精品解析：吉林省四平市梨树县2024～2025学年下学期初中学业水平考试第二次模拟试题 九年级数学

初中学业水平考试数学模拟试题（二） 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，收入的记作正数，则支出的就应记作负数，所以去出元就应记作元． 【详解】解：“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作“元”． 故选：B ． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 移动左图中的一个小正方体得到如图所示的几何体．移动前后几何体的三种视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是图形的三视图． 根据图形，得出图形的三视图，进而进行判断． 【详解】解：移动前的俯视图为：，主视图为：，左视图为，移动后的俯视图为：，主视图为，左视图为，所以移动前后几何体的三种视图不变的是俯视图 故选：C 4. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是(　　) A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0， 解得a＞﹣1且a≠0， 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键． 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 6. 如图，在中，，，以为圆心，为半径的交于点C，点D在上，连接，，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆与三角函数的综合应用．结合已知条件，利用圆周角定理，得，然后利用三角函数即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若整数满足条件，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，而整数满足条件， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质，根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 9. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，边于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，根据题意得平分，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得：平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 10. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型的侧面积为． 故答案为：． 11. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】括号内先通分计算，再将除法转化为乘法计算，最后代入的值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式． 13. 如图，点在线段上，且，，，连接、，求证． 【答案】证明：∵AC=BD， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、利用平行线的性质证明，由两直线平行，内错角相等得出，再证明即可得证． 【详解】略 14. 甲从南向北走，乙从西向东走，甲从南距交叉点米的地方开始行走，乙从交叉点开始行走，分钟后甲、乙距交叉点的距离一样，分钟后又一样，问甲、乙的速度分别为多少？ 【答案】甲的速度为45米/分，乙的速度为35米/分 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解决实际问题的关键是找相等关系，本题中含有个相等关系，第一个相等关系是：分钟后甲未到达交叉口，甲到交叉口的距离与乙到交叉口的距离相等；第二个相等关系是甲超过交叉口，甲到交叉口的距离与乙到交叉口的距离相等． 【详解】解：设甲的速度为米/分，乙的速度为米/分． 由题意，得， 解得， 答：甲的速度为米/分，乙的速度为米/分． 15. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 16. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 【答案】（1）9，8，83 （2）乙 （3）综合成绩最高的是乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：9，8，83； 【小问2详解】 解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 17. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，作于点，进而求出的长，再求出的长，即可得出答案．熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：此时灯罩顶端到桌面的高度是． 18. 实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【解析】 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 19. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】（1） 关于的函数图象如图所示： 一次 （2）； （3）这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 20. 综合与实践 【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，欢欢发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，附思考并证明． 【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当时，且点为的中点，直接写出四边形的形状． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）正方形 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，进而可得，利用“”证明，即可证明； （2）首先证明，易得，再利用“”证明，易得，进而证明，可得，即可证明四边形为平行四边形； （3）首先证明，结合可证明，，进而可得，易知为的中位线，可得；结合，可得；再证明，结合四边形为平行四边形，即可证明四边形的形状为正方形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）四边形的形状为正方形，理由如下： 如下图， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴，， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形的形状为正方形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 21. 如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． （1）______； （2）当点E在CD上时，______； （3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直角解直角三角形即可求解； （2）利用矩形的性质及平行线的性质证明，即可求解． （3）根据x的取值范围，利用矩形和平行四边形的性质与判定，求解分段函数解析式即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点E在上时， 由（1）知， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 点Q在线段运动时间为， 当时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 当时，延长与交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为， ∵点P在上的运动时间是， 点Q从点B到A再到点C运动时间为， ∴当 时，设与交于点N，与交于点M， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ． y与x的函数关系式为， 综上所述，． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 22. 抛物线（为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．点在该抛物线上且在轴上方，设其横坐标为．过点作轴的平行线与直线交于点两点的距离记为． （1）求此抛物线及直线的解析式； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当随着的增大而减小时，直接写出的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）当时，；当时， （3）或 （4），或 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式求解，几何图形的交点坐标，函数性质，方程求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，继而得到，得到，结合点的坐标，即可得到答案； （3）当时，，随的增大而减小；当时，，得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；即可得到答案． （4）分两种情况列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 轴， ， ， 当时，；当时，； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而减小； 当时，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 综上所述，当随的增大而减小时，或； 【小问4详解】 解：， 当时，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 解得或； 综上所述，当时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试数学模拟试题（二） 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 移动左图中的一个小正方体得到如图所示的几何体．移动前后几何体的三种视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 4. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是(　　) A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以为圆心，为半径的交于点C，点D在上，连接，，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若整数满足条件，则的值是 _____． 8. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 9. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，边于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为______． 10. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 11. 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 如图，点在线段上，且，，，连接、，求证． 14. 甲从南向北走，乙从西向东走，甲从南距交叉点米的地方开始行走，乙从交叉点开始行走，分钟后甲、乙距交叉点的距离一样，分钟后又一样，问甲、乙的速度分别为多少？ 15. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 16. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 17. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 18. 实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 19. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 20. 综合与实践 【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，欢欢发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，附思考并证明． 【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当时，且点为的中点，直接写出四边形的形状． 21. 如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． （1）______； （2）当点E在CD上时，______； （3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 22. 抛物线（为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．点在该抛物线上且在轴上方，设其横坐标为．过点作轴的平行线与直线交于点两点的距离记为． （1）求此抛物线及直线的解析式； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当随着的增大而减小时，直接写出的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $