第15章 概率 （知识归纳+题型突破 7题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第15章 概率（7题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 知识点2：事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点3：事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 知识点4：互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 知识点5：古典概型的概率计算公式 5.1古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 03 题型归纳 题型一　判断随机事件、必然事件、不可能事件 例题1：（23-24高二·上海·课堂例题）抛掷100枚同一类型且质地均匀的硬币，下面的陈述哪些是正确的，哪些是错误的？ (1)全部出现正面向上是不可能的； (2)至少有1枚出现正面向上是必然的； (3)出现50枚正面向上、50枚正面向下是不确定的． 例题2：（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 例题3：（23-24高一上·全国·课后作业）下列现象中，是确定性现象的是 ． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 巩固训练 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 2．（2024高一下·全国·专题练习）将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列事件中，确定性现象的个数为（    ） ①三角形内角和为； ②三角形中大边对大角，大角对大边； ③三角形中两个内角和小于； ④三角形中任意两边的和大于第三边． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 互斥事件、对立事件的判断　 例题1：（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 例题2：（23-24高一下·天津滨海新·期末）从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（    ） A．所取的2个球中至多有一个是黑球 B．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C．所取的2个球都是红球 D．所取的2个球中至少有一个红球 例题3：（多选）（23-24高一下·西藏拉萨·期末）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 2．（23-24高一下·河南新乡·期末）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（    ） A．甲分得黄球 B．甲分得白球 C．丙没有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黄球 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 题型三 古典概型　 例题1：（23-24高一下·江苏南京·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·江西南昌·期末）一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为 ． 例题3：（24-25高二上·贵州遵义·期末）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，，，，，频率分布直方图如图所示. (1)估计样本数据的75%分位数； (2)从产品数量在和的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少. 巩固训练 1．（2024高二下·浙江）从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南红河·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求该样本的第75百分位数； (2)该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀（80分及以上）的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在各一人的概率. 题型四 互斥事件的概率公式　 例题1：（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高二上·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 . 巩固训练 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为 . 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是 . 题型五 一般概率加法公式　 例题1：（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立， 例题2：（多选）（2024高一上·全国·专题练习）已知事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知事件、发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．一定有 D．若，则与相互独立 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知事件满足，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与互斥，则 D．若与相互独立，则 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 题型六 独立事件的判断　 例题1：（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 例题2：（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 例题3：（多选）（24-25高二上·山东德州·期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件不互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件C与事件D互斥B． C．事件A与事件B对立 D． 2．（多选）（广东省佛山市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D． 3．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 题型七 独立事件的乘法公式　 例题1：（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（多选）（24-25高一上·河南南阳·期末）甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都解出此问题的概率 B．甲、乙都末解出此问题的概率 C．甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D．至少有一人解出此问题的概率 例题3：（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·期末）甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西赣州·期末）陈某喜欢打排球和踢足球，他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进行体育锻炼.如果某天选排球，第二天还选排球的概率为；如果某天选足球，第二天还选足球的概率为.若陈某第天随机选其中一项，则陈某第天选排球的概率为 . 3．