第15章 概率 易错训练与压轴训练（3易错+1压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第15章 概率 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 混淆了互斥事件与对立事件的区别 1 易错题型二 误用概率加法公式 2 易错题型三 混淆了有放回和无放回 2 压轴题型一 独立事件的判断 4 02 易错题型 易错题型一 混淆了互斥事件与对立事件的区别　 例题1：（多选）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件A=“取到标号为1和3的号签”，事件B=“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与B对立 D． 例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·期中）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件C与事件D对立 C．事件A与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立 巩固训练 1．（多选）（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 2．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 易错题型二 误用概率加法公式　 例题1：（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（    ） A． B． C． D． 例题2：（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 巩固训练 1．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 2．（23-24高一下·河北·期末）已知，，，则 ． 易错题型三 混淆了有放回和无放回　 例题1：（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 巩固训练 1．（23-24高一下·福建）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是 ；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是 ． 2．（24-25高二上·广西南宁·期中）星空儿童游乐场在父亲节设置一个亲子游戏：口袋内装有形状大小及质地完全相同，编号为1，2的两个白球和编号为a，b的两个红球，每位爸爸从中连续摸球两次，摸出一球后放回；每个宝宝不放回的逐一取出两个球.若爸爸和宝宝独立摸球，两人摸出的红球个数之和恰好为2，则获得亲子礼包.现场的爸爸甲和小朋友乙参加了游戏. (1)求事件A“甲摸出的两个球都是红球”的概率； (2)求事件B“乙取出的两个球都是红球”概率； (3)求甲乙这对父子获得亲子礼包的概率. 3．（23-24高二·湖北孝感）一个盒子里装有标号1、2、3、4的4张形状大小完全相同的标签，先后随机地选取两张标签，根据下列条件，分别求两张标签上的数字为相邻整数的概率． （1）标签的选取是无放回的； （2）标签的选取是有放回的． 03 压轴题型 压轴题型一 独立事件的判断　 例题1：（23-24高二下·山西大同·期中）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A．与为相互独立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 例题2：（多选）（24-25高二上·山东德州·期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件不互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 例题3：（23-24高一下·安徽亳州·期末）某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 巩固训练 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 2．（23-24高一下·山东烟台·期末）先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．乙与丙独立 3．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 4．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有个，编号分别为，不放回地随机摸出两个球. (1)写出实验的样本空间； (2)记事件为“摸出的两个球中有红球”，求事件A发生的概率； (3)记事件为“摸出的两个球全是白球”，事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求和，判断事件是否相互独立. 5．（23-24高一下·北京大兴·期末）6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件“两件产品中有一等品”，事件“两件产品中有二等品” ． (1)用适当的符号写出该随机试验的样本空间； (2)分别求事件的概率； (3)判断事件是否相互独立，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 概率 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 混淆了互斥事件与对立事件的区别 1 易错题型二 误用概率加法公式 3 易错题型三 混淆了有放回和无放回 5 压轴题型一 独立事件的判断 8 02 易错题型 易错题型一 混淆了互斥事件与对立事件的区别　 例题1：（多选）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件A=“取到标号为1和3的号签”，事件B=“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与B对立 D． 【答案】AD 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】由互斥事件，对立事件，独立事件的定义判断ABC选项，古典概型计算概率判断选项D. 【详解】根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果， 则随机试验结果的样本空间， ，. 对A，，所以与互斥，故A选项正确； 对B，，，，所以，与不独立，故B选项错误； 对C，，，所以与不对立，故C选项错误； 对D，，故D选项正确. 故选：AD. 例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·期中）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件C与事件D对立 C．事件A与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立 【答案】BCD 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为： ， ，共有12种， 事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误； 根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确； 则， 因为， 且，所以A与C相互独立，故选项C正确； 因为； 且，所以B与D相互独立，故D正确. 故选：. 巩固训练 1．（多选）（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 2．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 【答案】② 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由互斥事件和对立事件的性质逐一判断即可； 【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在①中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故①错误， 在②中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故②正确， 在③中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故③错误， 在④中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，且概率和为1，是对立事件，故④错误． 故答案为：②． 易错题型二 误用概率加法公式　 例题1：（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、概率的基本性质、事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误； ③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析. 例题2：（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据即可求解. 【详解】由于，所以ABC都有可能，D不可能， 故选：D 巩固训练 1．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 【答案】BD 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 2．（23-24高一下·河北·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】概率的基本性质 【分析】利用概率公式计算即可. 【详解】由题意得． 由，得． 故答案为：. 易错题型三 混淆了有放回和无放回　 例题1：（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法， 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况， 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率； 故选：． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】(1) (2)这种游戏规则不公平，理由见解析 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件，然后列举出事件包含的基本事件，并得到数量，再计算出甲、乙二人取出的数字共有数量，然后得到事件的概率； （2）设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，然后列举出事件所包含的基本事件及数量，由此得到事件的概率，由对立事件求出事件的概率，从而判断游戏的公平性. 【详解】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为，，，，共5个，又甲、乙二人取出的数字共有（个）等可能的结果，所以； （2）这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：，，，，，，，，，，，，. 所以甲胜的概率， 从而乙胜的概率， 由于，所以这种游戏规则不公平. 巩固训练 1．（23-24高一下·福建）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是 ；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是 ． 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）无放回的基本事件总数是12，满足条件的有6种，根据古典概型的计算方法，可得结果. （2）有放回的基本事件总数是16，满足条件的有6种，根据古典概型的计算方法，可得结果. 【详解】（1）选取是无放回的，第一选取标签有4种方法，第二此选取有3种方法，共有12种方法，其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，概率为 （2）选取是有放回的，第一选取标签有4种方法，第二此选取有4种方法，共有16种方法，其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，概率为 故答案为：； 【点睛】本题考查了有放回和无放回两种情况下古典概型的概率，考查了运算求解能力，属于基础题目. 2．（24-25高二上·广西南宁·期中）星空儿童游乐场在父亲节设置一个亲子游戏：口袋内装有形状大小及质地完全相同，编号为1，2的两个白球和编号为a，b的两个红球，每位爸爸从中连续摸球两次，摸出一球后放回；每个宝宝不放回的逐一取出两个球.若爸爸和宝宝独立摸球，两人摸出的红球个数之和恰好为2，则获得亲子礼包.现场的爸爸甲和小朋友乙参加了游戏. (1)求事件A“甲摸出的两个球都是红球”的概率； (2)求事件B“乙取出的两个球都是红球”概率； (3)求甲乙这对父子获得亲子礼包的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）通过列举，结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式即可求解； （3）设甲摸出i个红球为事件，乙摸出j个红球为事件结合互斥事件和事件的概率计算公式即可. 【详解】（1）解：甲取球样本空间 共16个样本点， 乙取球样本空间共12个样本点，每个样本点出现等可能． 包含4个样本点， （2）包含2个样本点， （3）设甲摸出i个红球为事件，乙摸出j个红球为事件 则. 甲乙摸出红球个数之和等于2为事件：，且互斥， 与，相互独立 甲乙摸出红球个数之和等于2的概率 . 3．（23-24高二·湖北孝感）一个盒子里装有标号1、2、3、4的4张形状大小完全相同的标签，先后随机地选取两张标签，根据下列条件，分别求两张标签上的数字为相邻整数的概率． （1）标签的选取是无放回的； （2）标签的选取是有放回的． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）记事件“选取的两张标签上的数字为相邻整数”，列出基本事件的个数，即可利用古典概型的概率计算公式求解概率； （2）列出从张标签中有放回随机选取张，构成的基本事件的个数，进而得到事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，求解概率． 【详解】记事件“选取的两张标签上的数字为相邻整数”． （1）从4张标签中无放回随机选取2张，共12个基本事件，分别为，，，，，，，，，，，， 事件包含了其中的6个基本事件：，，，，，， 由古典概型概率计算公式知：， 故无放回地选取两张标签，其上数字为相邻整数的概率为． （2）从4张标签中有放回随机选取2张，共16个基本事件，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，， 事件包含了其中的6个基本事件：，，，，，， 由古典概型概率计算公式知：， 故有放回选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为． 03 压轴题型 压轴题型一 独立事件的判断　 例题1：（23-24高二下·山西大同·期中）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A．与为相互独立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】A 【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD. 【详解】由题意样本空间， ，，，， 对于A：由古典概率概率公式可知，，， 则，故与为相互独立事件，正确； 对于C：，，，则， 故与不是相互独立事件，错误； 对于B：当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时， 事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误； 对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误. 故选：A 例题2：（多选）（24-25高二上·山东德州·期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件不互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 【答案】ABC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式判断A，根据互斥事件、相互独立事件的定义判断B、C，根据判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故B正确； 事件与事件同时发生的情况有共4种， 所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 例题3：（23-24高一下·安徽亳州·期末）某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【详解】（1）即只摸1次球， 生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元， 从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为， 故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”， 因为，， 所以. 事件“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”， 因为，所以， 事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”， 所以， 所以， 所以事件，不相互独立. 巩固训练 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】先分别计算出事件甲、乙、并、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知，两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，故选项A错误； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），故选项D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·山东烟台·期末）先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．乙与丙独立 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出基本事件、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据事件互斥、古典概型和事件独立性判断各个选项； 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子的样本点共有个， 甲表示事件“第一次的点数大于4”的样本点有，个， 乙表示事件“两次点数之和为7”的样本点有，6个， 丙表示事件“至少有一次的点数为4”的样本点有，11个； 对于A，事件甲与事件乙都包含，所以甲乙不互斥，A错误； 对于B，事件乙与事件丙都包含，所以乙丙不互斥，B错误； 对于C，事件甲的概率为，事件乙的概率为，事件甲与事件乙同时发生的概率为， 因为，所以甲与乙独立，C正确； 对于D，事件丙的概率，事件丙与事件乙同时发生的概率为， 因为，所以乙与丙不独立，D错误； 故选：C. 3．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、概率的基本性质、独立事件的判断 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 4．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有个，编号分别为，不放回地随机摸出两个球. (1)写出实验的样本空间； (2)记事件为“摸出的两个球中有红球”，求事件A发生的概率； (3)记事件为“摸出的两个球全是白球”，事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求和，判断事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)； (3)，，不相互独立. 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）根据给定条件，列举并写出样本空间. （2）利用列举法，结合古典概型计算概率. （3）利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断即得. 【详解】（1）摸出编号为的两个球的基本事件记为， 所以实验的样本空间. （2）由（1）知，，事件，， 所以事件A发生的概率. （3）由（1），事件，，事件M的概率为， 事件，，事件M的概率为， 事件，，则，而， 显然，所以事件M，N不相互独立. 5．（23-24高一下·北京大兴·期末）6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件“两件产品中有一等品”，事件“两件产品中有二等品” ． (1)用适当的符号写出该随机试验的样本空间； (2)分别求事件的概率； (3)判断事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)事件不是相互独立的，理由见解析 【知识点】写出基本事件、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）分别写出事件的样本空间，根据古典概型的概率公式求出，； （3）求出，根据独立事件的定义判断即可． 【详解】（1）4件一等品分别用表示，2件二等品分别用表示， 依题意试验的样本空间 ； （2）事件， 事件， 所以，； （3）事件不是相互独立的，理由如下， ， 所以， 因为， 所以事件不是相互独立的. / 学科网（北京）股份有限公司 $$