第11章 解三角形（知识归纳+题型突破）（10题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 知识点02：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 知识点03：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 03 题型归纳 题型一　根据正（余）弦定理解三角形 例题1：（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 例题2：（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 2．（24-25高三上·北京西城·期末）在中，若，，，则 . 3．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，则 . 题型二 判断三角形形状　 例题1：（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 例题2：（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 例题3：（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（   ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 巩固训练 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（2024高一下·江苏·专题练习）在中，已知，则为（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 题型三 三角形解的个数　 例题1：（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2：（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 题型四 证明三角形中恒等式或不等式　 例题1：（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 例题2：（多选）（2024·辽宁·模拟预测）中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（   ） A． B．，，不能构成三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，均为有理数，则为有理数 例题3：（多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则是等腰直角三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若为非直角三角形，则 巩固训练 1．（多选）（22-23高一下·江西萍乡·期中）已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 2．（多选）（23-24高二上·河北衡水·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 3．（多选）（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 正弦定理边角互化的应用　 例题1：（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2：（2025·河北邯郸·二模）在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 题型六 三角形面积（定值）　 例题1：（24-25高二上·江苏连云港·期末）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 例题2：（24-25高三上·江苏·期末）在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若点M为AC中点，且，求的面积． 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）平面四边形中，，，， (1)记，求； (2)求的面积. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知的三个内角所对边为，若，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)点在边上，且，若，求的面积． 题型七 三角形面积最值（范围） 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 例题2：（23-24高一下·江苏·阶段练习）作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. (1)若时，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 例题3：（23-24高一下·江苏连云港·期中）在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且. (1)求A； (2)若，求S的最大值. 3．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 题型八 三角形周长（边长） 例题1：（2025·江苏泰州·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 例题2：（24-25高三上·江苏南京·期中）在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 例题3：（2024·江苏徐州·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长． 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若为在方向上的投影向量的长，且满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)证明： (2)若，，求的周长. 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 题型九 三角形周长（边长）最值范围 例题1：（24-25高三上·江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 例题2：（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 例题3：（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 巩固训练 1．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 3．（24-25高二上·湖北恩施·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 题型十 正余弦定理的实际应用 例题1：（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 例题2：（23-24高一下·辽宁大连·期中）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 例题3：（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）成化高中高一同学参加社会实践，测量“周庄外滩”某处河对岸彩灯带的长度，设计方案．如图，河对岸彩灯带从延伸到，同学们在此岸选择两点，距离为，通过测量得，，，，则彩灯带的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）《后汉书-张衡传》曰：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机，外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距的，两地各放置一个地动仪，在的东偏北方向，若地地动仪正东方向的铜丸落下，地东偏南方向的铜丸落下，则地震的位置在地正东（    ）km． A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一．如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 知识点02：正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ，，（可实现边到角的转化） ⑥ ，，（可实现角到边的转化） 知识点03：解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 03 题型归纳 题型一　根据正（余）弦定理解三角形 例题1：（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 例题2：（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A. 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 2．（24-25高三上·北京西城·期末）在中，若，，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理得，再根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出. 【详解】由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 又因为，为三角形内角，则， 则由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】由题设和正弦定理结合，求出即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 又，所以，所以，即， 所以. 