第十二章 定义 命题 证明小结与思考（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

第十二章 定义 命题 证明 小结与思考 学习目标 1. 梳理本章的知识结构，进一步感悟证明的意义和形式； 2. 体会类比、归纳与演绎证明之间的类比，了解它们各自的作用与方法. 2 知识结构 3 考点分析 类型之一　定义与命题 解：(1)不是真命题，反例：当a＝－1，b＝－2时，|a|＜|b|． (2)不是真命题，反例：α＝140°，它的补角为40°，40°＜140°．  (3)不是真命题，反例：18是偶数，但不能被4整除． (4)不是真命题，反例：等边三角形的三个内角都是60°．  例1 下列命题是否为真命题？为什么？ (1) 如果a＞b，那么|a|＞|b|； (2) 一个角的补角大于这个角； (3) 偶数能被4整除； (4) 三角形的最大内角大于60°． 4 考点分析 类型之二　用代数知识说理 证明：∵n能被3整除， ∴n＝3p，其中p为自然数， 又∵n能被7整除，而3不能被7整除， ∴p能被7整除，p＝7q，q为自然数， ∴n＝3p＝3×7q＝21q，q为自然数， ∴n能被21整除． 例2 已知：正整数n能被3整除，也能被7整除． 求证：n能被21整除． 5 考点分析 类型之三　简单的推理与证明 例3 (1)如图(1)，AB∥CD，试用不同方法证明∠B＋∠D＝∠E．  解：(1)证明：(方法1)如图所示，过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB (辅助线的作法)， ∴∠B＝∠1 (两直线平行，内错角相等)． ∵AB∥CD (已知)， ∴EF∥CD (平行于同一条直线的两直线平行)， ∴∠2＝∠D (两直线平行，内错角相等)， ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠D (等式的性质)， 即∠B＋∠D＝∠BED． F B C A D E (1) 1 2 6 考点分析 类型之三　简单的推理与证明 例3 (1)如图(1)，AB∥CD，试用不同方法证明∠B＋∠D＝∠E． B C A D E (1) F 解：(1)证明：(方法2)如图，延长BE交CD于点F． ∵AB∥CD (已知)， ∴∠B＝∠BFD (两直线平行，内错角相等)． ∵∠BED＝∠BFD＋∠D (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠B＋∠D＝∠BED (等量代换)． 7 考点分析 (2)解：∠B－∠D＝∠E． 证明如下：如图所示， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠3＝∠E＋∠D （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠B＝∠E＋∠D（等量代换）， 即∠B－∠D＝∠E． (2) 如图(2)，AB∥CD，∠B，∠D，∠E之间有怎样的数量关系？证明你的结论． 3 B C A D E (2) 8 解：若点P在△ABC的内部. 如图(1)所示，连接BC．则∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP． 证明：∵∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)， ∠PBC＋∠PCB＝180°－(∠A＋∠ABP＋∠ACP)， ∴∠BPC＝180°－[180°－(∠A＋∠ABP＋∠ACP)] ＝∠A－∠ABP－∠ACP． 考点分析 类型之四　三角形内角和定理与推论 例4 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论． B C A P (1) 9 解：若点P在△ABC的边BC上. 如图(2)所示，∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP． 证明：∵B，P，C在一条直线上， ∴∠BPC＝180°． ∵∠A＋∠ABP＋∠ACP＝180°， ∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP． 考点分析 类型之四　三角形内角和定理与推论 例4 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论． B C A P (2) 10 考点分析 类型之四　三角形内角和定理与推论 例4 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论． B C A P 解：若点P在△ABC的外部. 如图(3)所示，∠BPC＋∠A＋∠ABP＋∠ACP＝360°． 证明：∵点A，B，P，C构成四边形， ∴∠BPC＋∠A＋∠ABP＋∠ACP＝360°． (3) 11 2 考点分析 类型之五　多边形内角和与外角和定理 例5 如图，在五角星形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和等于多少度？证明你的结论． 解：∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和等于180° 证明：如图所示，由∠1＝∠E＋∠C， ∠2＝∠A＋∠D(三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和)， ∠B＋∠1＋∠2＝180°(三角形的内角和定理)， 得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． B C A D E 1 12 考点分析 类型之六　反证法 证明：设这个数为m，假设m的个位数是5，则m可以表示为10n＋5 (其中n是整数)， m2＝(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25＝20(5n2＋5n＋1)＋5， ∵20(5n2＋5n＋1)能被10整除， ∴20(5n2＋5n＋1)＋5的个位数字是5，与条件矛盾. ∴假设不成立，即m的个位数不是5. 例6 证明: 如果一个数的平方的个位数不是5,那么这个数的个位数也不是5． 13 这节课你有哪些收获？ 课堂总结 巩固练习 解：(1)条件：同号两数相乘．结论：积为正．  (2)条件：几个角是等角的补角．结论：这几个角相等．  (3)条件：四边形的内角和等于360°，外角和等于360°． 结论：四边形的内角和等于外角和． 1. 指出下列命题的条件和结论： (1) 同号两数相乘，积为正； (2) 等角的补角相等； (3) 四边形的内角和等于外角和． 15 巩固练习 2. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1) 如果ab＝0，那么a＝0； (2) 自然数是整数； (3) 不是对顶角的两个角不相等； (4) 内错角相等． 解：(1) 如果a＝0，那么ab＝0；原命题为假命题，逆命题为真命题． (2) 整数是自然数；原命题为真命题，逆命题为假命题． (3) 如果两个角不相等，那么这两个角就不是对顶角； 原命题为假命题，逆命题为真命题． (4) 如果两个角相等，那么这两个角是内错角；原命题为假命题，逆命题为假命题． 16 巩固练习 3. 举反例说明下列命题是假命题： (1) 如果a≠0，b≠0，那么a2＋b2＝(a＋b)2； (2) 质数都是奇数； (3) 多边形的外角和小于内角和； (4) 如果a＞b，那么(a＋b)(a－b)＞0． 解：(1) 反例：a＝1，b＝2，12＋22≠(1＋2)2． (2) 反例：2是质数，但2不是奇数． (3) 反例：四边形的外角和为360°，等于四边形的内角和360°． (4) 反例：a＝－1，b＝－2，(－1－2)×[－1－(－2)]＝－3＜0． 所以这4个命题都是假命题． 17 巩固练习 解：(2)∵a，b为连续的奇数，且a＜b， ∴设a＝2k＋1，b＝2k＋3， ∴ab＋1＝(2k＋1)(2k＋3)＋1＝4(k＋1)2． ∵k为整数， ∴(k＋1)2为整数． ∴4(k＋1)2能被4整除， 即ab＋1能被4整除． 4．已知k为整数，且k≥0． (1) 若a为正奇数，则a可以用含k的代数式表示为（ ） A． 2k B． 2k－1   C． 2k＋1 (2) 若a，b为连续的奇数，且a＜b. 试说明：ab＋1能被4整除． C 18 巩固练习 证明：(n－1)(n＋1)－(n－5)(n－7) ＝n2－1－(n2－12n＋35) ＝n2－1－n2＋12n－35 ＝12n－36 ＝12(n－3)， ∵对任意自然数n， ∴n－3是整数，即12(n－3)能被12整除， ∴对任意自然数n，式子(n－1)(n＋1)－(n－5)(n－7)的值都能被整除． 5．求证：对任意自然数n，式子(n－1)(n＋1)－(n－5)(n－7)的值都能被12整除． 19 巩固练习 6.已知：是一个四位数，a＋b＋c＋d可以被3整除． 求证：这个四位数可以被3整除． 证明： ＝1000a＋100b＋10c＋d ＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d) ＝9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d)． ∵9能被3整除，(111a＋11b＋c)是整数， ∴9(111a＋11b＋c)可以被3整除． 又∵a＋b＋c＋d可以被3整除， ∴9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d)可以被3整除， 即这个四位数可以被3整除． 20 巩固练习 7.已知：如图，a∥b，c∥d，∠1＝50°． 求证：∠2＝130°． 证明：如图所示．∵a∥b (已知)， ∴∠1＝∠4 (两直线平行，同位角相等)． 又∵∠1＝50° (已知)， ∴∠4＝50° (等量代换)． ∵∠4＋∠3＝180° (平角的定义). ∴∠3＝180°－50°＝130° (等式的性质)． ∵c∥d (已知)， ∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等). ∴∠2＝130° (等量代换)． 3 4 2 1 a c d b 21 巩固练习 8. (1)已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B＋∠1＝180°，∠2＝∠3． 求证：∠B＋∠F＝180°． (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ (1) 证明：∵∠B＋∠1＝180°（已知）， ∴AB ∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）， ∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． A B C D E 1 G F 2 3 (2) 解：在(1) 的证明过程中应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个互逆的真命题． 22 巩固练习 9. 如图，点C，E，B，F在一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D 由此，你能推出什么结论？证明其中的1～2个结论． 解：结论：(1)∠ABC＝∠DEF；(2)DE∥AB； (3)∠ABF＝∠DEC；(4)∠C＝∠F． A B C D E F 证明：∵AC∥FD (已知)， ∴∠C＝∠F(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠A＝∠D.(已知)， ∴∠A＋∠C＝∠D＋∠F(等式的性质)． ∵∠ABF＝∠A＋∠C，∠DEC＝∠D＋∠F (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠ABF＝∠DEC(等量代换)， ∴∠ABC＝∠DEF(等角的补角相等)， ∴DE∥AB(内错角相等，两直线平行)． 23 巩固练习 10. 在△ABC中，根据下列条件，求∠A的度数： (1) ∠C＝20°，∠B＝∠A； (2) ∠A，∠B，∠C的度数之比为1︰2︰3． 解：(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝20°， ∴∠A＋∠B＝160°． 又∵∠B＝∠A，∴∠A＝80°． (2)设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°， 所以x＋2x＋3x＝180 解得x＝30，即∠A＝30°． 24 巩固练习 解：∠1＋∠2＝∠B＋∠C． 理由：∵∠1＋∠2＋∠A＝180°， ∠B＋∠C＋∠A＝180°， ∴∠1＋∠2＝180°－∠A， ∠B＋∠C＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C． 11. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．∠B＋∠C与∠1＋∠2有怎样的数量关系？为什么？ 1 2 B C A D E 25 巩固练习 证明：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180° (三角形内角和定理)， ∵∠A＝∠ABC(已知)， ∴2∠A＋∠C＝180°(等量代换)． 在△EFC中，∠F＋∠FEC＋∠C＝180° (三角形内角和定理)， ∴∠F＋∠FEC＋∠C＝2∠A＋∠C(等量代换)， ∴∠F＋∠FEC＝2∠A (等式性质)． 12. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F． 求证：∠F＋∠FEC＝2∠A． A B C D E F 26 巩固练习 13.证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． 证明：已知：如图所示，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠BMN，NG平分∠MND． 求证：MG⊥NG． 证明如下：∵AB∥CD (已知)， ∴∠BMN＋∠MND＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵MG平分∠BMN，NG平分∠MND(已知)， ∴2∠NMG＝∠BMN，2∠MNG＝∠MND (角平分线的定义)， ∴2∠NMG＋2∠MNG=180°(等量代换)， ∴∠NMG＋∠MNG＝90°． 又∵∠NMG＋∠G＋∠MNG＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠G＝90°， ∴MG⊥NG(垂直的定义)． B C A D E F M N G 27 巩固练习 14. 已知：如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F． 求证：EF∥AD． 证明：∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠BAC＝2∠BAD． ∵∠BAC是△AGF的外角， ∴∠BAC＝∠AGF＋∠F (三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和)， ∵∠AGF＝∠F(已知)， ∴∠BAC＝2∠AGF(等量代换)， ∴∠BAD＝∠AGF(等式的性质)， ∴FE ∥AD(内错角相等，两直线平行)． B C A D E F G 28 巩固练习 解：八边形的内角和是它的外角和的3倍．理由如下： 设这个多边形是n边形， 由题意，得 (n－2)·180°＝3×360°， 解得 n＝8． 故八边形的内角和是它的外角和的3倍． 15. 有没有这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？如果有，指出它是几边形，并说明理由． 29 巩固练习 16. 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角．∠ABE与∠D相等吗？证明你的结论． 解：∠ABE与∠D相等．理由如下： ∵四边形内角和等于360°， ∠A＋∠C＝180°， ∴∠ABC＋∠D＝180°． 又∵∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D. (等量代换) C D B A E 30 巩固练习 17. 已知：如图，∠ABC＋∠C＋∠CDE＝360°，GH分别交AB，ED于点G，H． 求证：∠1＝∠2． 1 2 B C A D E H G 证明：∵五边形GBCDH的内角和为(5－2)×180°＝540° (多边形的内角和公式)， ∴∠HGB＋∠ABC＋∠C＋∠CDE＋∠GHD＝540°． ∵∠ABC＋∠C＋∠CDE＝360°(已知)， ∴∠HGB＋∠GHD＝180°(等式性质)． ∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)． ∴∠1＝∠GHD(两直线平行，同位角相等)． ∵∠2＝∠GHD(对顶角相等)， ∴∠1＝∠2(等量代换)． 31 巩固练习 18. 已知：m是正整数，且m2是偶数. 求证：m是偶数. 证明：假设m是奇数，则m可表示为2k＋1 (k为整数). 代入m2，得m2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1，∵k为整数， ∴2k2＋2k为整数， ∴2(2k2＋2k)＋1是奇数. 即m2是奇数. 这与已知条件m2是偶数矛盾， 因此假设不成立，即m是偶数. 32 2021 Blues 4800.0 $$