专题01 二次根式（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题01 二次根式 题型概览 题型10二次根式有意义的条件 题型02二次根式的化简 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 题型05二次根式求值 题型06二次根式的运算 题型07二次根式的应用 ( 题型0 1 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）若二次根式有意义，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．3.5 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和解不等式，根据二次根式有意义的条件列出不等式解得a，再结合选项即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得，解得， ∵， ∴0满足要求， 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）二次根式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义、分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义、分式有意义的条件求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：C． 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于零是二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数不小于零，直接解答即可． 【详解】在实数范围内有意义， ， 则在四个选项中，只有时，在实数范围内有意义； 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（    ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行作答即可 【详解】解：依题意，∵二次根式在实数范围内有意义 ∴ ∴ 观察A、B、C、D四个选项，唯有3满足 故选：B 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）使式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，可得a的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）能使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，可得x-1≥0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：x-1≥0， ∴． 故选：A 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）若式子有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式意义的条件为被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． ( 题型0 2 ) 二次根式的化简 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型0 3 ) 最简二次根式 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式“（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．先将各式化简，再根据最简二次根式的定义判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【详解】解：A．是最简二次根式，故该选项符合题意； B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，判断即可． 【详解】解：A． 是最简二次根式，符合题意； B． ，则不是最简二次根式，不符合题意；     C． ，不是最简二次根式，不符合题意；     D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列整数能使为最简二次根式，则可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.当时，，无意义； B.当时，，不是最简二次根式； C..当时，，不是最简二次根式； D..当时，，是最简二次根式； 故选D ( 题型0 4 ) 同类二次根式 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．根据同类二次根式可以合并判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴能与合并的是， 故选：B． ( 题型0 5 ) 二次根式求值 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，首先把进行化简，然后根据是整数确定的最小值． 【详解】解：，且是整数， 是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整数平方的数） 的最小值是6． 故答案为6． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值、化简二次根式，将代入，再利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）求值： (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查完全平方公式、二次根式的运算、分式的混合运算及化简求值： （1）先计算出和，再利用完全平方公式将原式变形为即可求解； （2）先将括号内式子通分，再变分式除法为分式乘法，约分化简后将代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解： ， 将代入，得： 原式． 5．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）先化简再求值：当时，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握． 先用化简，再将时代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． ( 题型0 6 ) 二次根式的运算 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，二次根式的性质； 根据同底数幂的乘除法，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误； B、，原式错误； C、，正确； D、，原式错误； 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，化简后比较被开方数的大小即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，正确化简是解题的关键． 【详解】解：，，，． ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则． 根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：A. 由于，故该选项错误； B. 由于不能计算，故该选项错误； C. 由于，故该选项正确； D. 由于，故该选项错误； 故选C． 5．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的运算和化简，掌握二次根式的运算法则和性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简和运算的法则，逐一计算判定即可． 【详解】解：A、没有同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质对可以化简的二次根式进行化简，再逐项判断即可． 【详解】解：A，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； B，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； C，，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； D，，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 故选D． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的运算即可求解． 【详解】解：A、、不是同类二次根式不能进行加减，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意；     C、，故原选项正确，符合题意；     D、，故原选项错误，不符合题意；     故选：C． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式加、减、乘、除运算，根据二次根式加、减、乘、除运算法则，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 9．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： ， ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐个计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；2；． 11．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用立方根的定义、二次根式的运算法则分别计算，再合并即可求解； （）利用二次根式的性质、完全平方公式及绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， ． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可； （）利用二次根式的乘除运算法则进行即可求解； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先化简二次根式，再合并计算； （2）先化简二次根式，计算乘法，再算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差和完全平方公式展开，进行二次根式的乘法计算，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂，先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 16．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算：． 【答案】 【分析】先对二次根式进行化简和对二次根式的除法进行计算；再按照二次根式混合运算的计算法则进行计算． 【详解】解：． 17．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． （1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）按照二次根式的性质、绝对值的运算计算，然后合并即可； （2）按照完全平方公式和二次根式的乘法计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有关二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知相关运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最 （2）先利用多项式乘多项式展开，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 20．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再化简立方根的算术平方根，最后进行加减运算即可得到结果 【详解】解： 21．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减混合计算、二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先把每项化简成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）利用二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 23．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简，再进行除法运算； （2）先化简，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）利用完全平方公式计算，然后计算除法即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 25．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，计算乘方运算，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 题型0 7 ) 二次根式的应用 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（    ） A．48 B． C．62 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，，根据题意，，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，， 根据题意，，， 即， 由得 ， 即， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的运算，平方差公式，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先将，，分别代入，求出值，再将，，，值分别代入，根据二次根式的运算和平方差公式计算即可． 【详解】解：当若一个三角形的三边长，，分别为，，时， 代入，可得， 再将，，，分别代入中， 可得， 即， 解得， 答：该三角形面积为． 3．（23-24八年级下·湖北随州·期末）如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，，时，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2)80 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，二次根式的运算，把剩余部分的面积看成长方形的面积减去四周四个小正方形的面积是解题的关键． （1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）把相应的值代入（1）进行运算即可． 【详解】（1）解：剩余部分的面积为：； （2）解：当，，时， ． 答：剩余部分的面积为80. 1．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）下列说法∶①；②64的平方根是，立方根是；③；④有意义，则；其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题主要考查平方根的定义，二次根式的性质，立方根的定义和性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用平方根的定义以及二次根式的性质，立方根的定义和性质，分别化简判断得出答案． 【详解】解：①，故此选项错误； ②64的平方根是，立方根是4，故此选项错误； ③，正确； ④有意义，则，正确． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，平方根的含义，把各知识点联系起来解题是解题的关键． 先由二次根式有意义的条件求解的值，再求解的平方根即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 解得， ， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式的性质：二次根式的被开方数是非负数，得．解不等式可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得，； 故答案是：． 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算． （3）先算出，再利用平方差公式算出，最后用完全平方公式把即可求解． 本题考查的是二次根式的混合运算，求代数式的值，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）∵，， ∴，， ∴． 7．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有． ，． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)利用所探索的结论，填写合适的正整数与，填空：______； (3)若，且a、m、n均为正整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)7，1 (3)49、16或19 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算，解答关键是灵活运用二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则． （1）利用完全平方公式将展开得到，再和的系数作对比，从而可用m、n表示a，b，； （2）根据设得到，，代入，，即可求解； （3）根据完全平方公式求出，，得出，根据a、m、n均为正整数，得，；，或，，，分别代入即可求出答案． 【详解】（1）解：若， 则， ，， 故答案为：，； （2）设， ， ______得 ，， ，， 解得：，， 故答案为：7，1； （3） ，， ， a、m、n均为正整数， ，；，；，， 当，时，时； 当，时，； 当，时，； ∴a的值是49、16或19． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 任务： (1)化简： ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简及求值． （1）分子分母同乘再化简即可； （2）先将按照题目中的分析进行分母有理化，再算出及即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2） ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型10二次根式有意义的条件 题型02二次根式的化简 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 题型05二次根式求值 题型06二次根式的运算 题型07二次根式的应用 ( 题型0 1 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）若二次根式有意义，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．3.5 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）二次根式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（    ） A．0 B．3 C．2 D． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）使式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）能使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）若式子有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 ) 二次根式的化简 1．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）化简的结果为 ． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）若，则 ． 3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． ( 题型0 3 ) 最简二次根式 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列整数能使为最简二次根式，则可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 ( 题型0 4 ) 同类二次根式 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 二次根式求值 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，求下列式子的值： (1) (2) 4．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）求值： (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 5．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）先化简再求值：当时，求的值． ( 题型0 6 ) 二次根式的运算 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： ， ， ． 11．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题 (1) (2) 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算题： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算： 16．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算：． 17．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1) (2) 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 20．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）计算： 21．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 22．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 25．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． ( 题型0 7 ) 二次根式的应用 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（    ） A．48 B． C．62 D． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 3．（23-24八年级下·湖北随州·期末）如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，，时，求剩余部分的面积． 1．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）下列说法∶①；②64的平方根是，立方根是；③；④有意义，则；其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①④ 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，则的平方根是 ． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 5．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 6．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，求的值． 7．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有． ，． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)利用所探索的结论，填写合适的正整数与，填空：______； (3)若，且a、m、n均为正整数，求的值． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 任务： (1)化简： ； (2)若，求的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$