故答案为：. 题型二 判断三角形形状　 例题1：（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状. 【详解】由正弦定理，即， 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 例题2：（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题. 解决此类题的方法主要有： （1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； （2）内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边； （3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； （4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 例题3：（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（   ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】A选项，由正弦定理得到，求出，同理可得，A正确；B选项，由正弦定理和二倍角公式得到，故或，故为等腰三角形或直角三角形；C选项，化切为弦得到，结合B选项可得C错误；D选项，无法确定中其中之一是否为钝角，D错误. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即， 因为，所以，故，即， 同理可得，故， 一定是等边三角形，A正确； B选项，，由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以或， 故或，故为等腰三角形或直角三角形，B错误； C选项，， 即，由B选项可知，为等腰三角形或直角三角形，C错误； D选项，，故， 故为锐角，但不知中其中之一是否为钝角，故无法确定是否为钝角三角形，D错误. 故选：A 巩固训练 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用三角形的性质结合两角和差的正弦公式求得，从而，即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以为等腰三角形， 故选：C 2．（2024高一下·江苏·专题练习）在中，已知，则为（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】 根据题意，由余弦定理代入计算即可得到，从而得到结果. 【详解】 由余弦定理可得，又， 则，化简可得，所以，且， 所以为等边三角形. 故选：A 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理和余弦定理讲原式角化边，化简整理即可. 【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：， 整理可得， 即，当时，为等腰三角形， 当时为直角三角形. 故选：D 题型三 三角形解的个数　 例题1：（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围. 【详解】在中，，由有两解，得，且， 则，由外接圆半径为4及正弦定理，得， 所以边的长可能为5. 故选：D 例题2：（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 例题3：（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 由满足条件，的有两个，得，且，即， 因此，所以. 故选：A 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【答案】8（答案不唯一） 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由符合条件的有且只有一个，可得或，列式算出的取值范围，从而可得正确答案． 【详解】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 题型四 证明三角形中恒等式或不等式　 例题1：（多选）（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 例题2：（多选）（2024·辽宁·模拟预测）中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（   ） A． B．，，不能构成三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，均为有理数，则为有理数 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用即可判断B，利用余弦定理以及不等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D. 【详解】对于A,由于，平方可得，相加化简可得，故A正确， 对于B，取，则，，能构成三角形，B错误， 对于C，由可知，故为最大的内角，则， 故为锐角，进而可得为锐角三角形，C正确， 对于D，若，，均为有理数，则均为有理数， 则为有理数，不妨设，延长到，使得， 过作，故， 由于， 故为有理数，所以均为有理数， 因此为有理数， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出，在中由余弦定理即可求解. 例题3：（多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则是等腰直角三角形 C．若是锐角三角形，则 D．若为非直角三角形，则 【答案】CD 【知识点】三角形中的三角恒等式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】A由正弦定理有，代入目标式即可判断；B正弦边角关系及三角恒等变换得，结合三角形内角性质即可判断；C由题设且都为锐角即可判断；D利用商数关系、和差角正余弦公式化简判断是否与右侧相等. 【详解】A：由，则，错； B：，而， 所以或，即是等腰三角形或直角三角形，错； C：由锐角三角形知：，故，对； D： ，对. 故选：CD 巩固训练 1．（多选）（22-23高一下·江西萍乡·期中）已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】对于A由正弦定理角化边即可判断;对于B根据余弦函数的单调性即可判断;对于C先确定最大角,再利用余弦定理求解即可;对于D,先根据为锐角三角形得到,再利用正弦函数的单调性即可判断. 【详解】对于A,由正弦定理得:,所以一定为等腰三角形,故A正确; 对于B,因为,又在时为减函数,所以,故B错误; 对于C,因为,所以角为最大角, 设,由余弦定理得: , 因为,所以,故C正确; 对于D,若为锐角三角形,则, 即, 因为, 所以, 因为函数在时为增函数, 所以,故D正确. 故选:ACD. 2．（多选）（23-24高二上·河北衡水·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【答案】ACD 【知识点】正弦定理及辨析、正弦定理边角互化的应用、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】A、C、D根据正弦定理判断即可，由判断B即可. 【详解】A：由正弦定理知，则，故A正确； B：显然时，成立，但不成立，故B错误； C：三角形中，故C正确； D：由正弦定理及合比的性质知：，故D正确. 故选：ACD 3．（多选）（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】比较正弦值的大小、比较余弦值的大小、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】对于A，根据三角形内角的性质，结合正弦函数的单调性，利用分类讨论思想，可得答案；对于B，根据余弦函数的性质，结合钝角三角形的性质，可得答案；对于C，根据余弦函数的单调性，可得答案；对于D，利用特殊反例，可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，且，则， 当为锐角时，由在上单调递增，则， 当为钝角时，即，则，所以，故A正确； 对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误； 对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确； 对于D，当，，时，符合题意， 则，，即，故D错误. 故选：AC. 题型五 正弦定理边角互化的应用　 例题1：（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 例题2：（2025·河北邯郸·二模）在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由结合面积公式计算可得，则，由，结合正弦定理可得，再利用余弦定理结合边化角及完全平方公式计算即可得. 【详解】因为，即，所以， 因为，所以，所以， 又， 根据正弦定理可得，所以， 由余弦定理得，所以， 所以由正弦定理得， ， 所以. 故选：C. 例题3：（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】先计算出，然后利用面积公式计算出，再利用余弦定理和基本不等式计算出，最后计算出的最大值. 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得， 而，故， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而，则，其中， 故， 令，故. 故选：B 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由，结合，由正弦定理可得.最后由，结合余弦定理可得答案. 