专题04 特殊的平行四边形（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题04 特殊的平行四边形 题型概览 题型01矩形的性质与判定 题型02菱形的性质与判定 题型03正方形的性质与判定 ( 题型0 1 ) 矩形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，且，与之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关定理证得是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是矩形，故A错误；C正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是矩形，故B正确； 四边形是平行四边形， ， 是矩形，故D正确； 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长． 【详解】四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，中，，，，点在边上且，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可知是以为斜边的直角三角形，由点在边上且，可知是直角三角形斜边的中线，即可得到答案． 【详解】解：，即 是直角三角形，且斜边为 又点在边上且 是斜边的中线 故选：C． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，，矩形在的内部，顶点A，B分别在射线，上，，则点到点的最大距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 取中点E，连接、、，求出和值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，最大为． 【详解】解：如图，取中点E，连接、、， ， ． ∵四边形是矩形， ，， ∵点E是的中点， ， 在中，， 在中，根据三角形三边关系可知， ∴当O、E、D三点共线时，最大为． 故选：B． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，的两条对角线，相交于点O，是等边三角形，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形和平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 由等边三角形的性质和平行四边形的性质，证明四边形是矩形，再根据矩形的性质可和由勾股定理可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，． 故答案为： 7．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若平分交于点E，且，连接，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是证明是等边三角形． 由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，，求出，根据三角形的内角和定理求出即可由求出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵， ． ∴． 故答案为：45． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 【答案】50 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由矩形的性质推出，，得到，．连接，由矩形的性质推出，，得到，推出，因此，由三角形外角的性质得到，于是得到，再根据矩形即可之答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：50． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，勾股定理求得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可． 【详解】因为、， 所以窗框是平行四边形， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形． 故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 11．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，如图所示，由矩形性质可设，由翻折性质得到，再结合等腰三角形的判定性质，解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 由矩形性质可设， 由翻折的性质可知，，即是等腰三角形， ， ， ， ，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 四边形是矩形， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，涉及矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，利用参数解决问题是解决问题的关键． 12．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 故答案为：3． 13．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，矩形中，，，沿折叠，使点D与点B重合，点C与重合． 折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题以及勾股定理，熟记各性质并作出常用辅助线是解题关键．先证明，在中根据勾股定理列出方程并求解；作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得； ，， 作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ． 故答案为： 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，连接，矩形的性质结合，得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的对角线交于点O， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：13． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、中位线定理以及等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据题意可得，证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）根据题意可得是等腰三角形，结合即可求证； 【详解】（1）证明：，，分别是，，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）解：理由：，， ． 又是的中点， ． ∴是等腰三角形 四边形是矩形， 平分． 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是即解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质求出，在中，由勾股定理求出 ，证明，则，则，即可求出，利用平行四边形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴：四边形是矩形． （2）∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，在矩形中． (1)若点F是矩形边上一点，点E在边上，连接，． ①如图1，点F在边上，且，连接．求的度数； ②如图2，点F在边上，且，连接交于点G，过C作交于H．求的度数． (2)如图3，在矩形中，若E是边上一动点，将沿折叠后得到，点N在矩形内部（不含边），射线分别交射线，射线于点M，F，，． ①当点E是的中点时，求线段的长； ②点E在运动过程中，求出的周长的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①；②12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）①证明是等腰直角三角形即可得出；②先证四边形是平行四边形，再证明是等腰直角三角形即可得出； （2）①根据勾股定理求的长度；②根据折叠性质得，在证点B、N、D在同一条直线上时，最小，即可求出的周长． 【详解】（1）①，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； ②，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ∴， 同①是等腰直角三角形，则， ， ； （2）①连接， E是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中， ， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ； ②由折叠知，，， ， 当最小时，的周长最小， ， 点B、N、D在同一条直线上时，最小， ， 此时，， 的周长． 18．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形是矩形（不需要说明理由）． 【答案】(1)证明见解析； (2)（答案不唯一）． 【分析】（）由四边形是平行四边形，得，，则有，从而证明； （）添加（答案不唯一），利用“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判断； 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）添加，理由： 由（）得：四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形． 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点，分别在平行四边形的边，上，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由平行四边形性质得到，，再由三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中 全等三角形性质，结合平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，再由矩形的判定即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：（答案不唯一），理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 四边形为平行四边形， 若添加，则根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到四边形为矩形． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、三角形全等的判定与性、矩形的判定等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 20．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，M，N是上两点，，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）由平行四边形的性质可知，进而得到即可证明； （2）由（1）可证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定添加条件，即可解题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2）解：连结， 由（1）知，， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． (或，有一个角为直角的平行四边形是矩形等)， ∴添加条件等均可，可使得四边形为矩形． 21．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理： （1）先证明，根据三个角是直角的四边形是矩形即可得证； （2）先求出，推出为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴四边形是矩形； （2）连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 22．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ (2)若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称求最短路径，矩形的判定和性质，一元一次方程的应用，灵活运用勾股定理是解题关键． （1）设，则，利用勾股定理列方程，求出的值即可得解； （2）作点C关于的对称点F，连接交于点E，此最小，点E即为加油站的位置．作于点M，此时四边形时矩形，利用勾股定理，求出，即可得解． 【详解】（1）解：设，则， 由勾股定理得：，， ， ， 即， 解得：； 答：加油站E建在距A站时，加油站E到两镇的距离相等． （2）解：如图，作点C关于的对称点F，连接交于点E， ，， 最小，点E即为加油站的位置． 作于点M，此时四边形时矩形， ，， ， 在中，， 即：加油站E到两镇的距离之和的最小值是． ( 题型0 2 ) 菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）若菱形的周长为8，高为，则菱形两邻角的度数比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意画出图形，根据菱形的性质和勾股定理求得 【详解】解：如图，菱形中，于H， 由题意，，，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，首先连接，易证得，然后可证得，即可得是等边三角形，然后可证得，进一步得到的周长，由于点的位置不同，也发生变化，可得的周长与点E的位置有关，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，故①符合题意； 又∵， ∴是等边三角形，故③符合题意； ∴， ∴， ，故②符合题意； ∵， ∴的周长， ∵是等边三角形， ∴， ∵点不同位置时，的长发生变化，即的长也发生变化， ∴的周长也发生变化， ∴的周长与点E的位置有关，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的是①②③， 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质可以得出和的长度，根据勾股定理即可得出的长度，即可得出点C的坐标．熟练掌握相关图形的性质是本题的关键． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（    ） A．平分 B．是等边三角形 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，可得结论． 【详解】解：由作图可知，平分，故A正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，故D 正确． ，故C正确． 无法判断是等边三角形， 综上所述：正确结论是ACD，错误的是B， 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F为边和上的动点，，则的最小值 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交与，作关于的对称点，连接，证明，可得，，为菱形对角线的交点，，连接，证明三点共线，可得，，再进一步求解即可； 【详解】解：如图，连接，交与，作关于的对称点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，，为菱形对角线的交点； ∴， 连接， 由轴对称的性质可得：，， ∴三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. 8．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知：如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)延长至点，使，连接、求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了菱形的判定以及复杂作图，正确把握菱形的判定方法是解题关键． 直接利用角平分线的作法得出点位置，进而得出答案； 利用菱形的判定方法得出答案． 【详解】（1）解：如图1，为所求作的的平分线； （2）证明：如图2， 平分， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形．     又， 四边形是菱形． 9．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，再结合矩形的性质得到，最后利用勾股定理求解，即可得到的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，对角线与相交于点 O， ， 四边形是菱形； （2）解：，四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 于点 E， ． 10．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边三角形，连接，，． (1)①填空：________，________； ②当时．求证：，； (2)如图，当时，连接，若，求的长； (3)如图，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，；②证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）①根据菱形的性质可得出，用勾股定理，即可求出，的值，再根据菱形的性质和，即可得出为等边三角形，即可求出的值；②由等边三角形和菱形的性质即可得出，从而得出，，再根据，可得，即． （2）根据， ，，由勾股定理可得，同（1）证明过程相同，证明，，用勾股定理即可求出的长． （3）同（1）证明过程相同，证明，，用勾股定理即可求出，由，得，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）①解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， 化简即可求出， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为，． ②证明：当时，点在线段上 ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当时，点在线段上， ∵，， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：当时，点在线段的延长线上， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的全等，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）首先由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，又由，，可证得四边形是平行四边形，即可判定四边形是菱形； （2）根据以及，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，E，F分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形？（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由菱形的判定即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 、分别是、的中点， ，， ． 四边形是平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是菱形， 连接 证明如下：，点是的中点， ， 平行四边形是菱形． 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接并延长到点F，使． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件：______使四边形为菱形（不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）由是的中点，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）添加，由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴； （2）解：添加， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图．菱形的对角线和交于点，分别过点作，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可得的长，再利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 则在中，． 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）作图：在内作菱形． 要求： （1）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法完成作图． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一条线段等于已知线段和作已知线段的垂直平分线，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）截取，然后连接，则四边形是菱形； （2）连接，作的垂直平分线，交和于点H，G，连接，，则四边形是菱形． 【详解】如图，四边形和四边形即为所作． 16．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)． 【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； （2）解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； （3）解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示：    则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 17.（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接． (1)请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是________________，并进行证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析； (2)． 【分析】（）添加的条件为．证明四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得，利用勾股定理求出，得到，再利用菱形的面积即可求出的长； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：添加的条件为．                               证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴，     ． ( 题型0 3 ) 正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，先证，得出，根据正方形的性质以及勾股定理，可知的长，根据即可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∵于点， ， ∵于点， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，．分别以为边在的同侧作正方形，点M刚好在上，点N刚好在的延长线上，四块阴影部分的面积，四边形的面积记为，四边形的面积记为的面积记为，的面积记为，则等于（    ） A．18 B． C．29 D． 【答案】D 【分析】过N作的垂线交于H，通过证明，，得出；证明，可得出；证明，得出，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：过N作的垂线交于H，则 ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∵四边形为正方形， ∴， 又，∴， ∴， 又 ∴， ∴， 同理可得， ∴． 由，∴， ∴，又， ∴， ∴， 又四边形为矩形，∴， ∴． 同理可证明， ∴， ∵，． ∴，， 设， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，利用转化思想将各个图形的面积转化为已知的面积． 3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知正方形的顶点在直线上，点在第一象限，若正方形的面积是34，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过点C作轴交x轴于点F，过点B作交的延长线于点E，交y轴于点D，根据正方形的性质和勾股定理求出，然后证明出，得到，，设，则，，然后列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点C作轴交x轴于点F，过点B作交的延长线于点E，交y轴于点D， ∵已知正方形的顶点B在直线上， ∴设 ∴ ∵正方形的面积是34， ∴， ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形内，作等边三角形，连接，．则 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质即可得到结论．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知；正方形的边长是4，F是边的中点，E是上的点，且，如图，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，连接，延长交延长线于点G，由正方形的性质得到，，设，则，由勾股定理求出，再证明，得出即可求证，掌握相关知识是解题关键． 【详解】证明：连接，延长交延长线于点G，如图： ∵正方形， ， ， ， ∴设，则， 在中，， ∵点F是中点， ∴， ∵， ， ， ， ， 又∵ ． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 7．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）（1）如图1．在正方形中，点分别在上，且．垂足为，那么与的数量关系为______． （2）如图2，在正方形中，点分别在上．且，垂足为，证明：． （3）如图3，将边长为的正方形纸片沿折叠．使得点落到边上．若．求和的长．    【答案】（1）相等；（2）证明见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、对称原理及其应用问题；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． （1）根据正方形的性质证明，即可得出结论； （2）可过点作，证明即可得出结论． （3）借助对称原理，根据勾股定理即可求出、的长；利用第（2）问中的结论即可获得的长． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 故答案为：相等； （2）如图所示，过点作，交于，    则四边形为矩形； ； ，， ，， ； 在与中， ， ． （3）如图，连接； 设，则； 由对称原理得：，，；由问题（1）知：； 四边形为正方形， ； 由勾股定理得：，； ，解得， ∴，． 8．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）（1）【阅读理解】数学综合实践小组在研究正方形有关的问题时，发现这样一个问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．” 小聪经过研究，认为过点作于点，先证明，再证明，可以得到；小明也有自己的想法，认为延长交的延长线于点，只需要证明，也可以得到． 请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】小聪和小明通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明（如图②）；若不同意，请说明理由． （3）【拓展延伸】由上面的探究发现：只要四边形满足__________，其他条件不变，始终成立． 【答案】（1）见解析（2）同意，证明见解析（3）（或或） 【分析】（1）延长交的延长线于点，要证明，只要证明是等腰三角形，再证明是的中点就可以证得． （2）同（1），延长交的延长线于点，要证明，只要证明是等腰三角形，再证明是的中点就可以证得； （3）根据（1）（2）可得只要，同（1）的方法，即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，延长交的延长线于点． 在正方形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． （2）解：仍然成立．理由如下： 如图2，延长交的延长线于点， 在平行四边形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． （3）如图，延长交的延长线于点， 在四边形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形内一点，，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，得出，设，在四边形中，根据四边形内角和即可解得，即可求解； （2）①过作， 且， 连接交于点， 连接．根据四边形为正方形，得出结合， 且，证出四边形为平行四边形，得出， 且，由（1）知，得出，证明，得出，即，在等腰中 ，根据勾股定理得出，即可证出； ②根据题意以及①可得，得出，根据勾股定理得出，根据，得出垂直平分线段，根据等面积法得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理算出，再算出，由①得，证明，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ， ， ， ∴可设， 在四边形中，， 解得：， 则：； （2）解：①过作， 且， 连接交于点， 连接． ∵四边形为正方形， ∴ ∵， 且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰中 ，， ； ②根据题意以及①可得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线． 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，，，对角线 相交于点，过 作 于点，将沿 折叠，点恰好落在线段的点处， 则的长为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，折叠的性质，由矩形的性质及勾股定理可得，进而由三角形的性质可得，再由勾股定理得，即可由折叠的性质得，最后由线段的和差关系即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由折叠可得：，，，，，求解，设，则，再进一步利用勾股定理计算即可； 【详解】解：∵正方形， ∴设，， 由折叠可得：，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理建立方程求解是关键. 3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】通过证明，推出，，判断①正确；过点A作于点，根据证明和，推出是等腰直角三角形，由勾股定理计算得出，②正确；证明，推出，得到是的平分线，；③正确；推出，再由，计算即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，即点F是的中点；①正确； 过点A作于点，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 延长交于点，作，， ，， ，， 在中，， ． ∵， ， ， ，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，②正确； 在与中， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线， ∴；③正确； 在等腰与等腰中， ， ， ， 四边形是正方形，，， ，， ， ，④错误， 综上，①②③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质以及平行四边形的性质得出点F的运动轨迹是在上，，再根据等面积法得，证明，得出轴对称的性质以及矩形的判定得，运用勾股定理进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵点E是对角线上的动点，连接，以为边作， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵点E是对角线上的动点， ∴点F的运动轨迹是在上， 如图：过点C作，过点A作， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵在矩形中，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 过点作的对称点，交于一点G， 此时， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 过点作直线交的延长线于一点R ∴在中， 连接，设 在， 即 解得 ∴ 在， 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质以及勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点F为中点，折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形性质得，结合折叠性质，得，，证明，结合点F为中点，得出是等边三角形，则，，在中，，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示：连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点F为中点 ∴ ∵ ∴ 即是等边三角形 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ 在中， 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，边 的长为，点 分别在 上，连接 ， 与 相交于点 ，若四边形 是菱形，且，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据矩形和菱形的性质可利用“”证明，即得出，由，即可证明，继而可再次利用“”证明，即得出，从而可求出，最后由含角的直角三角形的性质即可求出答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，垂足为点，由菱形的性质可得，，即得，可得，即可得，进而可得，，即可判断①；证明可得，可得，即可判断②；由全等三角形的性质得，可得，即可判断③；由全等三角形的性质可得为等边三角形，当为的中点时，可得，此时最小，则最小， 进而可得最大，由的周长，可得此时的周长最小，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：①过点作，垂足为点，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故①正确； ②连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 当为的中点时， ∵， ∴，此时最小，则最小， 由③知定值，可得最大， ∵，最小， ∴最小， ∵的周长， ∴此时的周长最小，故④不正确； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 8．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论： ①四边形是菱形； ②当时，平分； ③当点与点重合时，； 其中正确的结论有 （把所有正确结论的序号都写在横线上）． 【答案】①②③ 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；当时，求出，根据菱形的性质，得到平分，判断出②正确；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的值，判断出③正确．本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； ∴，， ∵四边形是菱形 ∴ ∵ 平分，故②正确； 点与点重合时，设，则， 在中，， 即， 解得， ，故③正确； 综上所述，结论正确的有①②③． 故答案为：①②③． 9．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②； ③；     ④周长的最小值为6． 其中正确的结论有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③④ 【分析】连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；延长交于H，证明，即可判定③；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定④． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 延长交于H， ∵正方形， 平分， ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ，故③正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题为四边形综合题，综合考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题；充分利用正方形是轴对称图形是解题的关键． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形内含两个正方形和正方形，使点F，I落在边上，E，J分别落在边上，且，当，，三点共线时，则的长是 ．    