第15章 概率 （单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第15章 概率（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据条件，通过列举，得到从人中抽取人共有种情况，全是男生只有种情况，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人，有，共种， 全是男生有：，所以抽到的两人都是男生的概率为， 故选：A. 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得. 故选：D 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】若灯亮，则需、闭合，结合相互独立的概率公式计算即可的. 【详解】若灯亮，则需、闭合，闭合与否都可， 故灯亮的概率为. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】B 【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率 【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D． 【详解】由题可得，样本空间为 ，共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对于．若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确； 对于B．事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如， ∴事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对C．，C正确； 对D．所以 又因为所以， 所以与相互独立，D正确． 故选：B． 5．（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断. 【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则该试验的样本空间为：， 则，事件，， 事件，. 对于A，，故A错误； 对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误； 对于C，因，，则， 而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确； 对于D，因，，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高二上·山东·阶段练习）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（   ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，，则 C．若，是独立事件，，，则 D．若，，且，则，是独立事件 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、独立事件的判断 【分析】根据对立事件的概念判断A；根据互斥事件的概率加法公式判断B；根据独立事件的定义及概率公式判断CD. 【详解】对于A，若，是对立事件，则，A错误； 对于B，若，是互斥事件，，则，B错误； 对于C，若，是独立事件，而， 所以， 所以，C错误； 对于D，，则， 又，则，是独立事件，D正确. 故选：D 7．（2024·广东·二模）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可. 【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. (1)若，则，即，， 此时不满足； (2)若，则，且，又因为， 所以或，即或3； ①若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； ②若，，同理有个满足条件的事件； ③若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； ④若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 8．（23-24高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于事件A，利用对立事件可求其概率；对于事件B：利用独立事件概率方差公式可求其概率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 【答案】AB 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系 【分析】写出试验的样本空间，再利用互斥事件、对立事件的意义判断ABC；求出概率判断D. 【详解】试验的样本空间(甲红,乙绿,丙白),(甲红,乙白,丙绿),(甲绿,乙白,丙红),(甲绿,乙红,丙白),(甲白,乙绿,丙红),(甲白,乙红,丙绿)， 对于A，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”不可能同时发生，它们互斥，A正确； 对于B，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”不可能同时发生，它们互斥，B正确； 对于C，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”可以同时不发生，它们不对立，C错误； 对于D，样本空间共有6个样本点，事件"甲分得红球，乙分得绿球"发生的概率是，D错误. 故选：AB. 10．（24-25高二上·广东广州·期末）一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A和事件B相互独立 D．事件B和事件C相互独立 【答案】BCD 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、事件的运算及其含义 【分析】由题分别找出，的值，根据事件独立性的判断即可求得C、D选项； 再由并事件的计算公式求得A、B选项. 【详解】由题，， 故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确. 对于A选项，，故选项A错误； 对于B选项，,故选项B正确； 故选：BCD. 11．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立， 【答案】ACD 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对于A，由可得，计算即可；对于B，由互斥事件的概率公式计算即可；对于C，由事件的独立性定义判断即可；对于D，由事件的独立性的概率公式计算即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 则相互独立，故C正确； 对于D，若相互独立，则相互独立，且， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 【答案】/0.3 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】分别求出试验“从中不放回的抽取两个小球”和事件“两次得分之和为0分”所含的样本点数，利用古典概型概率公式即可求得. 【详解】不妨记2个白球，2个红球，1个黄球依次为, 则试验“从袋中不放回的抽取两个小球”的样本空间为： ， 则事件 “两次得分之和为0分”包含的样本点组成的集合为 由古典概型概率公式，可得两次得分之和为0分的概率为. 故答案为：. 13．（2025·河北邯郸·二模）投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的表面分别标有1，2，3，4，5，6点数标记），每投掷一次都记录下骰子的点数，连续投掷两次，记表示这两次投掷的点数的平均数，则的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】连续投掷两次质地均匀的骰子则有36个样本点，找出满足的样本点，利用古典概型即可求解. 【详解】若，则或，解得或，连续投掷两次，包括36个样本点，其中的情形有，，，，，，，，，共10个样本点；的情形有，，，，，，，，，共10个样本点，故所求概率为. 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】分两类讨论结合独立事件的乘法概率公式，最后应用互斥事件和概率公式计算即可. 【详解】分两类讨论： （1）第一次摸球甲小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，两个小朋友摸出的球均为白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，两个小朋友摸的球均为黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； （2）第一次摸球乙小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，甲小朋友摸到白球、乙小朋友摸到黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，甲小朋友摸到黄球、乙小朋友摸到白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率． 综上所述，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·河南南阳·期末）2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中. (1)求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）； (2)若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率. 【答案】(1)，中位数74； (2). 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图 【分析】（1）由题中频率分布直方图，根据频率之和为列出等式，得到，结合，求出；接着由中位数两侧的频率之各为，列出等式即可求出中数位； （2）根据分层抽样，先分别确定成绩在、的学生人数，再由列举法，列举出所有的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题图知，得. 又，所以. 设所求的中位数为，由频率分布直方图可知： 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以，则， 解得. （2）由题意可知，分层抽样的抽样比为. 因为成绩在、的学生分别有人，人， 故在内抽取4人，记为， 在内抽取1人，记为， 从这5个人中任选2人，样本空间为，共10个样本点， 设事件表示“这2人的成绩在同一组”， 则事件A的样本空间为，包含6个样本点， 所以. 16．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”， 由题意有． 设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则， 所以 ； （2）设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件 . 17．（安徽省2024-2025学年高三上学期1月期末检测数学试题）某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额． (1)若，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率； (2)若，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)A，B不相互独立，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【详解】（1）一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元， 故所求概率为． （2）由题意，事件AB表示“一名员工所获得的红包金额为100元”． 因为， 所以 ．           “一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”， 因为， 所以．            “一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元， 因为， 所以．            所以， 所以A，B不相互独立． 18．（24-25高三上·全国·阶段练习）王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游，不是一个人的王者，而是团队的荣耀！5v5王者峡谷PVP对战，领略英雄竞技的酣畅淋漓！在游戏中，打野玩家可以选择红开或蓝开，不依赖蓝条的英雄可以优先选择红开．在一把人机对决游戏中，坤坤选出了他的成名英雄典韦，看到敌方阵容前期较弱后，决定入侵敌方的蓝buff．已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开，若敌方打野选择蓝开，典韦入侵野区成功的概率为，若敌方选择红开，典韦入侵野区成功的概率为，回答下列问题 (1)坤坤连续进行了三场对局，且每场对局敌我阵容完全相同，求坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率 (2)在某场单挑对决中，敌方选取老夫子并准备向坤坤的典韦发起进攻．已知典韦与老夫子的距离为，老夫子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动，为了避免被控制，坤坤迅速释放一技能位移（位移方向与老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韦一技能位移可看作为加速度为，初速度的匀加速直线运动，老夫子的大招位移可看作速度为的匀速直线运动，且最大位移距离为8，若要求典韦能够躲开老夫子大招的控制，求典韦的加速度的最小值. (参考公式： ①匀加速直线运动，位移与初速度，加速度和时间的关系：； ②匀速直线运动，末速度与初速度，时间和加速度的关系为： 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、函数不等式恒成立问题、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，求出每一局游戏典韦成功入侵和入侵失败的概率，再求三局全部成功和三局全部失败的概率，最后运用间接法即可求得； （2）设二者经过秒后速度相同，依题意，只需使在时恒成立，即使在上恒成立，求出函数的最大值即得. 【详解】（1）不妨求三局全部成功（事件A）或三局全部失败（事件B）的概率， 若敌方红开，则成功入侵的概率为：， 若敌方蓝开，则成功入侵的概率为：， 因此由互斥事件的概率加法公式知，每一局游戏典韦成功入侵的概率都是， 每一局游戏典韦失败的概率是， 则  ， . 因此 即坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率为. （2）由题设可得2秒后老夫子不移动. 设典韦移动时间为且不被老夫子追上， 则， 因时显然成立，故不等式等价于，记， 由可知，故得. 综上，的最小值为. 19．（24-25高二上·四川成都·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 (2) (3)的所有可能取值为5，6，7 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 概率（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 5．（24-25高二上·广东汕尾·期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 6．（24-25高二上·山东·阶段练习）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（   ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，，则 C．若，是独立事件，，，则 D．若，，且，则，是独立事件 7．（2024·广东·二模）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 8．（23-24高一下·山东滨州·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 10．（24-25高二上·广东广州·期末）一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A和事件B相互独立 D．事件B和事件C相互独立 11．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 13．（2025·河北邯郸·二模）投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的表面分别标有1，2，3，4，5，6点数标记），每投掷一次都记录下骰子的点数，连续投掷两次，记表示这两次投掷的点数的平均数，则的概率为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·河南南阳·期末）2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中. (1)求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）； (2)若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率. 16．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 17．（安徽省2024-2025学年高三上学期1月期末检测数学试题）某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额． (1)若，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率； (2)若，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由． 18．（24-25高三上·全国·阶段练习）王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游，不是一个人的王者，而是团队的荣耀！5v5王者峡谷PVP对战，领略英雄竞技的酣畅淋漓！在游戏中，打野玩家可以选择红开或蓝开，不依赖蓝条的英雄可以优先选择红开．在一把人机对决游戏中，坤坤选出了他的成名英雄典韦，看到敌方阵容前期较弱后，决定入侵敌方的蓝buff．已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开，若敌方打野选择蓝开，典韦入侵野区成功的概率为，若敌方选择红开，典韦入侵野区成功的概率为，回答下列问题 (1)坤坤连续进行了三场对局，且每场对局敌我阵容完全相同，求坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率 (2)在某场单挑对决中，敌方选取老夫子并准备向坤坤的典韦发起进攻．已知典韦与老夫子的距离为，老夫子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动，为了避免被控制，坤坤迅速释放一技能位移（位移方向与老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韦一技能位移可看作为加速度为，初速度的匀加速直线运动，老夫子的大招位移可看作速度为的匀速直线运动，且最大位移距离为8，若要求典韦能够躲开老夫子大招的控制，求典韦的加速度的最小值. (参考公式： ①匀加速直线运动，位移与初速度，加速度和时间的关系：； ②匀速直线运动，末速度与初速度，时间和加速度的关系为： 19．（24-25高二上·四川成都·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. / 学科网（北京）股份有限公司 $$