【详解】， 由正弦定理，则. 由余弦定理， . 故选：B 3．（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故， 故答案为：. 题型六 三角形面积（定值）　 例题1：（24-25高二上·江苏连云港·期末）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)7； (2). 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）法一：应用正余弦定理求边长；法二：过点作的垂线，垂足为，根据已知求边长； （2）应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）法一：在中，由正弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得 ； 法二：过点作的垂线，垂足为， 在中，则， 在中，则， 所以 在中，. （2）由（1）可得，. 例题2：（24-25高三上·江苏·期末）在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果. （2）利用同角三角函数的平方关系先求出的值，再正弦定理即可求得， 进而求得,利用三角形的面积公式即可求的结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以，在中，由正弦定理得， 而，，所以． 因为，所以． （2）在中，因为，所以， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ， 所以的面积． 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若点M为AC中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）证明，求出，求出，根据求出； （2）先证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，根据正弦定理求出三边比例关系，求出和，求出的面积. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以，所以或， 当时，因为， 所以，此时， 所以，因为， 所以，所以； （2）先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍， 如图，是中线，是高线， 因为，，，， 所以 ， 回到题目中，设， 所以，，， 所以， 设，，， 因为，所以， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键（2）关键在于证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍. 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）平面四边形中，，，， (1)记，求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定义和正弦定理，结合两角差的正弦公式，即可求解； （2）利用平方关系，二倍角公式以及面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题知，在中， 由正弦定理得，， 即，所以， 在中，， 所以 ， 所以，则. （2）由（1）知，， 又， 所以， 且， 又，所以， 连接， 所以的面积为. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知的三个内角所对边为，若，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果； （2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：，即， ，则. （2），， 由余弦定理得：， 又，，解得：或（舍）， ，. 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)点在边上，且，若，求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用两角和的正切、正弦展开式化简可得答案； （2）利用余弦定理、三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）由可得， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为，所以， 又， 所以， 化简可得，故， 又因为，所以， 所以， 所以为直角三角形； （2）由（1）得，，且为直角三角形， 设，则，，． 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 故． 题型七 三角形面积最值（范围） 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】余弦定理边角互化的应用、已知数量积求模、条件等式求最值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 例题2：（23-24高一下·江苏·阶段练习）作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. (1)若时，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，进而由得，从而求，可得护栏的长度（的周长）； （2）设（），利用三角形的面积公式可得，又在中，由正弦定理得，从而由可求； （3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角恒等变换即可求解. 【详解】（1）由，，， 得，又，则，， 所以， 在中， 由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴， ∴护栏的长度（的周长）为. （2）设， 因为鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查余弦定理、正弦定理的应用与三角恒等变换的综合问题，在解题此类问题时，认真观察转化为解三角形问题，在应用正弦定理和余弦定理时候要注意具体在用哪一个三角形，要善于结合三角恒等变换化简求解. 例题3：（23-24高一下·江苏连云港·期中）在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)修建观赏步道时应使得，. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理求出，再利用面积公式即可求解； （2）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解； （3）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可知， 所以 所以平方米. （2）， 解得， 因为是钝角，所以， =， 故需要修建米的隔离防护栏. （3）， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 解得：， 花卉观赏区的面积为 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值为1， ， 当且仅当时取到等号，此时 答：修建观赏步道时应使得，. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且. (1)求A； (2)若，求S的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）通过二倍角公式与余弦定理化简原式，即可求得； （2）借助余弦定理和基本不等式可以求得面积的最大值. 【详解】（1）由得， ， 化简得，，又根据余弦定理 ，则代入上式可得即， 因为A为锐角，所以. （2），由， ，则，， 所以S的最大值为. 3．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)时，的面积取最小值为 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）设（），则由与面积关系得，再在中由正弦定理得，进而建立等量关系即可求解. （2）在中由正弦定理得，再在中得，接着由面积公式结合三角恒等变换公式进行转换即可研究求解最值. 【详解】（1）设（），则， 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， 所以，即， 中，由三角形外角定理可得， 在中，由，得， 从而，即， 由，得， 所以，即. （2）∵，，， ∴，∴，∴，∴， 设（），则，， 又由（1）， 且在中，由，得， 所以 ， 又，所以当且仅当时，即时， 的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：求解鱼塘的面积最小值可根据问题确定变量为，面积公式为，再将统一用来表示即可结合三角恒等变换公式求解.. 题型八 三角形周长（边长） 例题1：（2025·江苏泰州·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 例题2：（24-25高三上·江苏南京·期中）在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知三角函数值求角 【分析】（1）方法一：由，正弦定理得，再由，得，可求； 方法二：已知条件结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，可求； （2）方法一：利用向量数量积求； 方法二：由，有，利用余弦定理求的长度 【详解】（1）方法一： 因为，由正弦定理得：， 又，得， 中，，所以， 又因为在中，所以. 方法二： 因为，由余弦定理得：， 解得，所以， 又因为在中，所以. （2）方法一： 在中，是中点，所以， ， ，即的长为. 