【答案】 【分析】过点作，的延长线交于，设，证明和全等得，，则，，，同理证明得，，则，，，，由勾股定理得，，则，进而得，再根据得，由此解出，进而在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，的延长线交于，如下图所示：    设， 四边形为正方形， ，， 四边形，四边形均为矩形， ， 四边形和四边形均为正方形，且， ，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 同理：， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， ， 整理得：， ， ，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； (2)在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接，交于点，连接，延长交一点，连接，延长交网格线一点，连接，四边形即为所求； （2）取格点，作直线交于点，交一点，连接，取格点，连接，取格点，，连接交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 点，四边形即为所求； （2）解：如图所示： 直线，四边形即为所求． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， (1)如图（1），若，点F在边上，求长度； (2)如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； (3)如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 【答案】(1)4 (2)3 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得到结果； （2）先作辅助线，根据已知条件证得两个三角形全等，根据勾股定理可求得结果； （3）当翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时求出的值，即可． 【详解】（1）解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 设，则， ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴，， ∵，， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴； （3）解：取正方形的对角线的中点O，如图所示： ∵的中点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当取最小值时，即翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时的值即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取最小值时，此时． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、用勾股定理解三角形、正方形的性质，数形结合，灵活掌握知识点是解题的关键． 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于直线对称， ∴，，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于直线对称， ∴， 在中，， ∴ ， 在中，，， ∴， 解得， ∴菱形的边长为； 当点与点重合时， 如图，点离点最近， 由知，此时； 当点与点重合时， 如图，点离点最远， 此时四边形为正方形，， ∴点在边上移动的最大距离为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，，②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①证明是等边三角形，，，，再进一步解答即可；②由等边三角形，是等边三角形，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）得：，，，，求解，可得，结合（2）同理可得：， ，同理：，再进一步可得答案； （3）由（1）同理可得：，求解，同理：，而，，再进一步利用勾股定理可得答案； 【详解】（1）解：①在菱形中，，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）得：，，，， ∵， ∴， ∴， 结合（2）同理可得：， ∴， 同理：， ∴； （3）解：由（1）同理可得：， ∵，， ∴， 同理：，而，， ∴，； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用类比的方法解题是关键. 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形为菱形，点是的中点，作，连接． (1)若，且平分的外角． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，交于点，若，求的长； (2)如图3，若，，连接，交于点，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键 （1）①由证明，可得；②由全等三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，可求，再由面积法即可得解； （2）由可证，可得，，由直角三角形的性质可得，，由证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ， ∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，取的中点，连接，作于，连接， ， 由①可得：， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接，作交于，作于， ， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，连接，判断的形状？并说明理由； (3)如图3，若，，，是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质. （1）平行四边形的性质可得, 再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再由条件四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形即可解题； （2）先判断出, 根据等腰三角形的性质得出, 进而得出, 即可得出, 得出, 由, 得出是等边三角形, , 进而得出是等边三角形； （3）首先证明四边形为正方形，再证明 可得,, 再根据可得到是等腰直角三角形，由 等腰直角三角形的性质注即可求出的值. 【详解】（1）∵平分 ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴； （2）是等边三角形，理由为： ∵四边形是平行四边形, ， ∵, ∴, ∵, ∴, 由（1）知, 四边形是菱形, ， ∴, ∴为等边三角形, , ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的平分线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, 在和中 ， ， ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形； （3）如图所示: 连接,， ∵, 四边形是平行四边形, ∴四边形是矩形, ∴, 又由（1）可知四边形为菱形, ∴, ∴四边形为正方形. ∵, ∴, ∵为中点, ∴, ∴, 在和中, ∴. ∴， ∴是等腰直角三角形. ∵, 在中, 又∵,． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形 题型概览 题型01矩形的性质与判定 题型02菱形的性质与判定 题型03正方形的性质与判定 ( 题型0 1 ) 矩形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，且，与之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，中，，，，点在边上且，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，，矩形在的内部，顶点A，B分别在射线，上，，则点到点的最大距离是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，的两条对角线，相交于点O，是等边三角形，且，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若平分交于点E，且，连接，则 度． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 10．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 11．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则 ． 12．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，矩形中，，，沿折叠，使点D与点B重合，点C与重合． 折痕的长为 ． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为 ． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)小明连接，交于点，作射线，他说“就是的平分线”，你能说明理由吗？ 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，求的面积． 