精品解析：2025年江苏省南京鼓楼区一模数学试卷

九年级（下）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的值等于 A. 4 B. C. D. 8 2. 百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 5. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到 的过程中，点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：______；______． 8. 若式子有意义，则的取值范围是__________． 9. 计算的结果是__________． 10. 正八边形的一个外角的度数是_____． 11. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为______． 12. 在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 13. 学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 14. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 15. 玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 16. 在扇形中，，内接于扇形，，位置如图所示．若，，则扇形的面积为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组并写出该不等式组的最大整数解． 18. 计算：． 19. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？ 20. 如图，菱形的对角线，相交于点 ，是边的中点，连接，过点， 作的垂线，垂足分别为，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 甲口袋中有2个红球、1个白球、乙口袋中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，设摸出的2个球都是红球的概率为． （1）求的值； （2）在乙口袋中再放入个红球，若的值为，则的值为__________． 22. 南京市月份每天的最高温度、最低温度的变化情况统计如下． （1）以下说法正确的是__________（填写所有正确说法的序号） ①最高温度的方差比最低温度的方差更大； ②日温差最大的一天是月日； ③日温差最小的一天是月日和月日； ④在月日到月日之间，最高温度呈上升趋势． （2）完成月日 月日的日温差的条形统计图． （3）在月，哪天最高温度相比前一天的降幅最大？借助数据进行说明． 23. 如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在 处通过窗口看到远处两棵树（记为 和），此时 在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时 和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 25. 已知二次函数的图象为 ． （1）用表示图象 的顶点坐标； （2）证明：当时，图象 与轴有两个交点； （3）记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象 与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 26. 尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （）底边长为，底边上的高长为； （）腰上的高长为，底边上的高长为． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 27. 立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． （1）某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） （2）月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． （3）如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底 且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知 到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（下）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的值等于 A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的知识，理解算术平方根的定义是解题关键．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫算术平方根．据此即可获得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，把用科学记数法表示时，需要把小数点向左移动位，所以的指数是． 【详解】解：． 故选：C． 3. 已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，如果函数图象经过点，那么这个点的坐标一定使函数的解析式成立．把点的坐标代入函数表达式中，如果表达式成立，则函数的图象经过这个点，否则不经过这个点． 【详解】解：A选项：当时，，的图象经过点，故A选项不符合题意； B选项：当时，，的图象经过点，故B选项不符合题意； C选项：当时，，的图象经过点，故C选项不符合题意； D选项：当时，，的图象不经过点，故D选项不符合题意． 故选：D． 4. 图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，平移变换和轴对称变换，根据旋转变换、平移变换和轴对称变换逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：一条“鱼”可以通过绕图案中心旋转与另一条“鱼”重合，故①正确； 通过平移变换无法使一条“鱼”与另一条“鱼”重合，故②错误； 将一条“鱼”沿一条通过图案中心的直线进行轴对称变换，然后沿另一条垂直于第一条直线的通过图案中心的直线进行轴对称变换，可以与另一条“鱼”重合，故③正确； ∴正确的结论为①③， 故选：． 5. 计算结果为的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不合题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不合题意； 、，该选项不合题意； 故选：． 6. 如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，负整数指数幂，掌握以上知识点是解题的关键．根据绝对值的性质和负整数指数幂直接计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 8. 若式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解． 【详解】解：若式子有意义，则， 解得， 故答案为：． 9. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 正八边形的一个外角的度数是_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．利用多边形的外角和等于即可得出答案． 【详解】解：任何一个多边形的外角和都是， 正八边形的每个外角的度数是：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，即得，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运营相关知识成为解题的关键． 如图，过A作， 则，由三角形的内角和定理可得，则，即，然后求得的取值范围即可． 【详解】解：如图：过A作， 则 ∵为钝角，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 13. 学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． 先根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 所以他们的感染力得分应超过90分． 故答案为：90． 14. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 15. 玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 16. 在扇形中，，内接于扇形，，位置如图所示．若，，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，扇形的面积等，延长，相交于点，可得是的直径，利用勾股定理及线段垂直平分线的性质可得，即得，进而得，即可得，最后根据扇形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的解集即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号内分式通分，分子因式分解，变分式除法为乘法，最后约分化简即可． 【详解】解： ． 19. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天种树60棵． 【解析】 【详解】试题分析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解． 试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵， 由题意得，， 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树60棵． 考点：分式方程的应用． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：菱形的对角线，相交于点， ，， 是边的中点， ， 是的中位线， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可； （2）菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，设，利用勾股定理解和求出，进而可得，最后根据矩形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：菱形中，， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， 由（1）知是矩形， 解得，即 ， 矩形的面积为：． 21. 甲口袋中有2个红球、1个白球、乙口袋中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，设摸出的2个球都是红球的概率为． （1）求的值； （2）在乙口袋中再放入个红球，若的值为，则的值为__________． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法概率的应用，掌握运用列表法概率成为解题的关键． （1）先根据题意列表求得所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可； （2）先根据题意列表求得所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意列表如下： 甲 乙 红 红 白 红 红，红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 白，白 由列表可知：共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是红球的结果数为2， 所以摸出的2个球都是红球的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 红 红 白 红 红，红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 白，白 红1 红1，红 红1，红 红1，白 … … … … 红a 红a，红 红a ，红 红a，白 由列表可知：共有种等可能结果，其中摸出的2个球都是红球的结果数为， 所以摸出的2个球都是红球的概率为， ∴， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：2． 22. 南京市月份每天的最高温度、最低温度的变化情况统计如下． （1）以下说法正确的是__________（填写所有正确说法的序号） ①最高温度的方差比最低温度的方差更大； ②日温差最大的一天是月日； ③日温差最小的一天是月日和月日； ④在月日到月日之间，最高温度呈上升趋势． （2）完成月日月日的日温差的条形统计图． （3）在月，哪天最高温度相比前一天的降幅最大？借助数据进行说明． 【答案】（1）①③ （2） 补图如下： （3） 月日最高温度相比前一天的降幅最大， 理由如下：由图可知，月日的最高温度为，月日的最高温度为，降温，降幅最大． 【解析】 【分析】（）根据折线统计图逐项判断即可求解； （）分别求出月日月日的温差，再补全条形统计图即可； （）根据折线统计图解答即可； 本题考查了折线统计图，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可知，最高温度的波动较最低温度的波动大， ∴最高温度的方差比最低温度的方差更大，故①正确； 日温差最大的一天是月日，故②错误； 日温差最小的一天是月日和月日，故③正确； 在月日到月日之间，最高温度先下降，再上升，故④错误； ∴说法正确的是①③， 故答案为：①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理可得，进而可得，即得，即可求证； （）由已知得，再由得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， 由（）知，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 【答案】100m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点分别作，，垂足为点，先求出，解，可设，由勾股定理得，确定为等腰直角三角形，则，由，求出，则即可求解，解 设，，解可得，由，求出，即可求解，最后由即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∵在中，， ∴设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴设， 同理可得：， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：两棵树之间的距离为． 25. 已知二次函数的图象为． （1）用表示图象的顶点坐标； （2）证明：当时，图象与轴有两个交点； （3）记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3），或时，图象与线段恰有一个公共点． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图象的交点． 把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图象的顶点坐标为； 当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图象与轴有两个交点； 根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图象与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：整理， 可得：， 图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时， 设点的坐标为，点的坐标为， 一次函数（是常数，，）的图象为线段， 当时，，当时， 依题意，图象与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或 当时，， 解得： ∴ ②当时， 解得： 当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得 ， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去） 综上所述，，或时，图象与线段恰有一个公共点． 26. 尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求： （）底边长为，底边上的高长为； （）腰上的高长为，底边上的高长为． 要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 （）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）在射线上截取线段，作线段的垂直平分线，垂足为点，并截取，连接，则即为所求； （）在直线上取点，过点作且使得，以点为圆心，为半径画圆，再以为直径画圆，两圆相交于点，连接并延长，分别交直线于点，连接，过点作于，由是直径可得，即得，即得到，进而由相似三角形的性质可得，故即为所求； 本题考查了作垂线，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，掌握基本作图技能是解题的关键． 【详解】解：（）略 （）略 27. 立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． （1）某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） （2）月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． （3）如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】（1）秋冬 （2）①； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3） ①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【小问1详解】 解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． 【小问2详解】 解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②略 【小问3详解】 解：①略 ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $