湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷

公安三中2024级高一下学期5月考试数学试卷 命题人：刘军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知点则与同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。） 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D．函数在区间上单调递增 10．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为纯虚数 B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 C．的虚部为 D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为 11．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ） A．若点是的中点，，则 B．若平分，则 C．三角形外接圆面积最大值为 D．若，则内切圆半径为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 . 13．已知，，则 ． 14．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）（1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 17．（15分）在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且. (1)求； (2)求面积的最大值. 18．（17分）已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于． (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值． 19．（17分）在中，，，对应的边分别为，，， (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《公安三中2024级高一下学期5月考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B ABC BD 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：D 2．A 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 3．C 【分析】根据正弦定理可求得答案. 【详解】解：由正弦定理，得. ∵，∴，∴或. 故选：C. 4．B 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：B 5．C 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【详解】由题意：. 故选：C 6．A 【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可. 【详解】由题意可知，所以，所以最大， 设， 由余弦定理得：， 故选：A 7．D 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8．B 【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可. 【详解】设的中点分别为，连接，则， 可得， 同理可得， 因为在线段上，设， 则 ， 所以的取值范围是. 故选：B. 9．ABC 【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，的周期，所以 A 正确； 对于B，因为 ， 所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象，故C正确； 对于D中，因为，所以， 所以在上不单调，故D错误. 故选：ABC. 10．BD 【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解. 【详解】对于A，当时，则不为纯虚数，故A错误； 对于B，即到原点距离为2的点构成，故点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根是其中一个根的共轭复数，为，故D正确. 故选：BD. 11．AB 【分析】将平方求解即可判断A；由角平分线定理可判断B；利用正弦定理表示出半径，根据正弦函数的性质可判断C；注意到内切圆直径必小于边上的高，结合A即可判断D. 【详解】对于A，因为点是的中点，所以， 因为，所以， 所以， 故，故A正确； 对于B，由角平分线定理可知，故B正确； 对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即， 因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误； 对于D，由上知，则边上的中线长为，则边上的高小于， 所以内切圆直径小于，即半径小于，因为，故D错误. 故选：AB 12．/ 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值 【详解】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为， 所以， 故答案为： 13． 【分析】根据题意，由的范围可得的范围，从而可得的值，再由，结合余弦的差角公式代入计算即得. 【详解】因为，则，则， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为： 14． 【分析】应用正弦边角关系及三角形内角的性质得，根据已知有，再应用余弦定理、三角形面积公式求结果. 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 15．（1）；（2）． 【分析】（1）先求出，，再由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案. 【详解】（1）因为， 且与平行， 所以，解得， 所以， 所以． （2）已知与的夹角为， 所以， 因为与垂直， 所以 所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角. （2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求. 法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值. 法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值. 【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）由得，从而计算； （2）由题意，两边平方结合基本不等式可得，利用面积公式即可求. 【详解】（1）因为，且， 所以， 利用二倍角公式和边化角可得：， 即， 所以， 因为， 所以， 又因为，所以，所以，即. （2） 因为， 所以， 两边平方得：， 所以，当且仅当时取等号. 由，可得：， 所以. 所以面积的最大值为. 18．(1) (2)对称轴为直线，，对称中心为， (3) 【分析】（1）由图象可得函数的最值、周期与相位，分别建立方程，可得答案. （2）根据正弦函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案； （3）由函数图象变换可得新函数的解析式，整理不等式构造函数，根据正弦函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由图可得，则，，则， 解得或，，由，则， 由，则，由图可得周期，易得， 所以. （2）令，，解得，， 令，，解得，， 所以的对称轴为直线，， 对称中心为，. （3）由题意可得， 要证，只需证， 令， 由题意可得，则，即求函数的单调递减区间， 令，，解得，， 由题意可得，， 则，，解得，， 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，此时，符合题意； 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意 所以的最大值为. 19．(1) (2) (3)48 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可； （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值. 【详解】（1）因为 所以， 由正弦定理，            所以 即：，又，所以； （2）（方法一）因为，所以， 所以， 所以 ，及              （方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图， 则                           则： 所以； （3）根据柯西不等式：                 （当且仅当为正三角形时取等号）     即：的最小值为48. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$