专题01 相交线与平行线（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题01 平行线与相交线 题型概览 题型01相交线 题型02平行线的性质 题型03平行线的判定 题型04定义、命题、定理 题型05平移 ( 题型01 ) 相交线 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角定义，根据同位角的定义：在截线的同一侧，被截线的同一方，对选项中与位置逐一判断即可． 【详解】解：A、与符合同位角定义，是同位角，符合题意； B、与不在截线的同一侧，也不在被截线的同一方，故不是同位角，不符合题意； C、与在截线的同一侧，但不在被截线的同一方，故不是同位角，不符合题意； D、与在截线的同一侧，但不在被截线的同一方，故不是同位角，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】本题考查对顶角和三线八角，根据对顶角，三线八角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，说法正确； B、与是内错角，说法正确； C、与是同旁内角，说法正确； D、与是同旁内角，原说法错误； 故选D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（    ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．等角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，是基础题，根据对顶角相等的性质解答． 【详解】解：依据的原理是对顶角相等． 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，与是同位角的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①② 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角的判断，同位角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截线的两条直线的同侧位置的角．准确分析判断是解题的关键． 【详解】解：根据同位角的定义可知：①④中的与是同位角； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线a与直线b相交于一点．若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义与性质，熟练掌握对顶角和领补角是解题的关键．利用对顶角相等得，结合，求出，再利用和互补求解． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， 得：， ∵， ∴， 故选：D． 7．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，与不是同位角的图形有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可．本题考查同位角，解题的关键是明确题意，熟练掌握三线八角的定义． 【详解】解：A、与是同位角，故此选项不符合题意； B、与是同位角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线相交于点于点，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题主要考查了邻补角以及垂线的定义，利用邻补角的定义结合垂线的定义得出求出即可．得出度数是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若比的一半大，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）同角的补角相等，得到，得到，进而推出，即可得证； （2）设，则，根据平行线的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， 又，， （2）， ， 又， ． 设，则， ， ， 又， ， ． ( 题型02 ) 平行线的性质 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差． 根据角的和差求出，根据平行线的性质求得，进而可求得，，又由平行线的性质求出，进而即可解答． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，平分，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，过点作，过点作，根据平行公理，则，根据平行线的性质，则，，，，再根据角平分线的性质，，，设，根据，，即可． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形态，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，由题意得，，根据平行线的性质可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射向水中时发生折射，光线变成，点在光线所在的直线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．熟记相关结论是解题关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，掌握方位角，平行线的性质，找出题干中式子之间的关系是解本题的关键． 由平行可得，再利用得出，，代入即可求出． 【详解】解：如图，取，，三点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ． 故答案为：7． 6．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故①不符合题意； ②∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故②不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：③④⑤． 7．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）填空完成下面的推理过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， （ ① ）， （等量代换）， （ ② ）， （ ③ ）， （已知）， ④ （等量代换）， ⑤ （内错角相等，两直线平行）， （ ⑥ ）． 【答案】见解析 【分析】根据两直线相交，对顶角相等可得，根据同旁内角互补，两直线平行可得，由两直线平行，同位角相等得到，即，再根据内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，内错角相等即可得出． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气斜射入某类液体中时，光线会发生折射．由于折射率相同，在空气中平行的光线，在液体中也是平行的．如图，两束平行光线由空气射入某种液体，已知，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，由题意得出，，由平行线的性质得出，，即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则 【答案】52 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质和角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直于l， ∴， ∴； 故答案为：52． 10．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴______．（理由：______） ∵， ∴______+______，（理由：______） ∴．（理由：______） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质及判定．根据平行线的性质及判定即可解答． 【详解】证明：∵， ∴．（理由：两直线平行，内错角相等） ∵， ∴，（理由：等量代换） ∴．（理由：同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，，，，猜想与的关系如何？并说明理由： 解：∵，，（已知） ∴（___________）； ∴___________（___________）； ∵，， ∴（___________） ∴___________； ∴___________．（___________）． 【答案】平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；；；同角的补角相等 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质证明，由题意可得，；，；即可求证. 【详解】解：∵，，（已知） ∴（平行于同一直线的两直线平行）； ∴（两直线平行，同旁内角互补）； ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行） ∴； ∴．（同角的补角相等）． 12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，求证：． 完成下面的证明过程． 证明：， ， ______  (______________________)． (_______________________)． ______  (________________________)． 又(已知)， (________________________)． ______   (同位角相等，两直线平行) (________________________)． 【答案】；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定是解本题的关键． 利用平行线的性质及判定填空即可． 【详解】证明：， ，   （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又(已知)， （等量代换）． (同位角相等，两直线平行) （两直线平行，同位角相等）． 14．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，在不添加新线或新字母的情况下，试再添加一个条件使成立并加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见详解 【分析】由于，根据平行线的性质得，要得到，则要有，根据平行线的性质可添加．本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【详解】解： 依题意，选择：添加（答案不唯一） 证明：∵， ， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平分，，，求证：平分． 完成下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（______）， ______（两直线平行，同位角相等）， ∴______（等量代换）， ∴平分． 【答案】，两直线平行，内错角相等，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴平分． 16．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图所示，平分，，． (1)求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定及角平分线的计算是解决本题的关键． （1）由可得，再由可得结论； （2）根据平行线的性质可得，从而得出，再由平分可得，得出，再求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由（1）可知： ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ( 题型03 ) 平行线的判定 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 【详解】、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，能判定直线的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定；利用平行线的判定逐项进行即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； 由，无法判断， 故C不符合题意； 如下图， ，， ， ， 故D符合题意    故选：D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，被直线所截．请添加一个条件使直线，则该条件可以是 ．（用图中已标注的角或字母表示） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．根据平行线的判定即可得． 【详解】解：使直线，添加的一个条件可以是（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）已知，如图，，，，于H，问与是否垂直?并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，由得到，推出，得到，证得，即可推出，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： 证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． 5．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）将理由补充完整． 已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （　　　　　　）， （等量代换）， 　　　　　　（　　　　　　） 　　　　　　（　　　　　　） 又∵（已知） 　　　　　　（　　　　　　） （　　　　　　） 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补， 两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息提示逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补， 两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 6．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）按要求完成下面的证明： 如图，在三角形中，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴（____________________） ∴（____________________） ∴__________．（____________________） 又， ∴__________（____________________） ∴（____________________） ∴．（____________________） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握等式的基本性质、平行线的判定、平行线的性质、等量代换等知识点． 根据等式的基本性质、平行线的判定和性质以及等量代换进行推理填空即可． 【详解】证明：∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又， ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图1，，直线与、相交于点E、F，平分，平分． (1)求证：； (2)如图2，N为、之间一点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）过点N作，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：如图2，过点N作， ∵， ∴， ， 又， ， ， ． ( 题型04 ) 定义、命题、定理 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）有下列命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③同位角相等；④如果，，那么；⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；⑥若，则；⑦如果，那么；⑧无理数不可以在数轴上表示；其中真命题的是（   ） A．①②③④ B．①④⑤⑥ C．①②④⑤ D．③④⑦⑧ 【答案】C 【分析】根据对顶角相等、等角的补角相等、平行线的性质、平行公理、不等式的性质等逐一进行判断即可．本题考查判断命题的真假．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：①对顶角相等，①正确； ②等角的补角相等，②正确； ③同位角不一定相等，③错误； ④根据平行公理可得：如果，，那么，④正确； ⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，⑤正确； ⑥若，则，⑥错误； ⑦如果，那么，⑦错误； ⑧实数与数轴上的点一一对应，⑧错误． 故①②④⑤是真命题． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下面各语句中，错误的个数有（    ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的定义，熟知相关知识是解题的关键． 根据平行线的性质与判定，对顶角的定义，一一判断即可； 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误； ∴说法错误的有4个， 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意； 故选： B． ( 题型0 5 ) 平移 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，是正六边形的对角线交点，下列三角形中可由三角形平移得到的是（    ） A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查图形平移，由平移性质，结合正六边形，数形结合即可得到答案，熟记平移性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，由平移性质可得三角形和三角形可由三角形平移得到， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿射线的方向平移6个单位长度得到三角形，连接．则下列结论： ①且； ②四边形的面积等于四边形的面积； ③四边形的周长为36； ④． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，理解“平移前后对应线段平行且相等”是解题的关键． 根据平移的性质和平行线的性质以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵沿射线的方向平移个单位长度得到， ∴，，故①正确； 由题意可知，， ∴，即有， ∴，故②正确； 由题意可知，，， ∴四边形的周长为， 故③正确； 由平移性质可知，， ∴， 故④正确； 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列生活现象是数学中的平移的是（    ） A．彩旗随风飘扬 B．电梯升降 C．钟表指针转动 D．教室门从开到关 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置，据此进行判断即可． 【详解】解：A、彩旗随风飘扬，是无规则运算，不是平移，不符合题意； B、电梯升降，是平移，符合题意； C、钟表指针转动，是旋转，不是平移，不符合题意； D、教室门从开到关，不是平移，不符合题意； 故选B． 4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为30 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，，，据此对各结论逐一判断即可得答案．正确理解“平移前后对应线段平行且相等”是解题关键． 【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，， ∴，，，，，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，故B错误； ∵，， ∴，故C正确； ∵，， ∴四边形的周长 ，故D正确. 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是 ． 【答案】/9厘米 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，对应点所连线段的长即为平移的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 7．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． (1)将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； (2)过点画的垂线，标出垂足； (3)过点画的平行线． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图平移变换、垂线、平行线的判定 （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）利用网格，根据垂线的定义画图即可． （3）利用网格，根据平行线的判定画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． 三角形的面积为． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 1．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，直线旋转后的对应直线：同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转后的对应射线，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； 如图，过点E作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）①如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ 如图，当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∴， ， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴同理可得， ∴ ∴． 综上所述，或． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【答案】（1）65（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，过点作，则：，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，再结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65； （2），理由如下： 过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，过点作，则：， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∵的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F， ∴，， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或10或14 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【详解】（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 (2)如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【答案】(1) (2) (3)①当点F在直线的上方时，；②当点F在直线与直线之间时，；③当点F在直线的下方时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质可知，结合平角的定义及，可求出的度数； （2）过点F作，得到，通过平行线的性质把和转化到得到，再由角平分线的定义得到，则； （3）分三种情形：①当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时,③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 同理可得； （3）解：①如图，当点F在直线的上方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图： 由（2）可知：； ③当点F在直线的下方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 综上所述，①当点F在直线的上方时，； ②当点F在直线与直线之间时，； ③当点F在直线的下方时，． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，17或或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，分类讨论，明确角与角之间的关系． （1）由对顶角的定义得到，结合，根据同旁内角互补即可证明； （2）①分别过点K，G作，则 ，推出，根据．分别为的角平分线，得到，，进而得到，即可求出结果；②由①中结论，求出，，分，，第二次且在右侧，，第二次且在左侧，五种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：①分别过点K，G作， ， ， ， ．分别为的角平分线， ，， ， ， ， ， ； ②， ，，， ， 由①知，，， ，，，， ，， ，， 如图，当时， ， ， （符合题意）； 如图，当时， ， 由①知， ，， ， （符合题意）； 如图，当第二次，且在右侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， ， （不符合题意）； 如图，当时， ， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 如图，当第二次且在左侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 综上，m的值为17或或或，的两边恰好分别平行于的两边． 6．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【答案】(1)图见解析 (2)30； (3)错误 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，角的和差关系，平行线的判定： （1）根据垂线的定义，画图即可； （2）根据角的和差关系求出的度数，根据平行线的判定方法，得到与的位置关系即可； （3）根据点到直线的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：画图如下：    （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴线段之长等于点D到直线的距离， 故原说法是错误的； 故答案为：错误． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线与相交线 题型概览 题型01相交线 题型02平行线的性质 题型03平行线的判定 题型04定义、命题、定理 题型05平移 ( 题型01 ) 相交线 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（    ） 5．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，与是同位角的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①② 6．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，直线a与直线b相交于一点．若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，与不是同位角的图形有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线相交于点于点，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； ( 题型02 ) 平行线的性质 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，平分，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形态，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射向水中时发生折射，光线变成，点在光线所在的直线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是 ． 6．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 7．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）填空完成下面的推理过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， （ ① ）， （等量代换）， （ ② ）， （ ③ ）， （已知）， ④ （等量代换）， ⑤ （内错角相等，两直线平行）， （ ⑥ ）． 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气斜射入某类液体中时，光线会发生折射．由于折射率相同，在空气中平行的光线，在液体中也是平行的．如图，两束平行光线由空气射入某种液体，已知，，则 ． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则 10．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴______．（理由：______） ∵， ∴______+______，（理由：______） ∴．（理由：______） 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，，，，猜想与的关系如何？并说明理由： 解：∵，，（已知） ∴（___________）； ∴___________（___________）； ∵，， ∴（___________） ∴___________； ∴___________．（___________）． 12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，求证：． 完成下面的证明过程． 证明：， ， ______  (______________________)． (_______________________)． ______  (________________________)． 又(已知)， (________________________)． ______   (同位角相等，两直线平行) (________________________)． 14．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，在不添加新线或新字母的情况下，试再添加一个条件使成立并加以证明． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平分，，，求证：平分． 完成下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（______）， ______（两直线平行，同位角相等）， ∴______（等量代换）， ∴平分． 16．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图所示，平分，，． (1)求证：； (2)若，试求的度数． ( 题型03 ) 平行线的判定 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，能判定直线的条件是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，被直线所截．请添加一个条件使直线，则该条件可以是 ．（用图中已标注的角或字母表示） 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）已知，如图，，，，于H，问与是否垂直?并说明理由． 5．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）将理由补充完整． 已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （　　　　　　）， （等量代换）， 　　　　　　（　　　　　　） 　　　　　　（　　　　　　） 又∵（已知） 　　　　　　（　　　　　　） （　　　　　　） 6．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）按要求完成下面的证明： 如图，在三角形中，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴（____________________） ∴（____________________） ∴__________．（____________________） 又， ∴__________（____________________） ∴（____________________） ∴．（____________________） 7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图1，，直线与、相交于点E、F，平分，平分． (1)求证：； (2)如图2，N为、之间一点，若，求的度数． ( 题型04 ) 定义、命题、定理 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）有下列命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③同位角相等；④如果，，那么；⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；⑥若，则；⑦如果，那么；⑧无理数不可以在数轴上表示；其中真命题的是（   ） A．①②③④ B．①④⑤⑥ C．①②④⑤ D．③④⑦⑧ 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下面各语句中，错误的个数有（    ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 ( 题型0 5 ) 平移 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，是正六边形的对角线交点，下列三角形中可由三角形平移得到的是（    ） A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿射线的方向平移6个单位长度得到三角形，连接．则下列结论： ①且； ②四边形的面积等于四边形的面积； ③四边形的周长为36； ④． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列生活现象是数学中的平移的是（    ） A．彩旗随风飘扬 B．电梯升降 C．钟表指针转动 D．教室门从开到关 4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为30 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是 ． 6．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 7．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． (1)将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； (2)过点画的垂线，标出垂足； (3)过点画的平行线． 1．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，直线旋转后的对应直线：同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转后的对应射线，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 (2)如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$