专题03 平行四边形（2大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质 题型02平行四边形的判定 ( 题型01 ) 平行四边形的性质 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平行四边形 中， 且 为垂足．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，由平行四边形的性质得，进而由平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点E是平行四边形边上一点，且，平行四边形的面积为24，则四边形的面积（    ）． A．等于9 B．等于12 C．等于16 D．不能确定 【答案】C 【分析】该题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是根据题意画出图形并得出． 根据题意得出即可求解； 【详解】解：如图，过点作交于点H， 则， ∵， ∴ ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）的周长为，的周长是，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对角线的长度的计算，结合平行四边形的性质和三角形的周长可得对角线的长度．先根据平行四边形的性质，首先计算的长度，再结合三角形的周长，进而计算对角线的长． 【详解】解：的周长为， ， 又的周长是， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角线互相平分是解本题的关键． 在中，根据三角形的三边关系可得，结合平行四边形的对角线互相平分，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故选C 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交BA的延长线于点E，，则AB的长为（    ） A．5 B．7 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．由平行四边形中，平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，为平行四边形外一点，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形内角和定理，根据已知可得，根据平行四边形的性质可得，进而根据四边形内角和为，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：D． 7．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（    ）    A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形，可得，由平行四边形，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴在动点E从点C向点D的运动过程中，平行四边形的面积始终不变， 故选：A． 8．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，，交于点O，则的长是（    ）    A． B．3 C．4 D．无法求出 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据平行四边形的性质得，，再根据中勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】四边形是平行四边形，， ，， ， ， 在中，，， ， ． 故选：A． 9．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，对角线相交于点，，则的面积是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求平行四边形面积，涉及平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，先由平行四边形性质得到,，进而在中，由勾股定理的逆定理确定是直角三角形，且，即，再由平行四边形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记平行四边形性质及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，对角线相交于点，， ，， 在中，，,，则，,，即， 是直角三角形，且，即， ， 故选：C． 10．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，相交于点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和勾股定理求出的长度，然后利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，已知中，，点E，F分别在边，上．若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的点G处，且，则 ． 【答案】 【分析】过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质得出，再根据三角形内角和即可得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理和折叠的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点 中， ， ， 折叠 故答案为：． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线交于点分别平分和，， ，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可证，由等腰三角形的性质，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ，，，， ， 平分， ， ， ， 又平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：1． 13．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点M，N分别是，与网格线的交点，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的定义，勾股定理的应用，利用全等三角形的性质证明，，可得为的中位线，，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，标注格点，    由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴为的中位线， ∴， ∵； ∴， 故答案为： 14．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）在平行四边形中，平分，平分，点、在上． (1)如图1，当点、重合时，请你经过推理后直接填空： ①与的数量关系为：________； ②与的位置关系为：________； ③、、的关系式为：_______； (2)如图2，当点在点左侧时，证明（1）中③的结论仍然成立； (3)如图3，当点在点右侧时，若，，则四边形的面积=________． 【答案】(1)①，②，③； (2)证明见解析； (3)5． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）四边形是平行四边形以及平分，平分，得出，再进行等角对等边，得出，结合三角形内角和性质以及平角的性质，得出，运用勾股定理列式化简，即可作答． （2）过点E作，交于点G，先证明四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，同理得，结合三角形内角和性质以及平角的性质，得出，运用勾股定理列式化简，即可作答． （3）先证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，得出在平行四边形中，平分，平分，与（1）同理得结合，，分别代入化简得，再分析四边形的面积高高，即可作答． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 则 ∴ 则 ∴； ③由勾股定理可得 即 （2）解：过点E作，交于点G 在平行四边形中 ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，则 ∴（1）中③的结论仍然成立 （3）解：如图：过点E作交直线于一点H，过点H作 ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 ∴ ∵在平行四边形中，平分，平分，点、在上． ∴在平行四边形中，平分，平分， 与（1）同理，得出 则 ∴ ∵，， ∴， 则 ∴ 则 ∵ ∴ ∵四边形的面积高，平行线的距离处处相等 ∴四边形的面积高高 ∴四边形的面积 15．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，、分别平分、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质，得到，结合角平分线的性质，得到，再利用三角形外角的性质，得出，即可证明平行． 【详解】证明：为平行四边形， ，，， ， 、分别平分、， ，， ， ，， ， ． 16．（23-24八年级下·湖北随州·期末）如图，E，F分别为平行四边形的边，上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证明，即可证明结论． 【详解】证明：在平行四边形中，，， 在与中， ， ∴， ∴． ( 题型02 ) 平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的判定定理． 【详解】解：A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D．只能得到一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，点分别在边上，且，连接，点M是的中点，点N是的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至，使得，连接，作于． 点是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，点分别是的边上的中点，按以下步骤作图：①以为圆心．任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可得，，由平行线的性质得出，然后根据作图可得，等量代换得出，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵点分别是的边上的中点， ∴，，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理进行推理计算是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）依据如图所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据角度可知四边形只有一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故A错误； B．两组对边分别相等能判定四边形是平行四边形，故B正确； C．根据角度可知四边形只有一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故C错误； D．一组对角相等的四边形不能判断四边形是平行四边形，故D错误． 故选B． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据选项中的条件，结合平行四边形的判定定理验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、四边形的对角线，相交于点，，， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； B、四边形中，，， 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； C、四边形中，，，是一组对边平行、另一组对边相等， 不能判断四边形是平行四边形， 选项符合题意； D、四边形中，， ， ， ， ， 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断A，再根据等腰梯形的性质判断B，然后根据平行四边形的定义判断C，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断D即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形． 可知A不符合题意； 由，， 可知四边形可能是等腰梯形． 则B符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 则C不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 则D不符合题意． 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使得，连接．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，由得，进而得到，即可求证； （）由，可得，，进而由勾股定理逆定理可得为直角三角形，，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，最后根据平行四边形的性质即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平行四边形中，点E为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)若，请在图1中的延长线上找点F，使，再在上找点G，使； (2)如图2，点P为边上一点，请在图2中上找点H，，再在上找点K，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点F，连接、交于点O，连接并延长交于点G， （2）连接、交于点O，连接，延长交于点H，连接、，延长交于点J，连接，延长交于点K． 【详解】（1）解：如图，点F、G即为所求； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即； （2）解：如图，点H、点K即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∴点J是的中点，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图−复杂作图、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分．    【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据三角形的中位线，可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】证明：∵点分别是的中点， ∴， ∵三点共线，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与相互平分． 1．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，平行四边形的周长为相交于点交于点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，是线段的垂直平分线，结合三角形的周长计算公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且周长为 ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线交于点， ∴点是的中点，即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：B ． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（    ）                       甲方案     乙方案                              丙方案 甲方案：在上取连接、、、    乙方案：作于点，于点．连接、． 丙方案：作、分别平分、，分别交于点、，连接， A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确； 丙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确， 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，由垂线段最短可得当时，最短，由平行四边形对角线互相平分得，根据勾股定理得, 根据等积关系得，从而可求出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点在上， ∴当时，最小， ∵是对角线， ∴是的中点， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形和四边形都是平行四边形，，过点E作交的延长线于点F，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质，得出，，进而得到，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形和四边形都是平行四边形，，， ，，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 故答案为： 5．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时， 在中，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】以为边向上构造等边，连接，，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由平行四边形的判定方法得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得 ，作，取中点，连接，，由勾股定理得，，由，即可求解． 【详解】解：以为边向上构造等边，连接，，   ， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形为平行四边形， 点为中点， 过点， ， 如图，作，取中点，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为； 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，构建等边三角形，找出取得最大值的条件是解题的关键． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则 【答案】9 【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解； 【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接． ， ， ， O为中点， ， 延长使得，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：9． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 8．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图是边长为1个单位长度的小正方形纸成的倒格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中B、C，D都是格点，点A是线段（B的绳长线与栅格线的交点，仅用无刻度的度尺在给定的网格中画图． (1)把线段向右平移7个单位长度得到线段，画出线段： (2)作点F，使四边形为平行四边形； (3)在上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图平移变换，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用平移变换的性质作出图形即可； （2）取格点Q，连接，再延长交格线于F，则点F即为所求； （3）取格点P，连接，延长交与点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，四边形，点即为所求． （3）解：如图，点即为所求． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； (2)在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形，连接交于点，连接，延长交一点，点即为所求(证明，推出； （2）根据轴对称变化的性质求出点的对应点，取格点，连接交于点，连接，延长交于点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1中，四边形，点即为所求； 证明：∵， ∴是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：如图2中，点，直线即为所求． 证明：∵， ， ； ∴， 即是的线段垂直平分线， 故点F关于的对称是点P； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，由边长为的小正方形构成的网格，网格线的交点称为格点，，，均为格点，为线段与网格线的交点，请用无刻度直尺画图，并回答相关问题． (1)过点画平行且等于，并写出点到的距离______； 在上画点，使； 画； (2)连接，在取点，使． 【答案】(1)画图见解析，；画图见解析；画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）利用平移变换的性质作出图形，再利用面积法求出点到的距离； 构造等腰直角，交于点，点即为所求； 连接交网格于点，延长交网格于点，即为所求； （）取格点，连接交于点，连接即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）如图，根据平移的性质可知， ∴即为所求； 设点到的距离， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； 如图，构造等腰直角，交于点， 由网格可知是等腰直角三角形， ∴， ∴点即为所求； 连接交网格于点，延长交网格于点， 由网格可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴即为所求； （2）取格点，连接交于点，连接即可， 根据网格和勾股定理得：， ∴四边形是菱形， ∴， 又由网格可知：， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴即为所求． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质 题型02平行四边形的判定 ( 题型01 ) 平行四边形的性质 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平行四边形 中， 且 为垂足．如果，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点E是平行四边形边上一点，且，平行四边形的面积为24，则四边形的面积（    ）． A．等于9 B．等于12 C．等于16 D．不能确定 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）的周长为，的周长是，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交BA的延长线于点E，，则AB的长为（    ） A．5 B．7 C．3 D．2 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，为平行四边形外一点，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，点E是平行四边形的边上一动点，以为一条边作平行四边形，使点A始终在边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形的面积，下列说法正确的是（    ）    A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定 8．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，，交于点O，则的长是（    ）    A． B．3 C．4 D．无法求出 9．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，对角线相交于点，，则的面积是（    ） A．12 B． C． D． 10．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，相交于点，，，，则的面积为 ． 11．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，已知中，，点E，F分别在边，上．若将沿直线折叠，使得点A恰好落在边的点G处，且，则 ． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线交于点分别平分和，， ，则 ． 13．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点M，N分别是，与网格线的交点，则 ．    14．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）在平行四边形中，平分，平分，点、在上． (1)如图1，当点、重合时，请你经过推理后直接填空： ①与的数量关系为：________； ②与的位置关系为：________； ③、、的关系式为：_______； (2)如图2，当点在点左侧时，证明（1）中③的结论仍然成立； (3)如图3，当点在点右侧时，若，，则四边形的面积=________． 15．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，、分别平分、．求证：． 16．（23-24八年级下·湖北随州·期末）如图，E，F分别为平行四边形的边，上的点，，求证：． ( 题型02 ) 平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，中，，点分别在边上，且，连接，点M是的中点，点N是的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，点分别是的边上的中点，按以下步骤作图：①以为圆心．任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）依据如图所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使得，连接．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平行四边形中，点E为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)若，请在图1中的延长线上找点F，使，再在上找点G，使； (2)如图2，点P为边上一点，请在图2中上找点H，，再在上找点K，使． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分．    1．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，平行四边形的周长为相交于点交于点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（    ）                       甲方案     乙方案                              丙方案 甲方案：在上取连接、、、    乙方案：作于点，于点．连接、． 丙方案：作、分别平分、，分别交于点、，连接， A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形和四边形都是平行四边形，，过点E作交的延长线于点F，且，则的长是 ． 5．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是 ．    7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则 8．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图是边长为1个单位长度的小正方形纸成的倒格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中B、C，D都是格点，点A是线段（B的绳长线与栅格线的交点，仅用无刻度的度尺在给定的网格中画图． (1)把线段向右平移7个单位长度得到线段，画出线段： (2)作点F，使四边形为平行四边形； (3)在上找一点H，使． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，E，F都是格点，N在上，M在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，先以，为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； (2)在图（2）中，先画点F关于的对称点P，再过点M作的平行线l． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，由边长为的小正方形构成的网格，网格线的交点称为格点，，，均为格点，为线段与网格线的交点，请用无刻度直尺画图，并回答相关问题． (1)过点画平行且等于，并写出点到的距离______； 在上画点，使； 画； (2)连接，在取点，使． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$