17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，在矩形中． (1)若点F是矩形边上一点，点E在边上，连接，． ①如图1，点F在边上，且，连接．求的度数； ②如图2，点F在边上，且，连接交于点G，过C作交于H．求的度数． (2)如图3，在矩形中，若E是边上一动点，将沿折叠后得到，点N在矩形内部（不含边），射线分别交射线，射线于点M，F，，． ①当点E是的中点时，求线段的长； ②点E在运动过程中，求出的周长的最小值． 18．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形是矩形（不需要说明理由）． 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点，分别在平行四边形的边，上，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 20．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，M，N是上两点，，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 21．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 22．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． (1)若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ ( 题型0 2 ) 菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）若菱形的周长为8，高为，则菱形两邻角的度数比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（    ） A．平分 B．是等边三角形 C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F为边和上的动点，，则的最小值 ． 8．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知：如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．(不要求写作法，保留作图痕迹) 9．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 10．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边三角形，连接，，． (1)①填空：________，________； ②当时．求证：，； (2)如图，当时，连接，若，求的长； (3)如图，当时，连接，若，直接写出的长． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，E，F分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形？（不需要说明理由） 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接并延长到点F，使． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件：______使四边形为菱形（不需要说明理由）． 14．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图．菱形的对角线和交于点，分别过点作，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当时，求的长． 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）作图：在内作菱形． 要求： （1）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法完成作图． 16．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 17.（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接． (1)请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是________________，并进行证明； (2)若，，求的长． ( 题型0 3 ) 正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，．分别以为边在的同侧作正方形，点M刚好在上，点N刚好在的延长线上，四块阴影部分的面积，四边形的面积记为，四边形的面积记为的面积记为，的面积记为，则等于（    ） A．18 B． C．29 D． 3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知正方形的顶点在直线上，点在第一象限，若正方形的面积是34，则点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形内，作等边三角形，连接，．则 ． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知；正方形的边长是4，F是边的中点，E是上的点，且，如图，求证：． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 7．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）（1）如图1．在正方形中，点分别在上，且．垂足为，那么与的数量关系为______． （2）如图2，在正方形中，点分别在上．且，垂足为，证明：． （3）如图3，将边长为的正方形纸片沿折叠．使得点落到边上．若．求和的长．    8．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）（1）【阅读理解】数学综合实践小组在研究正方形有关的问题时，发现这样一个问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．” 小聪经过研究，认为过点作于点，先证明，再证明，可以得到；小明也有自己的想法，认为延长交的延长线于点，只需要证明，也可以得到． 请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】小聪和小明通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明（如图②）；若不同意，请说明理由． （3）【拓展延伸】由上面的探究发现：只要四边形满足__________，其他条件不变，始终成立． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形内一点，，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，，，对角线 相交于点，过 作 于点，将沿 折叠，点恰好落在线段的点处， 则的长为 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（    ） 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为 ． 5．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点F为中点，折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G，若，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，边 的长为，点 分别在 上，连接 ， 与 相交于点 ，若四边形 是菱形，且，则边的长为 ． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 8．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论： ①四边形是菱形； ②当时，平分； ③当点与点重合时，； 其中正确的结论有 （把所有正确结论的序号都写在横线上）． 9．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②； ③；     ④周长的最小值为6． 其中正确的结论有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形内含两个正方形和正方形，使点F，I落在边上，E，J分别落在边上，且，当，，三点共线时，则的长是 ．    11．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； (2)在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， (1)如图（1），若，点F在边上，求长度； (2)如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； (3)如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形为菱形，点是的中点，作，连接． (1)若，且平分的外角． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，交于点，若，求的长； (2)如图3，若，，连接，交于点，则的值为______（直接写出结果）． 16．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，连接，判断的形状？并说明理由； (3)如图3，若，，，是的中点，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$