精品解析：安徽省合肥市第四十八中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

48中八年级下册期中数学 八年级数学 考试时间：100分钟；满分：100分 一、选择题：本题共10小随，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 多边形的内角和可能为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7. 下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 8. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 四、解答题：本题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. 在△ABC中，AB=4，BC=8，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，CE=3，连接AE． （1）求证：△ABE是直角三角形； （2）求△ACE的面积． 12. 关于的一元二次方程 （1）若方程总有两个实数根，求的最小值． （2）若方程的两根为，，，求的值． 13. 2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 14. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 15. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 16. 已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 17. 定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____． 18. 我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则___． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 19. 解方程：． 20. 计算：． 21. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在，三边长分别为a，b，c，且，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 22. 已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． （1）如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： （2）如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； （3）如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 23. 在直角三角形中有一个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．”如图，在中，，，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 48中八年级下册期中数学 八年级数学 考试时间：100分钟；满分：100分 一、选择题：本题共10小随，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，关键是正确理解二次根式的定义．根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 多边形的内角和可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和．根据多边形的内角和计算公式及多边形边数为正整数，计算得结论． 【详解】解：∵多边形的内角和，多边形的边数n为正整数， ∴多边形的内角和是的倍数． ，，，， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、8-2=6，故此选项不合题意； B、+，无法计算，故此选项不合题意； C、×=，故此选项符合题意； D、÷=2，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方数的非负性，有理数的乘方，求代数式的值，正确理解算术平方根和平方数的非负性是解题的关键．由题意得，，求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：A． 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 7. 下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义进行逐一判断即可得解. 【详解】A．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意； B．，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意； C．，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确； D．与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的相关定义，熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义运用是解决本题的关键. 8. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可． 【详解】第一次降价后的价格为：25×(1-x)； 第二次降价后的价格为：25×(1-x)2； ∵两次降价后的价格为16元， ∴25(1-x)2=16． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b． 9. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 【答案】D 【解析】 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图： ， 在中， 根据勾股定理得： ， 所以它爬行的最短路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形. 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 四、解答题：本题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11. 在△ABC中，AB=4，BC=8，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，CE=3，连接AE． （1）求证：△ABE是直角三角形； （2）求△ACE的面积． 【答案】 （1）证明：∵AC的垂直平分线交AC于点D， ∴AE=CE=3， ∵BC=8，∴BE=5， ∵，∴△ABE是直角三角形； （2）3.6． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE=3，根据线段的和差关系可求BE=5，再根据勾股定理的逆定理可证△ABE是直角三角形； （2）根据三角形面积公式可求△ABE中BE边上的高，再根据三角形面积公式可求△ACE的面积． 【详解】解：（1）略 （2） 故△ACE的面积是3.6． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质以及含三角形的面积；利用线段垂直平分线得出线段相等是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程 （1）若方程总有两个实数根，求的最小值． （2）若方程的两根为，，，求的值． 【答案】（1）无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， 无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值； 【小问2详解】 解：∵方程两根、， ， ， ， 即，整理得：， 解得：，即． 13. 2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 【答案】（1）平均每年下调的百分率为10% ； （2）张强的愿望可以实现. 【解析】 【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，则2014年的均价为6500（1-x）,2015年的均价为6500（1-x）（1-x），即6500（1-x）2，根据题意，得：6500（1-x）2=5265，解方程即可； （2）计算出2016年的均价，算出总房款，即可知道能否实现. 【详解】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得： 6500（1-x）2=5265， 解得： x1=0.1=10%， x2=1.9（不合题意，舍去）， 答：平均每年下调的百分率为10% ； （2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为： 5265×（1-10%）=4738.5（元/m2），则100平方米的住房的总房款为 100×4738.5=473850（元）=47.385（万元），∵20+30＞47.385 ∴张强的愿望可以实现. 考点：一元二次方程的应用. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 14. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键． 15. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 【答案】2． 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2， ∴， ∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键． 16. 已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 【答案】4，6 【解析】 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 17. 定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____． 【答案】3或﹣3 【解析】 【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解． 【详解】当x≥﹣x，即x≥0时， ∴x=x2﹣6， 即x2﹣x﹣6=0， (x﹣3)(x+2)=0， 解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)； 当x＜﹣x，即x＜0时， ∴﹣x=x2﹣6， 即x2+x﹣6=0， (x+3)(x﹣2)=0， 解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)． 故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3． 故答案为：3或﹣3． 【点睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用． 18. 我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则___． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 则：，， ∴； 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 19. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．用直接开平方法，解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得：或． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的化简和运算法则是解题的关键．先化简二次根式，再进行乘法运算，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 21. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在，三边长分别为a，b，c，且，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 【答案】（1）是 （2） 解：该三角形是和谐三角形． 理由：∵， ∴该三角形是和谐三角形． （3）解：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形， 当b为斜边时，该三角形是和谐三角形，理由如下： ①当c为斜边时，， 而，，，不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍， ∴该三角形不是和谐三角形． ②当b为斜边时，， ∵， ∴， ∴该三角形是和谐三角形， 答：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形． 【解析】 【分析】（1）直接利用和谐三角形的定义进行判断即可； （2）根据及和谐三角形的定义即判断； （3）需要进行分类讨论，当c为斜边，b为斜边时进行分类讨论． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 不妨设等边三角形的边长为，则， 则， 所以等边三角形是和谐三角形， 故答案为：是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，理解和谐三角形的定义是解题的关键． 22. 已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． （1）如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： （2）如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； （3）如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 23. 在直角三角形中有一个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．”如图，在中，，，，过点作，点在点右侧，且，连接，则的值为______． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．过点作，且使，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由勾股定理可求出，即可解决问题． 【详解】解：过点作，且使，连接，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：66． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $