专题07 分式方程（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题07 分式方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 解分式方程 2026 无锡卷、2026 镇江卷、2026 宿迁卷 题型包含选择、解答计算题。核心步骤为去分母转化为整式方程求解，必须检验增根；选择题常直接判定方程解，解答题侧重规范解题步骤，属于基础计算题型。 考点 02 分式方程与实际问题 2026 徐州卷、2026 扬州卷、2026 连云港卷 以解答大题为主，背景包含行程、工程效率、古代数学文化等；依托等量关系列分式方程，求解后检验增根与实际意义，题干文字信息量大，重点考查阅读建模能力。 考点01 解分式方程 1．（2026·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）解方程：． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）解方程：． 考点02 分式方程与实际问题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高，且乙型机器人搬运货物比甲型机器人搬运货物少用10分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物． 3．（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 1．（2026·江苏苏州·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 2．（2026·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏镇江·二模）镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 6．（2026·江苏南通·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南通·一模）2026年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏扬州·二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 14．（2026·江苏无锡·三模）分式方程的解为______． 15．（2026·江苏苏州·二模）若关于的方程有增根，则的值是_______． 16．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 17．（2026·江苏无锡·二模）我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 18．（2026·江苏宿迁·一模）关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____． 19．（2026·江苏宿迁·二模）一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗． 20．（2026·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 21．（2026·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是_______． 22．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 23．（2026·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 24．（2026·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 25．（2026·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 26．（2026·江苏盐城·模拟预测）解分式方程：． 27．（2026·江苏盐城·二模）解方程：． 28．（2026·江苏扬州·三模）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 29．（2026·江苏扬州·二模）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 30．（2026·江苏徐州·三模）某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 31．（2026·江苏南京·二模）某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌．改进后，一块菜地平均每天用水量为原来的一半，水可以使用的天数比原来多天．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水多少吨？ 32．（2026·江苏扬州·三模）“绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治1800米所用的时间与乙工程队整治1200米所用的时间相等．求甲工程队每天整治河道多少米？ 33．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 34．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 35．（2026·江苏扬州·二模）“2026苏超”赛事热度持续攀升，扬州赛区文旅打造了文创产品“包赢”系列，“包赢”取“包你赢”的美好谐音．某店销售“包赢”主题玩偶，为了惠民，实际销售时进行打折销售，打折后的售价比原价少8元/个，打折后用1200元购买的玩偶数量与按原价用1360元购买的数量相同．求打折后玩偶的销售单价． 36．（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 37．（2026·江苏徐州·二模）徐州汉画像石馆自免费开放以来，吸引了大量游客前往参观．小六家距离汉画像石馆．周末，小六从家出发骑自行车前往参观，出发后，爸爸发现小六忘了带学生证，立即骑摩托车沿同一路线去追赶．已知摩托车的平均速度是自行车平均速度的倍，结果爸爸比小六提前到达．求小六骑自行车的平均速度是多少？ 38．（2026·江苏盐城·模拟预测）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 39．（2026·江苏宿迁·三模）随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 40．（2026·江苏泰州·二模）某练习上有这样一道题：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．下面是小潘和小罗的解答过程： 小潘的解答（全部）： 小罗的解答（部分）： 解：设甲队每天修路的长度为米． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 答：甲队每天修路70米． 解：设甲队修路700米所用时间为天． ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… (1)批阅过程中，小潘被扣分了，你认他被扣分的主要原因是： ； (2)批阅过程中，小罗得到了满分，请写出小罗的解答过程． 41．（2026·江苏连云港·二模）中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； (3)求型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 42．（2026·江苏盐城·一模）为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式方程 1年真题1年模拟 考点01 解分式方程 1．A 2． 【答案】 3． 【答案】 考点02 分式方程与实际问题 1． 【答案】 甲所用的时间为 2． 【答案】甲型机器人每分钟搬运货物，乙型机器人每分钟搬运货物 3． 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A A B D B B A 题号 11 12 13 答案 D A B 14． 15． 16．10 17． 18．，且 19．6 20．且 21．且 22．且 23．且 24． 25．，且 26．原方程无解 27．无解 28．8天 29．A型号客车载客量为60人，B型号客车载客量为45人 30． 购买一个A种机器人需60万元，购买一个B种机器人需65万元 31．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨． 32．900米 33．甲每小时加工50件 34．每获得1个碳积分需要步行60步 35．打折后玩偶的销售单价为60元/个 36．姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 37． 小六骑自行车的平均速度是 38．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)整数的值为或． 39．(1)A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； (2)购买A型健身器材20台，52000元． 40．(1)分式方程未检验 (2) 解得： 经检验：是原方程的解 答：甲队每天修路的长度70米． 41．(1) (2) (3)150件 (4)采购A型号机器人30台时所需费用最低，最低费用为130万元 42．(1)编程机器人价格为850元；无人机价格为1000元 (2)购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式方程 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 解分式方程 2026 无锡卷、2026 镇江卷、2026 宿迁卷 题型包含选择、解答计算题。核心步骤为去分母转化为整式方程求解，必须检验增根；选择题常直接判定方程解，解答题侧重规范解题步骤，属于基础计算题型。 考点 02 分式方程与实际问题 2026 徐州卷、2026 扬州卷、2026 连云港卷 以解答大题为主，背景包含行程、工程效率、古代数学文化等；依托等量关系列分式方程，求解后检验增根与实际意义，题干文字信息量大，重点考查阅读建模能力。 考点01 解分式方程 1．（2026·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解． 考点02 分式方程与实际问题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 【答案】 甲所用的时间为 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，得出方程解方程，最后求出所用时间即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高，且乙型机器人搬运货物比甲型机器人搬运货物少用10分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少货物． 【答案】甲型机器人每分钟搬运货物，乙型机器人每分钟搬运货物 【分析】设甲型机器人每分钟搬运货物，根据效率关系表示出乙型机器人的搬运效率，再结合题目给出的时间差关系列分式方程求解，最后检验得到结果． 【详解】解：设甲型机器人每分钟搬运货物， 根据题意，乙型机器人效率比甲型高， ∴乙型机器人每分钟搬运， ∴甲型搬运货物的时间为分钟，乙型搬运货物的时间为分钟， ∵乙型搬运比甲型少用10分钟， ∴ 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（千克）， 答：甲型机器人每分钟搬运货物，乙型机器人每分钟搬运货物． 3．（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是 1．（2026·江苏苏州·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解． 2．（2026·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． 3．（2026·江苏镇江·二模）镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的应用，关键是从图象获取甲、乙两船行驶百公里时的耗油量，根据耗油量差列方程． 【详解】解：由图象知，出发前两船油箱都有600L油， 当行驶路程为百公里时，两船剩余油量分别为360L和300L， 甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡少， 甲轮渡剩余油量较多，即甲剩余360L，乙剩余300L， 行驶百公里，甲耗油，乙耗油， 甲每百公里耗油，乙每百公里耗油， 由题意得：． 4．（2026·江苏无锡·二模）我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 5．（2026·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】解分式方程用含的代数式表示出分式方程的解，再根据解为正数且分式分母不为，列出不等式求解得到的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， 又∵分式分母不能为， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是且． 6．（2026·江苏南通·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量，根据时间公式列方程即可. 【详解】解：∵设甲机器人每天做个零件，两种机器人每天共做140个零件， ∴乙机器人每天做个零件， ∵ 时间总零件数每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， 根据等量关系可得 . 7．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 8．（2026·江苏南通·一模）2026年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式“时间=路程÷速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到达的时间关系列出方程即可 【详解】解：∵设乙选手的平均速度为， ∴甲选手的平均速度为. ∵总路程为，时间， ∴乙跑完全程的时间为，甲跑完全程的时间为. ∵甲比乙提前分钟到达，统一单位得分钟，且乙的用时大于甲的用时， ∴可列方程 9．（2026·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．求的汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了．等量关系为：原来时间现在时间2． 【详解】解：设汽车原来的平均速度是， 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， 所以，汽车原来的平均速度是． 故选：B． 10．（2026·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设善行者走里时就赶上了不善行者，当善行者开始出发到善行者追上不善行者时，不善行者所走的路程为里，当善行者走100里时，不善行者走了里，据此列出方程即可． 【详解】解：设善行者走里时就赶上了不善行者， 根据题意得， 故选：A． 11．（2026·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为， 由题意得：， 故选：． 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，由“少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费”，可得出一株椽的价格为文，结合单价总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意得一株椽的价格：文， 则． 故选：A． 13．（2026·江苏扬州·二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 14．（2026·江苏无锡·三模）分式方程的解为______． 【答案】 【详解】解： 变形得 两边同乘得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解是． 15．（2026·江苏苏州·二模）若关于的方程有增根，则的值是_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值； 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得， ∵方程有增根， ∴，即， 将代入，得． 16．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 【答案】10 【分析】根据概率计算公式，设总中性笔数量为未知数，结合已知的红色笔概率列出方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设小刚一共有中性笔支，则红色中性笔的数量为支， 由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解. 17．（2026·江苏无锡·二模）我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 18．（2026·江苏宿迁·一模）关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____． 【答案】，且 【分析】先解分式方程，由分式方程解为正数得到分母不为零且，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 关于的分式方程解为正数， ，且， 解得，且． 19．（2026·江苏宿迁·二模）一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗． 【答案】6 【分析】根据概率公式可得，则，再由概率公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵没有放入白色小球前，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是， ∴， ∴，即， ∵再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原来盒中有白色小球6颗． 20．（2026·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 21．（2026·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， 当时，， ∴且， 故答案为：且． 22．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 23．（2026·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 24．（2026·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 25．（2026·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】，且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤． 利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围． 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且， 故答案为：，且． 26．（2026·江苏盐城·模拟预测）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】确定分式方程的最简公分母为，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解转化后的整式方程，得到整式方程的解．检验，整式方程的解使原分式方程的分母为0，原分式方程无解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴ 是原方程的增根，                 ∴原方程无解． 27．（2026·江苏盐城·二模）解方程：． 【答案】无解 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 28．（2026·江苏扬州·三模）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】8天 【分析】设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天，则快马的时间为天，慢马的时间为天， 根据题意，得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：规定时间是8天． 29．（2026·江苏扬州·二模）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 【答案】A型号客车载客量为60人，B型号客车载客量为45人 【分析】本题考查分式方程的应用，设A型号客车载客量为x人，则B型号客车载客量为人，根据“用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设A型号客车载客量为x人，则B型号客车载客量为人， 根据题意，得 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意 答：A型号客车载客量为60人，则B型号客车载客量为45人． 30．（2026·江苏徐州·三模）某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】 购买一个A种机器人需60万元，购买一个B种机器人需65万元 【分析】设A种机器人的单价，根据B种机器人单价比A种贵5万元表示出B种单价，再结合“1200万元购进A种机器人的数量是650万元购进B种机器人数量的2倍”这一等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设购买一个A种机器人需要万元，则购买一个B种机器人需要万元， 根据题意列方程得 解得： 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则 ， 答：购买一个A种机器人需60万元，购买一个B种机器人需65万元． 31．（2026·江苏南京·二模）某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌．改进后，一块菜地平均每天用水量为原来的一半，水可以使用的天数比原来多天．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨． 【分析】设浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水x吨，则原来平均每天用水吨．，再根据“水改进后可使用天数比原来多10天”的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水x吨，则原来平均每天用水吨． 根据题意列方程得：，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨． 32．（2026·江苏扬州·三模）“绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治1800米所用的时间与乙工程队整治1200米所用的时间相等．求甲工程队每天整治河道多少米？ 【答案】900米 【分析】设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道米，根据时间相等列出分式方程即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道米， 依题意，得  ， 解这个方程，， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲工程队每天整治河道900米． 33．（2026·江苏扬州·一模）“鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 【答案】甲每小时加工50件 【分析】设甲每小时加工x件，根据“乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同”列方程求解． 【详解】解：设甲每小时加工x件， 根据题意得： 解得， 经检验：是原方程的解 答：甲每小时加工50件． 34．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 35．（2026·江苏扬州·二模）“2026苏超”赛事热度持续攀升，扬州赛区文旅打造了文创产品“包赢”系列，“包赢”取“包你赢”的美好谐音．某店销售“包赢”主题玩偶，为了惠民，实际销售时进行打折销售，打折后的售价比原价少8元/个，打折后用1200元购买的玩偶数量与按原价用1360元购买的数量相同．求打折后玩偶的销售单价． 【答案】打折后玩偶的销售单价为60元/个 【详解】解：设打折后玩偶的销售单价为元个，则原价为元/个，由题意得： 解得：，经检验是原方程的根 答：打折后玩偶的销售单价为60元/个． 36．（2026·江苏常州·一模）为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 【答案】姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系“时间路程速度”，根据骑电瓶车比开私家车多花8分钟的等量关系列分式方程求解，解题时需要统一时间单位，分式方程求解后要检验． 【详解】解：设姜老师骑电瓶车的平均速度为每小时公里，则开私家车的平均速度为每小时公里． 8分钟小时． 根据题意列方程得： 方程两边同乘得： 化简得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则开私家车的平均速度为（公里/小时） 答：姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 37．（2026·江苏徐州·二模）徐州汉画像石馆自免费开放以来，吸引了大量游客前往参观．小六家距离汉画像石馆．周末，小六从家出发骑自行车前往参观，出发后，爸爸发现小六忘了带学生证，立即骑摩托车沿同一路线去追赶．已知摩托车的平均速度是自行车平均速度的倍，结果爸爸比小六提前到达．求小六骑自行车的平均速度是多少？ 【答案】 小六骑自行车的平均速度是 【分析】设小六骑自行车的平均速度是，根据摩托车和自行车的行驶时间列分式方程即可 【详解】解：设小六骑自行车的平均速度是， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：小六骑自行车的平均速度是. 38．（2026·江苏盐城·模拟预测）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 39．（2026·江苏宿迁·三模）随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； (2)购买A型健身器材20台，52000元． 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值， 最小为：（元）． 40．（2026·江苏泰州·二模）某练习上有这样一道题：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．下面是小潘和小罗的解答过程： 小潘的解答（全部）： 小罗的解答（部分）： 解：设甲队每天修路的长度为米． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 答：甲队每天修路70米． 解：设甲队修路700米所用时间为天． ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… (1)批阅过程中，小潘被扣分了，你认他被扣分的主要原因是： ； (2)批阅过程中，小罗得到了满分，请写出小罗的解答过程． 【答案】(1)分式方程未检验 (2) 解得： 经检验：是原方程的解 答：甲队每天修路的长度70米． 【分析】（1）根据运用分式方程解决实际问题及解分式方程的步骤即可解答； （2）根据“乙队每天比甲队多修30米”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：他被扣分的主要原因是分式方程未检验． （2）略 41．（2026·江苏连云港·二模）中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； (3)求型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2) (3)150件 (4)采购A型号机器人30台时所需费用最低，最低费用为130万元 【分析】（1）由题意可直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件，利用时间关系列方程，然后解分式方程即可； （4）设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元，总费用表示为，再确定的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：随机抽取一台机器人分拣快递，抽取到B型号分拣机器人的概率为； （2）解：画树状图： 共有20种等可能的结果，其中抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数为8； 因此抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率为：； （3）解：设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件， 列方程：， 解方程得：； 经检验，为原方程的解； 当时，； 答：A型机器人每分钟分拣快递150件． （4）解：设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元， 总费用表示为， 根据题意列不等式组：，且； 解得：，且为整数； 由于中，随的增大而增大， 因此当时，取得最小值，最小值为130． 答：采购A种型号的机器人30台时，所需费用最低，最低费用是130万元． 42．（2026·江苏盐城·一模）为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)编程机器人价格为850元；无人机价格为1000元 (2)购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 【分析】（1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 【详解】（1）解：设编程机器人的单价为x元，则航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则； 答：编程机器人价格为850元；航拍无人机价格为1000元； （2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为10800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $