的距离为点到面的距离,设为,点到面的距离为点到面的距离,设为,在中,由几何知识得,,,,∴ ∴三棱锥与三棱锥的体积之和为,故D正确.故选ACD. 三、填空题（（每小题5分,共15分）） 12．.【答案】 【解析】因为, 所以, 即,即. 13．【答案】 【解析】由已知圆的圆心为,则以为直径的圆的方程为,即,弦为两圆的公共弦, 所以,直线的方程为. 14．【答案】 【解析】 表示移动步后回到点的概率,其包含两种情况: 顺时针逆时针各移动步或逆时针顺时针各移动步,则, 而表示移动步后到达点的概率,包含一种情况:逆时针移动步,则, 设移动步后回到点的概率为, 又, , 则,而, 因此是首项为,公比为的等比数列,所以. 故答案为:. 四、解答题（（,共77分）） 15．【答案】见解析 【解析】(1)因为,所以,即,.......................(3分）可得,因为,所以...........................................(6分） (2)设,则, 由可得,，...............(8分） 可得,所以, 当且仅当,时等号成立,所以的最小值为............................(13分） 16．【答案】见解析 【解析】(1)证明:假设点在平面上,平面,......................(2分） 由点平面,平面平面，..............................................(5分） 由线面平行的性质定理得,与两直线相交于点矛盾,所以得证........................(7分） (2)如图,建立以点为原点,线段,所在直线为轴,轴,以及过点且垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系, 则,,,,,.............................(9分） 设点,,二面角即二面角,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,则,则,平面的一个法向量易取,观察得知二面角的平面角为钝角,设为,则,.............................(11分） ,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,则, 则,设平面的一个法向量为,则, 即,令,则,则,观察得知二面角的平面角始终为钝角,设为,则,解得,................（13分）此时,故的长度为............（15分） 17．【答案】见解析 【解析】(1)∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点,∴, 又,∴是等腰直角三角形 ∴,∴,所以椭圆的方程为:.....................（4分） (2)设直线为,,, 由,消去整理得,...............................（6分） 由,则,所以,, 所以,...............................................................................................（11分） 令,,则,所以, 当且仅当,即时等号成立,所以面积的最大值为...................（15分） 18．【答案】见解析 【解析】(1)由题意,的值可以为:,,,,, 且;;; ;........................................................................（5分） 所以的分布列为: 所以..............................................（7分） (2)①因为,且,所以,即,而,所以成立....................................................（11分） ②事件:盒子乙不空,则事件:盒子乙空,由第1问可知,所以,事件:至少有两个盒子不空,则事件:有一个盒子不空, ,所以............................................（13分） 事件:至少有两个盒子不空且盒子乙不空,分为三种情况,一种是四个盒子都不空,按照每盒一个安排;一种是三个盒子不空且乙不空,此时甲或者丙或者丁是空的,另一种是二个盒子不空且乙不空, 故,.................................................................................（15分） 所以, 化简得...................................................................................................（17分） 19．【答案】见解析 【解析】(1)由题意得,其定义域是, 则, 令,则,时,,递增,时,,递减,所以,即,所以在和上都是减函数. ..............................................................................................................（4分） (2)对任意,恒成立, 设,则, 当时,,,是增函数,所以,当时,在时,递减,,与已知矛盾, ...............................................(8分） 当时,,,单调递减,则,与已知矛盾, 综上所述,的取值范围是; ..................................................................（10分） (3)由(2)知时,,令, 则,, ......................（13分） 让从取到,所得个不等式相加得:,所以,.................................（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$