宁夏银川市永宁县永宁中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

永宁中学2024-2025学年高二年级第二学期期中考试 数学试卷 命题教师： 审核教师： 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则n的值为（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 2．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 4．，，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（   ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 5．若展开式中的常数项为，则实数 ( ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 6．某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．用这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数（   ） A．720 B．648 C．328 D．320 8．已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．下列各式中，等于的是（     ） A． B． C． D． 10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（     ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 11．下列命题正确的有（     ） A．已知函数，若，则 B．已知函数在上可导，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路； 从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路， 则从甲地去丁地，共有 种不同的走法． 13．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%．已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格．三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件．则取到的是不合格品的概率是 ．（答案用小数作答） 14．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色， 则不同的涂色方法共有 种. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（1）计算：已知，则求的值． （2）计算：； (3)解方程：； 16．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． (1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ (3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 18．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会． (1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率； (2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望． 19．设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B A D C  C 题号 9 10 11 答案 CD BD BD 12 14 13 0.028 14 1560 15．(1) 【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质 递推关系及组合数公式即可求解 【详解】由，得，解得. 所以. 故答案为：. (2)【详解】（1） (3)【详解】由得： 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 （2）由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 17．(1)60 (2)91 (3)14 【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解. 【详解】（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； （2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； （3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式. 18．(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用古典概率公式即求； （2）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得. 【详解】（1）从这6人中随机选出2人，共有种选法， 其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种．， 故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为． （2）由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8， ，， ，． 故X的分布列为： X 5 6 7 8 P ∴． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件转化为恒成立.再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解； （2）利用导数的几何意义，即可求解； （3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， 由题意得，恒成立. 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故. （3）解法一：因为，所以题意等价于当时，. 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于. 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$