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 概率（7题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 知识点2：事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点3：事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 知识点4：互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 知识点5：古典概型的概率计算公式 5.1古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 03 题型归纳 题型一　判断随机事件、必然事件、不可能事件 例题1：（23-24高二·上海·课堂例题）抛掷100枚同一类型且质地均匀的硬币，下面的陈述哪些是正确的，哪些是错误的？ (1)全部出现正面向上是不可能的； (2)至少有1枚出现正面向上是必然的； (3)出现50枚正面向上、50枚正面向下是不确定的． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)正确 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义判断即可. 【详解】（1）全部出现正面向上是随机事件，故该事件是随机的，故该说法错误； （2）每一枚硬币出现正面向上是随机的，故至少有一枚出现正面向上是随机的，故该说法错误； （3）出现50枚正面向上、50枚正面向下是不确定的，为随机事件，故该说法正确. 例题2：（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 例题3：（23-24高一上·全国·课后作业）下列现象中，是确定性现象的是 ． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 【答案】① 【知识点】随机现象、判断事件是否是随机事件 【分析】根据确定事件以及不可能事件和随机事件的定义即可求解. 【详解】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象． 故答案为：① 巩固训练 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件． 故选：C 2．（2024高一下·全国·专题练习）将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义即可求解. 【详解】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件． 故选：C． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列事件中，确定性现象的个数为（    ） ①三角形内角和为； ②三角形中大边对大角，大角对大边； ③三角形中两个内角和小于； ④三角形中任意两边的和大于第三边． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据题意结合事件的确定性现象以及随机现象的概念逐项分析判断. 【详解】对①：三角形内角和为，故为确定性现象； 对②：三角形中大边对大角，大角对大边，故为确定性现象； 对③：对任意两内角的和可能小于，也可能等于，或大于，故为随机现象； 对④：三角形中任意两边的和大于第三边，故为确定性现象． 所以确定性现象的个数为3. 故选：C. 题型二 互斥事件、对立事件的判断　 例题1：（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 例题2：（23-24高一下·天津滨海新·期末）从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（    ） A．所取的2个球中至多有一个是黑球 B．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C．所取的2个球都是红球 D．所取的2个球中至少有一个红球 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】先列出试验包含的所有可能结果，再根据互为对立事件的定义进行一一判断即得. 【详解】从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球的结果有“2个红球”，“1个红球1个黑球”2种，事件“1个红球1个黑球”. 对于A，“所取的2个球中至多有一个是黑球”包含“2个红球”，“1个红球1个黑球”，与事件不互斥，故A错误； 对于B，“所取的2个球中恰有1个黑球1个红球”即事件，故B错误； 对于C，“所取的2个球都是红球”与事件不能同时发生，且并集为必然事件，故C正确； 对于D，“所取的2个球中至少有一个红球”包含“2个红球”，“1个红球1个黑球”，与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 例题3：（多选）（23-24高一下·西藏拉萨·期末）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 【答案】AB 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事件；对于BCD，利用与A相同的方法进行分析，从而解答题目. 【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”. 对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确； 对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确； 对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误； 对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生， 故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误. 故选：AB. 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 2．（23-24高一下·河南新乡·期末）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（    ） A．甲分得黄球 B．甲分得白球 C．丙没有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黄球 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由对立事件的概念即可得解. 【详解】甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件. 故选：C. 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是 .①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 【答案】①④ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念逐个判断即可. 【详解】从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件， 恰有1件次品和恰有2件次品是互斥的； 至少有1件次品和全是正品是互斥的； 至少有件正品和至少有件次品能同时发生，两者不是互斥事件； 至少有件次品和全是次品能同时发生，两者不是互斥事件； ∴①④是互斥事件. 故答案为：①④ 题型三 古典概型　 例题1：（23-24高一下·江苏南京·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 例题2：（24-25高一上·江西南昌·期末）一个袋子里红球和黑球的数量之比为，小球除颜色外，其余完全相同.先按分层抽样从袋子中抽取6个小球，再从中任意取出两个小球，其中至少含有个黑球的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】首先求出红球、黑球抽取的个数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】因为袋子里红球和黑球的数量之比为， 所以红球抽取个，分别记作、、、； 黑球抽取个，分别记作、； 从中任意取出两个小球，则可能结果有、、、、、、、、 、、、、、、共个； 其中至少含有个黑球的有、、、、、、、、共个； 所以至少含有个黑球的概率. 故答案为： 例题3：（24-25高二上·贵州遵义·期末）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，，，，，频率分布直方图如图所示. (1)估计样本数据的75%分位数； (2)从产品数量在和的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少. 【答案】(1)28； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、频率分布直方图的实际应用、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的定义确定75%分位数所在的区间，设百分位数为x，列出关于x的方程求解即可； （2）根据题意先计算出在和区间抽取的人数，再计算 出3人在同一组内的概率即可. 【详解】（1）由题可得，前三组频率之和为， 前四组频率之和为，则样本数据的75%分位数在区间内， 设75%分位数为x，则有，解得， ∴样本数据的75%分位数为28. （2）由图可得在内的工人为人，在内的工人为人， 故在内抽取4人，记为A，B，C，D；在内抽取2人，记为X，Y， 则从这6人中抽取3人的样本空间有20个样本点：，，且20个样本点发生的可能性是相等的， 其中3人在同一组的样本点有共4个， 设3人在同一组的概率为P，则有. 综上，3名工人在同一组的概率为. 巩固训练 1．（2024高二下·浙江）从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、 、、、、、、共个， 其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个， 所以这两个数的和不小于的概率. 故选：C 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先列举出所有取花灯的排列情况，再求出花灯与花灯相邻取下的排列情况数，最后用古典概型概率公式求解即可. 【详解】记第一串从下往上的花灯标记为，第二串从下往上的花灯标记为， 则有， 共有10种， 花灯与花灯被相邻取下的排列情况为共6种， 所以花灯与花灯被相邻取下的概率为. 故选：C 3．（24-25高二上·云南红河·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求该样本的第75百分位数； (2)该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀（80分及以上）的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在各一人的概率. 【答案】(1)82.5. (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）先根据频率估计第75百分位数所在区间，再根据百分位数的定义计算即可； （2）先根据比例确定这6人中有几人位于区间，有几人位于区间，再根据古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以第75百分位数落在第5组，设为， 则，解得. 故该样本的第75百分位数为82.5. （2）采用分层抽样从）和抽取6名同学， 因为， 所以应在成绩为的学生中抽取4人，记为； 在成绩为的学生中抽取2人，记为； 再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学的样本空间有如下： ，共15种； 其中在各一人的有： ，共8种； 由此，这2名同学分数在各一人的概率为. 题型四 互斥事件的概率公式　 例题1：（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以. 故选：D． 例题2：（24-25高二上·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 . 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】分三种情况：分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者，求出每一种情况的概率，然后利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件， 则；；， 因此“恰有一名女志愿者”的概率为. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可. 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为： 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为 . 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】分类讨论甲、乙两人猜对的情况，结合独立事件以及互斥事件概率求法运算求解. 【详解】若甲两轮猜对1个成语，乙两轮没有猜对成语，此时概率； 若甲两轮没有猜对成语，乙两轮猜对1个成语，此时概率； 所以“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是 . 【答案】0.504 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】列出甲最终获胜的所有比赛情形，根据相互独立事件的概率计算公式，分别算出每种情形甲获胜的概率，相加得到最终结果. 【详解】甲最终获胜的所有比赛情形有3种， 甲胜前两局：； 第一局甲胜乙，第二局丙胜甲，第三局乙胜丙，第四局甲胜乙：； 第一局乙胜甲，第二局丙胜乙，第三局甲胜丙，第四局甲胜乙：， 故甲最终获胜的概率为. 故答案为：0.504. 题型五 一般概率加法公式　 例题1：（多选）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立， 【答案】ACD 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、事件的运算及其含义 【分析】对于A，由可得，计算即可；对于B，由互斥事件的概率公式计算即可；对于C，由事件的独立性定义判断即可；对于D，由事件的独立性的概率公式计算即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 则相互独立，故C正确； 对于D，若相互独立，则相互独立，且， 所以，故D正确． 故选：ACD． 例题2：（多选）（2024高一上·全国·专题练习）已知事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】AB 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的定义判断A；利用并事件的概率公式判断B；利用互斥事件的概率公式判断C；分析可知判断出D. 【详解】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，故B正确； 对于C，若与互斥，则，故C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，故D错误． 故选：AB 例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、概率的基本性质 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立事件的概率公式以及独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】由与为对立事件，则， 又与相互独立，则， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知事件、发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．一定有 D．若，则与相互独立 【答案】ABD 【知识点】独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系 【分析】由对立事件的概率公式可判断A选项；由可判断B选项；根据事件的包含关系可判断C选项；根据独立事件的定义和性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由对立事件的概率公式可得，A对； 对于B选项，因为， 当且仅当时，等号成立， 又因为，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，，B对； 对于C选项，因为，，无法确定、的包含关系，C错； 对于D选项，因为， 所以，，则、独立，进而可知，与相互独立，D对. 故选：ABD. 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知事件满足，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与互斥，则 D．若与相互独立，则 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】运用互斥事件的概率公式，结合相互独立事件的概念和概率公式逐个计算验证即可. 【详解】若，则，故A正确； 若与互斥，则，，故B正确，C错误； 若与相互独立，则， 所以，故D正确． 故选：ABD． 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】利用求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 题型六 独立事件的判断　 例题1：（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断. 【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则该试验的样本空间为：， 则，事件，， 事件，. 对于A，，故A错误； 对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误； 对于C，因，，则， 而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确； 对于D，因，，故D错误. 故选：C. 例题2：（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 例题3：（多选）（24-25高二上·山东德州·期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件不互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 【答案】ABC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据古典概型的概率公式判断A，根据互斥事件、相互独立事件的定义判断B、C，根据判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故B正确； 事件与事件同时发生的情况有共4种， 所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件C与事件D互斥 B． C．事件A与事件B对立 D． 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率 【分析】写出试验的样本空间，判断是古典概型，利用古典概型的概率公式计算概率可判断B、D，根据互斥和对立的定义可判断A、C. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型 对于A，事件，所以事件C与事件D不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，，， 则，且，所以事件A与事件B对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：C. 2．（多选）（广东省佛山市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，则（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与B相等 D． 【答案】BD 【知识点】确定所给事件的包含关系、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、相互独立事件以及事件相等的概念，再根据抛掷硬币的实际情况来判断各选项. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面朝上（事件A发生）时，第二次仍有可能反面朝上（事件B发生），即A与B是可以同时发生的.所以A与B不是互斥事件，A选项错误. 对于B，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 第一次抛掷硬币的结果不会影响第二次抛掷硬币的结果. 事件A发生的概率， ，即. 所以A与B相互独立，B选项正确. 对于C，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次反面朝上”，它们所包含的具体情况明显不同.所以A与B不相等，C选项错误. 对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都是. 事件A“第一次正面朝上”的概率，事件B“第二次反面朝上”的概率.所以，D选项正确. 故选：BD. 3．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 题型七 独立事件的乘法公式　 例题1：（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 例题2：（多选）（24-25高一上·河南南阳·期末）甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都解出此问题的概率 B．甲、乙都末解出此问题的概率 C．甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D．至少有一人解出此问题的概率 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的加法公式求解即可． 【详解】记甲解出此题为事件A，乙解出此题为事件B，A与B为相互独立事件， 则，由，故A正确； 由，故B错误； 记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题，则， 所以 ，故C正确； 记事件D为至少有一人解出此问题，，故D错误． 故选：AC． 例题3：（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用分类分步计数原理即可算出结果. （2）诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词包括小王回答正确2句，小明回答正确1句；和小王回答正确1句，小明回答正确2句，分别计算概率再相加即可. 【详解】（1）设表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则 （2）设，分别表示小明两轮猜对1句、2句诗词的事件，，分别表示小王两轮猜对1句、2句诗词的事件，则，，         ，.         设事件“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，             所以， 即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是. 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·期末）甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设 分别表示甲两轮答对个，个题目的事件， 分别表示乙两轮答对个，个题目的事件， 则，， ，， 设“两轮活动星队答对个题目”，则， 因为且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮竞答中答对个题目的概率是 ， 故选：B 2．（24-25高三上·江西赣州·期末）陈某喜欢打排球和踢足球，他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进行体育锻炼.如果某天选排球，第二天还选排球的概率为；如果某天选足球，第二天还选足球的概率为.若陈某第天随机选其中一项，则陈某第天选排球的概率为 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】利用相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式即可得出. 【分析】设表示第天选排球，表示第天选足球， 设陈某第3天选排球为事件，则， 则事件是由，，，四个互斥事件和构成， 即， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到事件是由，，，四个互斥事件和构成. 3．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$