专题03 平面直角坐标系（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题03 平面直角坐标系 题型概览 题型01坐标与象限 题型02距离问题 题型03坐标与面积 题型04用坐标表示地理位置 题型05用坐标表示平移 题型06点坐标的规律 ( 题型01 ) 坐标与象限 1．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）下列各点中，在第三象限的点是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，属于第三象限的点是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 6．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）下列各点，在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）点在y轴上，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）若点在轴上，点在轴上，则的值（    ） A． B．1 C．5 D．7 11．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． ( 题型02 ) 距离问题 1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．直线在同一平面内，若，则． B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． C．点与点到轴的距离相等，到轴的距离也相等． D．同位角相等 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）第二象限的点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）点到轴的距离是5，到轴的距离是6，且，则点的坐标为 ． 5．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知两点，的距离为4，且直线轴，则 ． 6．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 7．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题：①若轴，则；②若轴，则；③若，则A、B、C三点在同一条直线上；④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为．其中真命题有 （填序号）． ( 题型03 ) 坐标与面积 1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点分别与点对应． (1)画出平移后的； (2)直接写出三个点的坐标； (3)已知点，，直接写出的取值范围． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，若是第一象限内的一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒的速度沿轴向右移动． (1)①经过t秒（）后， ， ； ②经过几秒后，？ (2)若某一时刻以为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标． ( 题型04 ) 用坐标表示地理位置 1．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如果把电影票上“4排3号”记作，那么表示（    ） A．5排6号 B．6排5号 C．5排5号 D．6排6号 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）七（2）班组织同学到人民公园春游，小明、小华对着景区示意图（如图）如下描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表100米长）．小明：牡丹园的坐标是．小华：牡丹园在中心广场东北方向约420米处．若他们所描述的位置都是正确，则湖心亭所在位置的坐标是 ． 4．（23-24七年级下·湖北随州·期末）某体育馆的平面示意图如图所示，已知游泳馆的坐标是，足球场的坐标是． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)根据你建立的平面直角坐标系，写出排球场的坐标； (3)若篮球场的坐标为，请在图中标出篮球场的位置． ( 题型0 5 ) 用坐标表示平移 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，，将线段平移至与对应，与对应，若点恰好在轴上，点恰好在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系； (2)点经过平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，对应点分别是点，，画出平移后的三角形； (3)在（2）的条件下，点在轴上，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点的坐标． 6．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知，，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题： (1)在图上画出； (2)写出点，的坐标； (3)求出的面积． 7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数a、b满足． (1)直接写出A、B 两点的坐标； (2)如图1，C为线段 上一点，且，求点C的坐标； (3)如图2，将线段 平移至，使点 A 的对应点 D 落在x轴上，点B 的对应点E 落在y轴上，连接、，P为线段上一点，为y 轴上一动点，若 ，求t的取值范围． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到． (1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______； (2)连接，，则四边形的面积为_________； (3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求和的值． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知． (1)平移线段，使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，在图上画出四边形，并写出以下两点坐标________________________； (2)在（1）的条件下，求出线段扫过的面积____________； (3)P点为直线上一动点，写出的最小值____________． ( 题型0 6 ) 点坐标的规律 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（根据这个规律，第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 6．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点，，，的坐标分别为，，，，则点的坐标为 ． 7．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为 ． 1．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，已知四边形是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别和，又点在线段上． (1)如图① ，若点E在线段上，，点，且的面积为21，求出点B的坐标； (2)如图② ，若点F在线段上，，的面积为15，求出a､b之间所满足的关系式． (3)若长方形的面积为54，点B的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为______； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 5．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 6．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，．    (1)则点的坐标是_________，点的坐标是_________； (2)求三角形的面积； (3)若点从点出发在射线上运动（点不与点点重合），点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿负半轴运动，连接，．若某一时刻，三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求的值，并写出点的坐标． 7．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“亲近点”． 如图，已知点，，连接． (1)在，，，这四个点中，关于线段的“亲近点”是点______； (2)线段，线段上所有的点都是关于线段的“亲近点”，若点的横坐标是3，那么线段最长值为______； (3)已知直线经过点，与直线交于点，若当时，直线上的点都是线段的“亲近点”，写出的取值范围______． 8．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，与y轴相交于点F，过C作轴于点B． (1)填空：________，________，三角形的面积为________； (2)如图2，过B作∥交y轴于D，若，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面直角坐标系 题型概览 题型01坐标与象限 题型02距离问题 题型03坐标与面积 题型04用坐标表示地理位置 题型05用坐标表示平移 题型06点坐标的规律 ( 题型01 ) 坐标与象限 1．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）下列各点中，在第三象限的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点的坐标特征求解即可． 【详解】解：A、在第二象限，本选项不符合题意； B、在第三象限，本选项符合题意； C、在轴上，不属于任何象限，本选项不符合题意； D、在第四象限，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了判断点所在的象限．此题比较简单，注意掌握平面直角坐标系中各个象限内点的符号是解此题的关键．由，即可判定所在的象限． 【详解】解：∵，， ∴点在第三象限， 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该点在第四象限． 故选：D． 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，属于第三象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：A、在第一象限，故A不符合题意； B、在第二象限，故B不符合题意； C、在第三象限，故C符合题意； D、在第四象限，故D不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的所在象限的判断；熟悉坐标轴上点的坐标特征及各个象限内点的坐标特征是解题的关键．根据点的纵横坐标的符号即可作出判断． 【详解】解：因为的纵坐标为0，则此点在x轴上； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）下列各点，在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据四个象限的符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，进行分析判断即可． 【详解】解：第二象限中的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 位于第二象限， 故选：D． 7．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）点在y轴上，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点， 根据点在y轴上，点A的横坐标为0，可得出，然后可得出纵坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为：， 故选：B． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，若点B位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直线轴，得出、两点的横坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第二象限，，得出的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， 或6， 点位于第二象限， ， ． 故选：C 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识。解题的关键是掌握平面直角坐标系中，点在轴上，则为零，即可， 【详解】∵在轴上， ∴， 解得：． 故选：C． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）若点在轴上，点在轴上，则的值（    ） A． B．1 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为0，轴上点的横坐标为0分别列式求出、，再计算即可得解． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：A． 11．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键．根据题意得，进而求解m的值，即可求出点坐标． 【详解】解： 点在直角坐标系的轴上， ， ，， 点坐标为． 故选：B． 12．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】四 【分析】题主要考查坐标系象限中点的坐标的特点，熟练掌握不同象限点的坐标的特点是解决本题的关键．第一象限坐标，第二象限坐标，第三象限坐标，第四象限坐标．根据坐标系不同象限点坐标的特点判断即可． 【详解】解：点所在的象限是第四象限， 故答案为：四． ( 题型02 ) 距离问题 1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．直线在同一平面内，若，则． B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． C．点与点到轴的距离相等，到轴的距离也相等． D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定、垂线段最短、点到坐标轴的距离以及平行线的性质等，根据平行线的判定与性质，垂线段最短，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行可知，A选项说法正确，不合题意； 直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，B选项说法正确，不合题意； 点与点到轴的距离为3，到轴的距离为5，C选项说法正确，不合题意； 两直线平行，同位角相等，D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）第二象限的点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，结合象限符号特征，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， 点第二象限， ， ， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了点的坐标．根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点到轴的距离为1． 故答案为：1． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）点到轴的距离是5，到轴的距离是6，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，绝对值的性质，掌握点坐标中横坐标纵坐标到坐标轴的意义，绝对值的性质是解题的关键．根据到轴的距离为，到轴的距离是，根据绝对值的性质可求出，的值，再根据，即可求解． 【详解】解：根据到轴的距离为，到轴的距离是， ，， ，， ， ，， 点坐标为或． 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知两点，的距离为4，且直线轴，则 ． 【答案】1或9 【分析】本题考查的是平行于x轴的直线上点的坐标特点，两点之间的距离，算术平方根的含义，由直线轴，可得的纵坐标相等，结合两点，的距离为4，可得，，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵直线轴， ∴的纵坐标相等， ∵两点，的距离为4， ∴，， ∴或， 故答案为：1或9． 6．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题：①若轴，则；②若轴，则；③若，则A、B、C三点在同一条直线上；④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为．其中真命题有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了点的坐标，三角形的面积，真假命题的判断，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解题的关键． 根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根据B、C横坐标相同，可判断轴，得出，再表示出点A到的距离，再根据三角形的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标． 【详解】解：①∵轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵轴， ∴， ∴，故②错误； ③∵， ∴，，， ∵A、B、C三点的横坐标相同， ∴A、B、C三点在同一条直线上，故③正确； ④∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴点A到的距离为， ∵的面积等于8， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，故④正确； 综上分析可知，真命题为③④． 故答案为：③④． ( 题型03 ) 坐标与面积 1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点分别与点对应． (1)画出平移后的； (2)直接写出三个点的坐标； (3)已知点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)，或 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，坐标与图形的性质， （1）根据要求将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度画出即可； （2）根据（1）画出的图写出、、三个点的坐标即可； （3）根据面积为，得出的长，从而结合图形得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；    （2）根据图形可知，，； （3）以、、为顶点的三角形面积为，，， 三角形以、为底，高是到轴的距离， ， ， 当在的左侧时， 当在的右侧时， ∵， ∴或 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 【答案】(1)5，4，3 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）根据三角形的面积等于3，得，求解即可； （3）由（1）可知，，过点作轴，轴，根据，平分四边形的面积，可求得点E的坐标，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ，，， 故答案为：5，4，3． （2）由（1）可知，，    ∵三角形的面积等于3， ∴，则 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）由（1）可知，， 过点作轴，轴，则，，，， 则，， ∴ ，    ∵平分四边形的面积， ∴，即：， ∴，即：， ∵点为中点， ∴点的坐标为：， 即：点的坐标为． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，若是第一象限内的一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒的速度沿轴向右移动． (1)①经过t秒（）后， ， ； ②经过几秒后，？ (2)若某一时刻以为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标． 【答案】(1)①，；②经过2秒或6秒后， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查图形与坐标、坐标系内动点行程问题；熟练结合行程问题公式表示直角坐标系内的线段是解题的关键． （1）①根据路程速度时间即可求解； ②设经过秒后，，根据列出关于的方程，解方程即可； （2）分类讨论：点P在y轴右侧时或点P在y轴左侧时，分别表示，根据梯形面积公式构建方程求解． 【详解】（1）解：①由题意可知，经过t秒（）后， ，则， 故答案为：，； ②设经过秒后，， 若点在轴右侧，依题意，得 ，解得． 若点在轴左侧，得，解得． ∴经过2秒或6秒后，． （2）设经过秒后，，则， 当点在轴右侧时，依题意，得 ，解得，则， 此时点的坐标为； 当点在轴左侧时，依题意，得， 解得，，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或 ( 题型04 ) 用坐标表示地理位置 1．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：根据棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，画出坐标轴， 棋子“马”的坐标为． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如果把电影票上“4排3号”记作，那么表示（    ） A．5排6号 B．6排5号 C．5排5号 D．6排6号 【答案】A 【分析】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，由于将“4排3号”记作，根据这个规定即可确定表示的点． 【详解】解：∵“4排3号”记作， ∴表示5排6号． 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）七（2）班组织同学到人民公园春游，小明、小华对着景区示意图（如图）如下描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表100米长）．小明：牡丹园的坐标是．小华：牡丹园在中心广场东北方向约420米处．若他们所描述的位置都是正确，则湖心亭所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标确定位置，根据牡丹园的坐标建立平面直角坐标系，即可得到湖心亭所在位置的坐标． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如图： 所以湖心亭所在位置坐标为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖北随州·期末）某体育馆的平面示意图如图所示，已知游泳馆的坐标是，足球场的坐标是． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)根据你建立的平面直角坐标系，写出排球场的坐标； (3)若篮球场的坐标为，请在图中标出篮球场的位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标表示位置的应用； （1）游泳馆的坐标是，足球场的坐标是确定原点，进而建立坐标系，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可； （3）在坐标系中标出篮球场的位置，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）排球场的坐标为； （3）解：如图所示， ( 题型0 5 ) 用坐标表示平移 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【详解】解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平移得出点Q的坐标，再根据点Q所在象限列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，∴， ∵点在第一象限， ∴， 解得， 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，，将线段平移至与对应，与对应，若点恰好在轴上，点恰好在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形平移求点的坐标，涉及坐标轴上点的坐标特征等知识，由题意，设、，根据图形平移知道将平移到的过程与将平移到的过程一致，列式求解即可得到答案，熟记点的平移法则、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可设、， ，，将线段平移至与对应，与对应， 将平移到的过程与将平移到的过程一致，即 ，解得， 点的坐标是， 故选：A． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．根据线段上任一点在平移后的对应点为，其中，得出只能向右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段的长度不变，得出当上的高最大时，面积最大，根据点B距离最远时，面积最大，根据，结合图形，得出当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，即可得出答案． 【详解】解：∵线段上任一点在平移后的对应点为，其中， ∴只能向右平移或向下平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大， 即点B距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，如图所示：    此时， 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系； (2)点经过平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，对应点分别是点，，画出平移后的三角形； (3)在（2）的条件下，点在轴上，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，建立平面直角坐标系即可； （2）先得出平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移个单位长度，再根据平移的性质画出图形即可； （3）画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：∵点经过平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移个单位长度， 画出三角形如图所示： （3）解：如图： 由图可得：，． 6．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知，，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题： (1)在图上画出； (2)写出点，的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)12 【分析】本题考查了坐标平面内图形的平移作图，求格点三角形的面积，熟练掌握坐标平面内图形的平移作图是解题的关键． （1）根据平移的性质，找出点A，点B，点C经过平移后的对应点，，，连结，，，即得所求图形； （2）由（1）画出的图形可知点，的坐标； （3）根据三角形的面积公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，； （3）解：的面积为：． 7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数a、b满足． (1)直接写出A、B 两点的坐标； (2)如图1，C为线段 上一点，且，求点C的坐标； (3)如图2，将线段 平移至，使点 A 的对应点 D 落在x轴上，点B 的对应点E 落在y轴上，连接、，P为线段上一点，为y 轴上一动点，若 ，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)且 【分析】（1）利用可得，解出、的值即可求出． （2）利用，，即可得出C点的坐标． （3）设与y交于K，连接，则，得出，因为，故，又，得，只需即可求出t的取值范围． 【详解】（1）， ， ， ，． （2）， ， ， ， ， ． ． （3）点，，由平移可得点，， 设与y交于K， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 只需即可， 又点Q不能与点K重合， ， 当时，，解得． 当时，，解得． 综上所述，t的取值范围是且． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到． (1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______； (2)连接，，则四边形的面积为_________； (3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________． 【答案】(1)见解析，点 的坐标为 (2) (3)见解析，点Q的坐标为 【分析】本题考查作图−复杂作图，点坐标的平移，平行四边形的面积，坐标与图形变化等知识． （1）根据平移的性质作图即可，然后写出点的坐标； （2）利用割补法求平行四边形的面积即可； （3）取格点点D，然后连接交y轴于点，点即为所作． 【详解】（1）解：即为所作； 点 的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）如图，点Q即为所作； 点Q的坐标为． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求和的值． 【答案】(1)，点；向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度 (2)， 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离； （2）根据平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值； 【详解】（1）解：根据题意，得到，点． ，， 三角形是由三角形向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（或向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度）． （2）解：根据是随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为， 得，． 解得，． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知． (1)平移线段，使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，在图上画出四边形，并写出以下两点坐标________________________； (2)在（1）的条件下，求出线段扫过的面积____________； (3)P点为直线上一动点，写出的最小值____________． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，直角坐标系中的平移变换，平移作图，垂线段最短，三角形的面积等知识，根据题意作出图形是解题的关键． （1）根据题意可得需将线段向下平移一个单位，向左平移一个单位，即可求解； （2）线段扫过的面积，再根据矩形面积-四个三角形的面积即可计算． （3）先算出，当时，最小，再根据等面积法即可求解； 【详解】（1）解：要使A的对应点刚好落在y轴上，B的对应点刚好落在x轴上，则需将线段向下平移一个单位，向左平移一个单位，，． 作图如下： （2）解：线段扫过的面积． （3）解：， 如图，当时，最小， 的最小值． ( 题型0 6 ) 点坐标的规律 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律的探索，发现点的下标和点的坐标之间的关系是解答本题的关键．根据各个点在坐标系中点的位置，寻找出点的下标和各个点的坐标之间的关系，归纳出规律，然后根据规律推理点的坐标即可． 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限， ， 点在第三象限， ，，， ，，， 依次类推，， 即． 故选D． 2．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，“伴随点”的定义依次求出各点坐标，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴这些点的坐标每四个点为一个循环， ∵， ∴点的坐标为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（根据这个规律，第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为平面直角坐标系下的点坐标规律探究题．以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边下角的点横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，在正方形的左上角，求出与2024最接近的平方数为2025，然后写出第2024个点的坐标即可． 【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方， ， ∴第2025个点在轴上坐标为， 则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度， ∴第2024个点的坐标是． 故选：A． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中点的坐标．根据点的碰撞可得出：，，，，，，，…，根据点的坐标的变化可得出点的坐标6次一循环，再结合即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，，，，，，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为． 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查找点的坐标规律，根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，，进而判断与的纵坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵， ∴根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，， ∴与的纵坐标相同， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点，，，的坐标分别为，，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，，进而判断与的纵坐标相同，与的纵坐标相同，为1，即可求解．本题主要考查找点的坐标规律，解题的关键是找到规律． 【详解】解：，，，， 根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，， 与的纵坐标相同，与的纵坐标相同，为1 ∴点的坐标为 故答案为： 7．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查点的坐标规律，理解伴随点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据伴随点的定义依次求出各点的坐标，每4个点为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为，根据伴随点的定义得， ，，，， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于，为正整数，有，，，， ，即当时，有 点的坐标为为． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，得第个点的横坐标为（为正整数），由可得第个点的横坐标为，又由图可得当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，据此即可求解，根据图形找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为， ∴第个点的横坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为， 又当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于， ∵， ∴第个点的纵坐标为， ∴第个点的坐标为， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①是；②不是，理由见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形变化（平移），三角形的面积，“密接点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解． （1）根据线段与轴有公共点，得到点B在轴下方，点C在轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段通过平移能够与线段重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出的值，可得结论． 【详解】（1）解：如果线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为1， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为， ∴ 解得或 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，已知四边形是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别和，又点在线段上． (1)如图① ，若点E在线段上，，点，且的面积为21，求出点B的坐标； (2)如图② ，若点F在线段上，，的面积为15，求出a､b之间所满足的关系式． (3)若长方形的面积为54，点B的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】该题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，一元一次方程等知识点，解题的关键是注意分类讨论． （1）根据列方程求解即可； （2）根据求解即可； （3）设，分为当点在上方时，和当点在x轴下方时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别和，，点，的面积为21， ∴ ， 解得：， ； （2）解： ， 化简得：． （3）解：， ∴， ∵长方形的面积为54， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 设，连接， ∵， ∴分为当点在上方时， 则 ， 解得：， ∴； 当点在x轴下方时， 连接， 则 ， 解得：， ∴， 综上，或． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”． 【数学思考】已知点，点． (1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ； (2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2） ①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标； ②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ； 【答案】(1)C、D、F (2)①，，，，，，，，，② 7 【分析】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． （1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，即可得出结果． 【详解】（1）解：画图如下： ∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0，1，2，3，取值1，2，3，4，、取值0，1，2，3，4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点， ∴n的最大值为， 故答案为：7． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为______； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系的性质，平移的性质，即可． （1）由点的坐标可知，三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，即可； （2）直接利用割补法求出三角形面积，即可； （3）以为底，高为点到轴的距离，则，再根据的面积等于面积的一半，即可． 【详解】（1）解：∵中任意一点经平移后对应点为， ∴三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，，， 图形如下： （2）， 故答案为：． （3）∵以为底，高为点到轴的距离， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∵点， ∴或者． 5．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①点的坐标为；② 【分析】本题是三角形综合题，考查的是平行线的性质，非负数的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，由非负性可求，，的值，再由列出等式，即可求解； （2）①过点B作，由可得，从而得出，求得，可得，得出点的坐标为； ②过点作，交轴于点，则，由可得，再由得出，从而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，从而得出． 【详解】（1）解：连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，， 依题可得，解得， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∴点的坐标为， （2）解：①过点B作， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为， ②过点作，交轴于点， 则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵EM平分 ∴ ∴ ∵AM平分 ∴ ∴ 6．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，．    (1)则点的坐标是_________，点的坐标是_________； (2)求三角形的面积； (3)若点从点出发在射线上运动（点不与点点重合），点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿负半轴运动，连接，．若某一时刻，三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求的值，并写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)值为或，点坐标为或． 【分析】（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可； （2）结合图形，根据点得坐标，结合三角形面积公式计算即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案． 【详解】（1） ∴，； （2）过点B作交x轴于点H，    ∵， ∴， ， ； （3）如图，过点作于， ∵，， ∴， 解得：，    当点在线段上时， ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点坐标为， 如图，当点在延长线上时，    ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论的思想计算求解． 7．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“亲近点”． 如图，已知点，，连接． (1)在，，，这四个点中，关于线段的“亲近点”是点______； (2)线段，线段上所有的点都是关于线段的“亲近点”，若点的横坐标是3，那么线段最长值为______； (3)已知直线经过点，与直线交于点，若当时，直线上的点都是线段的“亲近点”，写出的取值范围______． 【答案】(1)，， (2)6 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系、新定义，理解“亲近点”的定义，能够通过作图解决问题是解题的关键． （1）连接O与给出的各点，根据“亲近点”的定义即可判断； （2）连接，，分别与直线交于点，，结合“亲近点”的定义可知，此时线段取最大值； （3）根据“亲近点”的定义可知，当时，直线应在直线和直线的中间，通过作图可得答案． 【详解】（1）解：如图， 可知关于线段的“亲近点”是点，，， 故答案为：，，； （2）解：如图，连接，，分别与直线交于点，，此时线段取最大值， ，，， 结合图形可知，， 故答案为：6； （3）解：当时，直线上的点都是线段的“亲近点”， 当时，直线应在直线和直线的中间， 如图， 当直线与交于点时，m取最小值，直线与交于点时，m取最大值， 的取值范围为． 8．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，与y轴相交于点F，过C作轴于点B． (1)填空：________，________，三角形的面积为________； (2)如图2，过B作∥交y轴于D，若，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，4 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，再依据三角形的面积公式求解即可； （2）过作，根据平行线的判定和性质求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积为； 故答案为：，，4； （2）解：如图，过点O作，则， ∵，， ∴， ， ， 同理． 轴轴， ， ， ，分别平分，， ，， ，即， ； （3）解：连接，过点C作轴于N， ，，轴， ，，， ， ， 即， 解得：， ， ，， ，即， ，即， 解得：， 又， 当点在轴正半轴时，点P的坐标为； 当点在轴负半轴时，点P的坐标为； 点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的性质，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． 9．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，连接与轴，轴分别相交于点，点，点满足．    (1)【基础训练】请你直接写出两点的坐标； (2)【能力提升】如图2，点在线段上，满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，求点的坐标； (3)【拓展延伸】如图3，为直线上一点（异于三点），过点作的垂线交轴于点和的平分线所在的直线相交于点．当在直线上运动时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得、的值即可； （2）由知．连，作轴，轴，则，据此列出方程组求得，而，解得，则可得出答案； （3）过点、分别作轴，轴，分点P在G上方和点P在G下方进行画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图， 由， ， ， 连接，作轴于轴于，，      即， ∵， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点分别作轴，轴， 依题意，设， 则， 当点在上方时，如图1，，    ∵平分， ∴， ∵轴， ∴，即， ∴； 当点在下方时，如图，    ∵平分轴， ， ， 综上，的度数为或． 【点睛】考查了三角形的面积，坐标与图形性质，非负数的性质以及算术平方根，解题的关键是利用三角形的面积公式求得相关线段的长度．添加平行线进行求解是解答的关键． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据方向角的定义画出图形即可； （4）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图．点即为所求； （4）解：如图，点即为所求，作图依据是：两点之间线段最短． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$