精品解析：2025年河北省石家庄市九年级数学中考一模试题

2025年石家庄市初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表是我国五个城市某年1月份的平均气温，温差最大的两个城市是（ ） 城市 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 平均气温（单位：） 3.8 13.1 2.4 A. 北京、哈尔滨 B. 广州、北京 C. 武汉、北京 D. 广州、哈尔滨 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴温差最大的两个城市是广州、哈尔滨， 故选：D． 2. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图如图1所示，其中4个小正方体按图2方式摆放，则最后一个小正方体不能放在（ ） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是理解主视图的概念． 将小正方体分别放在四个位置中，再得出主视图与题中所给的主视图比较，然后作出判断． 【详解】解：当最后一个小正方体放在①号位置时，主视图为，故A符合题意； 当最后一个小正方体放在②号位置时，主视图为，故B不符合题意； 当最后一个小正方体放在②号位置时，主视图为，故C不符合题意； 当最后一个小正方体放在④号位置时，主视图为，故D不符合题意．   故选：A ． 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式的符号改变，根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A、由得，则，故A正确，不符合题意； B、当，则，故B错误，符合题意； C、由可得，故C正确，不符合题意； D、由可得，故D正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是角平分线的定义，角的概念，角的计算，先根据角平分线的定义求出，再由得解． 【详解】解：∵射线和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是要注意运算顺序． 先计算同底数幂的乘法，再通过类似于合并同类项转化为同底数幂相乘，然后得出结果． 【详解】解：．   故选：B ． 6. 如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 7. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 8. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ） A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数，根据题意，可得最大的三个数的和是：，两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断． 【详解】解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6， ∴最大的三个数的和是：， 则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1， 故总和一定大于等于18而小于等于24， 所以他们投中次数的总和可能是24． 故选：C． 9. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出①正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出②正确；当为等腰直角三角形时，，但不一定等于，∴平行四边形不一定是正方形，③不正确． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， 又∵； ∴， 平行四边形为矩形，选项①正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项②正确； 当为等腰直角三角形时， ∴平行四边形为矩形，但平行四边形不一定是正方形，选项③错误， 则其中正确的是①②． 故选：A． 10. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 11. 如图，是的中位线，点F为的中点，连接并延长交于点G，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，取的中点M，连接，，，证明得，，进而求得，，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，， ∵D是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． 故选：C． 12. 已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设该方程的另一个根为，由题意可得，求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 由题意可得：， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 15. 如图，矩形的顶点A，D的坐标为，，轴，若反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，根据条件和矩形的性质，先坐标，再利用相似三角形性质得到，继而得到点B坐标，再利用矩形的对角线互相平分可得点E坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为F， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴， ∵反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，在正六边形中，，点P从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动时间为t秒，过点P的直线l垂直于所在的直线，点F与关于直线l对称，连接．当最小时，t的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明关于直线的对称点在上，可得当时，最短，如图，此时运动到，，，如图，当，重合时，同理可得：，此时四边形，为矩形，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正六边形中，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴关于直线的对称点在上， ∴当时，最短， 如图，此时运动到，， ∴， 如图，当，重合时， 同理可得：， 此时四边形，为矩形， ∴，， ∴， ∴当最短时，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，垂线段最短，正多边形与圆，解直角三角形的相关计算，画出图形是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【详解】解：（1）． 答：上所有数字的和为； （2）根据题意得：，解得：． ∴符合条件的的正整数解为． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【答案】（1） （2）同意；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； 【小问2详解】 同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． 19. 春节看电影已经成为新年俗．在竞争激烈的春节档期，《哪吒之魔童闹海》以高口碑拿下了票房冠军．下表是小明查阅资料整理的该电影上映五天的票房数据，并绘制了如图1尚不完整的条形统计图． 日期 大年初一 大年初二 大年初三 大年初四 大年初五 单日票房（单位：亿元） 4.88 4.80 6.19 7.32 8.13 （1）补全条形统计图； （2）求该电影上映五天的平均票房（精确到0.01）； （3）根据这五天的票房数据，估计该电影的票房累计收入用时几天可以达到一百亿元？ （4）如图2是影院设置的幸运大转盘，三个扇形的圆心角相等，转动转盘停止后，指针指向哪部电影就获得相应电影的优惠券，小明和妈妈各转一次转盘，用列表或画树状图的方法，求小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的概率． 【答案】（1）见解析 （2）6.26亿元 （3）16天 （4） 【解析】 【分析】（1）根据统计表中的数据补全统计图即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用一百亿除以平均数即可求解； （4）列表表示出所有等可能得情况数和小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 补全条形统计图如下； 【小问2详解】 （亿元）； 【小问3详解】 （天）． ∴估计该电影的票房累计收入用时16天可以达到一百亿元； 【小问4详解】 小明和妈妈各自转动一次转盘，指针情况列表如表1所示， 小明 妈妈 A B C A B C ∴共有9种等可能结果，满足题意的只有1种结果， ∴小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》的优惠券的概率为． 【点睛】此题考查了统计表和条形统计图，样本估计总计，列表法求概率，求平均数，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． （1）尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）米 （3）与相切；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的相关尺规作图、半径求解及直线与圆位置关系判断，解题关键是利用圆的性质（弦的垂直平分线过圆心、勾股定理、直线与圆位置关系判定条件）进行分析与计算． （1）连接弦分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，H连接，就是弦的垂直平分线，该垂直平分线与已知直线的交点，即为圆的圆心． （2）先根据已知条件推出相关线段长度，得到米、米 ；设圆半径为，表示出；在中，依据勾股定理列方程求解半径． （3）由过圆心且得出，算出$OF$长度并与圆半径比较，根据圆心到直线距离等于半径则直线与圆相切，判定与相切． 【小问1详解】 解：尺规作图如图； 【小问2详解】 连接，，如图 ∵，，，， ∴四边形，四边形均为矩形． ∴，． ∵米，米， ∴米，米． ∵米， ∴米． ∵，∥， ∴． ∴米． 设半径长为r米，则米，（米）． 在中， ， 解得； ∴的半径为1.3米． 【小问3详解】 与相切．理由如下： ∵经过圆心O，且垂直水平门槛于点F， ∴， ∵米，米 ∴， ∴与相切． 21. 某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． （1）若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； （2）当时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 【答案】（1）货物A的运费为48元；货物B的运费为85元 （2） （3）27.5千克 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、求代数式的值、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接根据计价规则计算即可得解； （2）根据计价规则列出函数解析式即可； （3）先判断出当运费为170元时，，再根据题意得出，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：当时，元； 当时，元； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，； 【小问3详解】 解：∵当时，； ∴当运费为170元时，， ∴， 解得． ∴包裹质量为27.5千克． 22. 背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次根式的混合运算，勾股定理，准确识图，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据未装入纸张时，点B落在上，此时求出，根据装满纸张时，点A落在上，此时求出； （2）设纸张的长边缘垂直于点Q，由，，得到，在中，求，即可求出纸张厚度，再求每张纸的厚度即可； （3）过作交直线于，在上取一点使，连接，，由题意可得，，，，未装入纸张时，则， ，，设，则，，，再在中利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：设纸张的长边缘垂直于点Q， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴每张纸的厚度为； 【小问3详解】 解：过作交直线于，在上取一点使，连接，， 由题意可得，，，，未装入纸张时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴在中，，则，解得，即（负值舍去）， 在中，，则， ∴（负值舍去） ∴未装入纸张时A，H两点之间的距离为． 23. 如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； （3）如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，解方程即可得解； （2）求出点P坐标是，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质即可得解； （3）先求出抛物线的顶点坐标是，当点在抛物线上时求出 ，求出，再利用待定系数法得出直线的表达式为．当点在线段上时，求出，结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴令，则． 解得，． ∴A点坐标是，B点坐标是； 【小问2详解】 解：令，则， ∴点P坐标是． ∵抛物线与x轴交于点和点． ∴设抛物线的表达式为． 当点P，N重合时，将点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为，即． 当时，． ∴抛物线的顶点坐标是； 【小问3详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴其顶点坐标是． 当点在抛物线上时，， 解得． 令，则． ∴， 设直线的表达式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为． 当点在线段上时，， 解得． ∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）， ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）过点作交于，由题意可得为等腰直角三角形，则，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，从而可得，，最后再由勾股定理计算即可得解； （4）由等腰直角三角形的性质可得，分两种情况：当时，连接、，作交于，作交于，作交于；当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故； 【小问4详解】 解：由题意可得：为等腰直角三角形， 当时，， ∴， 如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于， 由（1）可得：， ∵点M为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定由性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年石家庄市初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表是我国五个城市某年1月份的平均气温，温差最大的两个城市是（ ） 城市 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 平均气温（单位：） 3.8 13.1 2.4 A. 北京、哈尔滨 B. 广州、北京 C. 武汉、北京 D. 广州、哈尔滨 2. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图如图1所示，其中4个小正方体按图2方式摆放，则最后一个小正方体不能放在（ ） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ） A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 9. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的中位线，点F为的中点，连接并延长交于点G，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 12. 已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 15. 如图，矩形的顶点A，D的坐标为，，轴，若反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为______． 16. 如图，在正六边形中，，点P从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动时间为t秒，过点P的直线l垂直于所在的直线，点F与关于直线l对称，连接．当最小时，t的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 19. 春节看电影已经成为新年俗．在竞争激烈的春节档期，《哪吒之魔童闹海》以高口碑拿下了票房冠军．下表是小明查阅资料整理的该电影上映五天的票房数据，并绘制了如图1尚不完整的条形统计图． 日期 大年初一 大年初二 大年初三 大年初四 大年初五 单日票房（单位：亿元） 4.88 4.80 6.19 7.32 8.13 （1）补全条形统计图； （2）求该电影上映五天的平均票房（精确到0.01）； （3）根据这五天的票房数据，估计该电影的票房累计收入用时几天可以达到一百亿元？ （4）如图2是影院设置的幸运大转盘，三个扇形的圆心角相等，转动转盘停止后，指针指向哪部电影就获得相应电影的优惠券，小明和妈妈各转一次转盘，用列表或画树状图的方法，求小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的概率． 20. 如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米． （1）尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程） （2）求的半径； （3）判断与的位置关系，并说明理由． 21. 某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． （1）若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； （2）当时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 22. 背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 23. 如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； （3）如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围． 24. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $