精品解析：山东省临沂市罗庄区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 -

2024－2025学年度下学期学科素养水平竞赛试题 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 2. 数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（ ） A. B. C. D. 30 3. 我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，斜边长为．下列各组数中，满足关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 5. 设，则实数所在的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 8 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 8. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共1答题，5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 12. 在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是______． 13. 如图，在中，，，为的中点，，则的长是______ 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是______． 15. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，这是单位长度为1的的正方形网格，请用无刻度的直尺在下列两个正方形网格中选择三个格点，依次连接使之构成直角三角形．要求所画的三角形三边的长度都是无理数，两个图形不重复． 18. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 19. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接，已知，，求的长． 20. 如图，在四边形中，是的中点，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若，求四边形的面积； （3）如图3，当点运动到中点时，连接，求证：． 22. 如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期学科素养水平竞赛试题 八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴C符合题意． 故选C． 2. 数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（ ） A. B. C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴AB＝， 故选：B． 3. 我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，斜边长为．下列各组数中，满足关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项判定即可得到结论． 【详解】解：∵，，为直角三角形的三边， ∴， A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 4. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理以及折叠的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 利用菱形的判定定理即可判定丝巾的形状． 【详解】解：由题意可知，这块丝巾的两组对角分别相等，且邻边相等，故这块丝巾的形状一定是菱形． 故选：B． 5. 设，则实数所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，无理数的估算，先根据二次根式的加减法法则化简，再利用无理数的估算方法估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选C． 6. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主查了平行四边形的性质，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 因为四边形是平行四边形，所以；再根据点E是的中点，得出是的中位线，，再根据四边形的周长是16，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形的周长是16， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 故选A． 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 由菱形的性质和勾股定理求出，再由菱形的面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 故选：B． 8. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 9. 如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的减法； 根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 10. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：A． 二、填空题（本题共1答题，5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较与平方的大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为：＞． 12. 在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化－平移，先画出平行四边形，得出，然后根据平移的性质可得点的坐标． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，为的中点，，则的长是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先延长到，使，连接，构造，利用全等三角形的性质可求、，从而可得，从而可得：，利用勾股定理可求，从而可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长到，使，连接， 为的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 又， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用倍长中线法构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度． 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质得到，再根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】13．解答解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则； 由作图可知，即， 在中，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，用同一个未知数表示是解题的关键． 15. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，这是单位长度为1的的正方形网格，请用无刻度的直尺在下列两个正方形网格中选择三个格点，依次连接使之构成直角三角形．要求所画的三角形三边的长度都是无理数，两个图形不重复． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺画图，勾股定理逆定理，无理数定义等．根据题意利用网格长度及勾股定理逆定理，求出符合题意的边长，再用无刻度直尺连接即可． 【详解】解：当边长为格对角线时，即，另外两条边为格对角线，边长为，， 当， 18. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 19. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟记三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，进而可求得的长． 【详解】解，，于点， ． ， ． 于点， ， 在中，． ， ， 为的中点， ． 20. 如图，在四边形中，是的中点，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． （1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）利用勾股定理求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ，， 设，则， ， 解得．即， 是的中点，， ， 四边形为平行四边形， ， 在中， 由勾股定理得． ． 21. 如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若，求四边形的面积； （3）如图3，当点运动到中点时，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ； （2）； （3） 解：如图2，延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明≌； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）延长交于点，证明得，然后根据直角三角形斜边中线的性质得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 略 22. 如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到； （3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， ， 同理，， 由（1）可知， ， ∵， ∴； （3）如图，取的中点，连接， 同理（1）（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $