精品解析：山东省聊城市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】运用分步乘法原理计算. 【详解】完成选一条裙子和一双皮鞋搭配这件事，需要分两步， 第一步选裙子有种方法，第二步选皮鞋有种方法， 根据分步乘法计数原理，不同的搭配方案共有（种）. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入，即可求得答案. 【详解】由，可得，， 则，则， 故选：C 3. 二项式的展开式中常数项为 A. 160 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由二项式的展开式的通项为： ； 令得到； 故二项式的展开式中常数项为. 故选C. 考点：二项式定理. 4. 已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 5. 已知函数及其导函数均为R上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的极小值点 B. 0是的极小值点 C. 是的最大值 D. 不存在最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分段判断函数的正负，从而得函数单调性，从而得解. 【详解】根据题意，当时，，则，所以在单调递增， 当时，，则，所以在单调递减， 当时，，则，所以在单调递减， 且， 所以是的极大值点，A错误； 0不是的极值点，B错误； 是的最大值，C正确，D错误. 故选：C 6. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解. 【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会， 有种， 物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会， 有种， 物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会， 有种， 所以共有种不同的参会方案. 故选：B 7. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，在上单调递增，即恒成立，参变分离即在上恒成立，再，利用导数求其最大值即可得a的取值范围. 【详解】对任意的，当时，都有， 即上恒成立， 设，则当时，恒有， 即在上单调递增， 又，则在上恒成立， 即上恒成立， 设，则， 当时，，等号不会同时取到，所以， 则在上单调递减，所以，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出所求式子的通项，再利用组合数的定义化简通项，从而将原式化为奇数项的二项式系数之和，由二项式定理和赋值法即可求出其值. 【详解】注意到原式中每一项都可以写成， 由组合数的定义可得， 所以原式， 由二项式定理可知， ， 两式相加再除以2可得， 所以原式. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则一定是函数的极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据求导公式，导数的定义，极值点概念分别对选项进行分析. 【详解】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误. 对于选项B：先将化简，. 对求导可得. 将代入可得：，所以选项B正确. 对于选项C：根据导数的定义,. 对求导，根据复合函数求导公式，则. 将代入可得. 所以，选项C正确. 对于选项D：若，不一定是函数的极值点. 例如函数，对其求导可得，令，即，解得. 当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误. 故选：BC. 10. 盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用全概率公式计算可判断A；利用条件概率及对立事件计算可判断B；根据对立事件可判断C；利用条件概率结合互斥事件的和事件的概率计算可判断D. 【详解】对于A，设事件与事件分别为“第一次取出的是白球”与“第一次取出的是蓝球”， 则，，，，， 所以 ，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得出，由此构造函数，利用导数判断其单调性，即可判断A；再设，求导判断单调性，可判断B；证明不等式，即可判断C；构造函数，利用单调性判断D. 【详解】由题意知，且，，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，， 结合，，即，知，A正确； 令， ， 由于，则，故， 即，故在单调递增，则， 故，结合可得， 由于，故，即，B错误； 先证明不等式， 设，则即， 即证； 设，则， 由于，但等号取不到， 故，则，则在上单调递增， 故，即成立，即成立， 对于两边取自然对数，得， 即，则， 故，则，C正确； 设，则， 当时，，即在上单调递增， 故，则，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】先填个位数，再填十位以及百位数，结合分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】先填个位数，可以选或，有种方法， 然后从剩下的四个数字中任选两个分别填在十位以及百位上，则有种情况， 由分步乘法计数原理可知，总情况数有种. 故答案为： 13. 某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为______． 【答案】216 【解析】 【分析】设长方体表面中的正方形边长为，高为，则，表示出长方体的表面积为，然后利用导数可求出其最小值. 【详解】设长方体表面中的正方形边长为，高为， 则由题意得，得， 所以长方体的表面积为， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以当时取得最小值为， 所以所用彩色包装纸的面积的最小值为216. 故答案为：216 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的导数，判断单调性， 可作出其图象，换元将原问题转化为不等式的解集中有且只有三个整数，数形结合，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，； 令，则不等式即为， 故，即，即， 则不等式的解集中有且只有三个整数， 即为不等式解集中有且只有三个整数， 由于，且， 结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4， 需有，即， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程、演算步骤． 15. 在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． （1）从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； （2）从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列． 【小问1详解】 记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”， 则由题意得． 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3． ；； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 16. 设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数的几何意义，结合给定切线方程求出参数值. （2）利用（1）中导函数，分类讨论求出函数的单调区间. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 又曲线在点处的切线方程为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 当，即时，由，得； 由，得，在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，在R上单调递增； 当，即时，由，得； 由，得，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减. 17. 已知，，且．求： （1）m的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的展开式的通项公式，然后求出其的一次项和二次项，再由列方程可求出的值； （2）利用赋值法，分别令和可求得结果； （3）对两边求导，然后令可求得答案. 【小问1详解】 的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以，解得． 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以． 【小问3详解】 对两边分别求导，得 ， 令，得． 18. 人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权． （1）若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值； （2）当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求： （ⅰ）小李参加考核的次数的分布列； （ⅱ）小李重新上岗的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意得小李通过三次理论考核的概率为，然后利用导数可求出其最大值； （2）（ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4，根据题意求出相应的概率，从而可求出小李参加考核的次数的分布列；（ⅱ）根据题意分别求出小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率，第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率，通过三次理论考核的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果. 【小问1详解】 小李通过三次理论考核的概率为，， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，小李通过三次理论考核的概率最大． 【小问2详解】 由（1）知． （ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4， 当小李第一次理论考核未通过时，，， 当小李第二次理论考核未通过或通过三次理论考核时，， 所以， 当小李第三次理论考核未通过时，，， 所以小李参加考核的次数X的分布列为 X 1 3 4 P （ⅱ）小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率为， 小李第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率为， 小李通过三次理论考核概率为， 所以小李重新上岗的概率． 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 【答案】（1）是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，只需证时，，然后分别构造函数，，利用导数判断其单调性，从而可证得结论； （2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，对函数求导后，分和两种情况分析函数的单调性求解即可； （3）由（2）知在区间上恒成立，令，得，然后利用累加法可证得结论. 【小问1详解】 1是和在上的同步斜率， 证明如下： 由题意知，只需证时，． 令，则， 所以时，，在上单调递增， 又因为，所以时，，即在上恒成立． 令，则恒成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以时，， 即1是和在上的同步斜率． 【小问2详解】 解：由题意知恒成立， 令，则在区间上恒成立， ， 当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，，符合条件； 当，即时，时，， 在区间上单调递减， 所以存在，使，不符合条件． 综上，a的取值范围为． 【小问3详解】 证明：令，由（2）知在区间上恒成立， 当且时，，令，得． 所以 即当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 3. 二项式展开式中常数项为 A. 160 B. C. 60 D. 4. 已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知函数及其导函数均为R上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的极小值点 B. 0是的极小值点 C. 是的最大值 D. 不存在最大值 6. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 7. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则一定是函数的极值点 10. 盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为______．（用数字作答） 13. 某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为______． 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程、演算步骤． 15. 在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． （1）从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； （2）从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 16. 设函数． （1）若曲线在点处切线方程为，求a，b的值； （2）讨论的单调性． 17. 已知，，且．求： （1）m的值； （2）的值； （3）的值． 18. 人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权． （1）若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值； （2）当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求： （ⅰ）小李参加考核的次数的分布列； （ⅱ）小李重新上岗的概率． 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$