方法二： 由（1）方法二，知， 又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 因为， 所以， 即， 解得，即的长为. 例题3：（2024·江苏徐州·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长． 【答案】(1) (2)4. 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理将边转化为角，再利用三角函数的公式求出角B. （2）利用角平分线定理得到边的关系，再结合余弦定理求出BD的长. 【详解】（1）已知，由正弦定理（为外接圆半径）， 可得. 因为，所以，那么. 根据两角和的正弦公式， 则. 展开可得. 移项可得. 因为，所以，两边同时除以得，解得. 又因为，所以. （2）因为BD是角的平分线，根据角平分线定理， 已知，，所以，设，则. 在中，根据余弦定理， ，，则. 即，解得，所以，. 在中，根据余弦定理， 因为，所以. 设，则. 即，整理得. 分解因式得，解得或. 当，在中，,舍去. 当，在中，,满足. 故BD的长度为4.    巩固训练 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若为在方向上的投影向量的长，且满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由，再结合边化角即可求解； （2）由余弦定理列出等式，求得即可求解. 【详解】（1）如图可得： ∴，∴.    （2）①， 而②， 联立①②，∴周长为：. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)证明： (2)若，，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证； （2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得，从而求得，由此得解. 【详解】（1）已知， 可化为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 整理得. （2）当，时，， ， 所以，解得， 所以的周长为 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由题意，根据余弦定理建立方程，可得答案. （2）由题意，利用正弦定理表示出边与角之间的等量关系，结合余弦定理建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，则， 在中，， 在中，， 在中，为中线，则，， 则，化简可得， 由，则，解得， 所以. （2）由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，出余弦定理得 ， 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以． 故的长为2． 题型九 三角形周长（边长）最值范围 例题1：（24-25高三上·江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用切化弦以及三角恒等变换化简得出，求出这两个角的值，利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求解即可； （2）分析可得，利用正弦定理化简可得，根据角的取值范围可求出的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，可得， 所以，， 因为、，且余弦函数在上单调递减，则， 当时，则， 由正弦定理可得，则， 因此，的面积为. （2）由（1）可得，则， 由正弦定理可得，则， 因为，则，可得， 所以，，即的取值范围是. 例题2：（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 例题3：（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，设，利用正弦定理有， 即，利用函数即可求解. 【详解】（1）因为由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 巩固训练 1．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理，结合，得到，求出答案； （2）由正弦定理和正弦二倍角公式得到，结合求出，并根据三角形为锐角三角形得到不等式，求出，，由正弦定理和三角恒等变换得到. 【详解】（1）， ， 又，， ，解得． ，． （2）， ， 或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， ， ， 的取值范围为． 3．（24-25高二上·湖北恩施·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合正弦和角公式、辅助角公式计算即可； （2）根据（1）的结论及正弦定理用角表示边，结合三角恒等变换先求得，根据三角函数的性质计算值域即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知，， 因为， 所以， 即． 又，所以． 所以，即或， 即或（舍去）． （2）由（1）得，则，即, 由正弦定理可知， 所以， 因为为锐角三角，所以， 即，则， 即，则. 故的周长的取值范围为． 题型十 正余弦定理的实际应用 例题1：（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 例题2：（23-24高一下·辽宁大连·期中）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】记，，，，，，，，，，，，，再利用正余弦定理逐一分析判断和举反例判断即可. 【详解】记，，，，，， ，，，，，，． 先从③入手：已知，在中，由，可确定； 同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故③正确； 再考察④：已知，在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，可确定， 由，（1） 可确定，故④正确； 对于①：已知，可确定， 在中，已知，解三角形知可能有两解， 例如若，则，解得或2， 代入（1）使也有两个值，故①错误； 对于②：已知，同③④，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，（2） 联立（1）、（2），得， 解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如若，得， 解得或，故②错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：已知三角形的两边及一角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种： （1）利用余弦定理求出其它角； （2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好. 例题3：（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.    (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 【答案】(1)（海里） (2)救援船能够在1小时内到达救援地点，理由见解析 【知识点】距离测量问题、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可； （2）在中，由余弦定理解出即可. 【详解】（1）    如图：由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； （2）在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里， 所以需要的时间为（分钟）（分钟） 答：点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）成化高中高一同学参加社会实践，测量“周庄外滩”某处河对岸彩灯带的长度，设计方案．如图，河对岸彩灯带从延伸到，同学们在此岸选择两点，距离为，通过测量得，，，，则彩灯带的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，可得，进而在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理可得， 在中，可知，， 则，所以， 在中，由余弦定理得． 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）《后汉书-张衡传》曰：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机，外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距的，两地各放置一个地动仪，在的东偏北方向，若地地动仪正东方向的铜丸落下，地东偏南方向的铜丸落下，则地震的位置在地正东（    ）km． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由题意可得，则，利用正弦定理即可求解. 【详解】作图如下，由题意得，则. 由正弦定理,得 ， 则地震的位置在地正东. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一．如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    【答案】 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以, 求出h即可 【详解】设 在中，，. 在中， ,, 在中，,. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为, 所以， 即，. 故答案为： 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$