第八章 整式乘法小结与思考（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

第八章 整式乘法 小结与思考 学习目标 1.掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算； 2. 了解公式的几何背景，进一步感受从图形的面积计算得出乘法公式的过程. 2 知识回顾 本章学习了哪些有关整式乘法的运算法则？ 知识结构 整式乘法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad 多项式乘多项式 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn 乘法公式 完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 转化 4 考点分析 类型之一　整式乘法 例1 计算： (1) (－x3y)2(－2x2y2)； 解：(1)原式＝x6y2·(－2x2y2) ＝－2x8y4； (2) (4a2＋ab－b2)(－2ab)； 解：原式＝4a2·(－2ab)＋ab·(－2ab) －b2·(－2ab) ＝－8a3b－2a2b2＋2ab3； 5 考点分析 类型之一　整式乘法 例1 计算： (3)(a＋7)(a＋1)； 解：原式＝a·a＋a·1＋7·a ＋7×1 ＝a2＋a＋7a＋7 ＝a2＋8a＋7； (4) (5－2a)(2a＋5)； 解：原式＝52－(2a)2 ＝25－4a2； 6 考点分析 类型之一　整式乘法 (5) (－2a2－5b)2； 原式＝(－2a2)2＋2·(－2a2)·(－5b) ＋(－5b)2 ＝4a4＋20a2b＋25b2； (6) (2x＋3)2(2x－3)2. 原式＝[(2x＋3)(2x－3)]2 ＝(4x2－9)2 ＝(4x2)2－2×4x2×9＋92 ＝16x4－72x2＋81. 例1 计算： 7 考点分析 类型之二　利用乘法公式简化计算 例2 用乘法公式计算： (1) 200 12； (2) 5002－498×502. 解：(1) 200 12 ＝(2 000＋1)2 ＝2 0002＋2×2 000×1＋12 ＝4 000 000＋4 000＋1 ＝4 004 001； (2) 5002－498×502 ＝5002－(500－2)×(500＋2) ＝5002－(5002－22) ＝4. 8 考点分析 类型之三　利用乘法公式化简求值 例3 先化简，再求值： (1) (2x－1)2＋(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝3. 解：原式＝4x2－4x＋1＋x2－4－4x2＋4x ＝x2－3. 当x＝3时，原式＝32－3＝6. 9 (2)已知a2＋2ab＋b2＝0，求a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值. 考点分析 例3 先化简，再求值： 类型之三　利用乘法公式化简求值 原式＝a2＋4ab－(a2－4b2) ＝a2＋4ab－a2＋4b2 ＝4ab＋4b2 ＝4b(a＋b) ＝0． 解：∵a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝0，∴a＋b＝0. 10 考点分析 类型之四　乘法公式的实际应用 例4 老王把一块边长为𝒂(𝒎)的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少，另一边增加继续租给你，租金不变，你看如何？”老李一听，就答应了．你认为老李吃亏了吗？为什么？ 解：老李是吃亏了， 理由如下：∵原来土地的面积为， 更改后的土地的面积为，即， ∴更改后的土地面积比原来少， ∴老李是吃亏了． 11 考点分析 类型之五　运用乘法公式找规律、说理 例5 张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律． 请你结合这些算式，解答下列问题．请观察以下算式： ①32－12＝8×1； ②52－32＝8×2； ③72－52＝8×3. (1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式； 解：(1)92－72＝8×4，112－92＝8×5(答案不唯一)． 12 考点分析 (2)验证规律：设两个连续奇数分别为2n＋1，2n－1(其中n为整数)，则它们的平方差是8的倍数； (2) (2n＋1)2－(2n－1)2 ＝(2n＋1－2n＋1)(2n＋1＋2n－1) ＝2×4n ＝8n， ∵n为整数， ∴8n是8的倍数． ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数． 13 考点分析 (3)拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”这一结论正确吗？ (3)不正确．理由如下： 方法一(举反例)：42－22＝12， 因为12不是8的倍数，所以这个结论不正确． 方法二：设两个连续偶数分别为2n和2n＋2(其中n为整数)， (2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2－2n)(2n＋2＋2n)＝8n＋4. ∵ 8n＋4不是8的倍数， ∴ 这个结论不正确． 14 考点分析 类型之六　数形结合思想 例6 将边长分别为a，b，c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成下图. 试用不同的方法计算这个图形的面积，你有什么发现？ ∟ ∟ ∟ a b c a b c 解：由题意得： 方法1：S＝(a＋b)2＝a2＋ab＋b2 方法2：S＝ab＋ ab＋c2 ∴ a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2 ∴ a²＋b²＝c². 15 这节课你有哪些收获？ 课堂小结 巩固练习 (1) 3a2b(－2ab3)； (2) 4x2y(3xy2z－7xz)； (3) (2x＋3y)(2x＋7y)； (4) (－3x＋2y)(－3x－2y)； (5) (－4b＋)2； 1.计算： －6a3b4 12x3y3z－28x3yz 4x2＋20xy＋21y2 9x2－4y2 16b2－2b＋ (6) (a＋b＋c)(a－b－c). a2－b2－2bc－c2 17 巩固练习 2.简便计算： (1) (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1； 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(28－1)(28＋1)＋1 ＝216－1＋1 ＝216； (2) 原式＝ ＝ ＝1. 18 巩固练习 3. 求下列代数式的值： (1) a(b－c)－b(c－a)＋c(a－b)，其中a＝，b＝ ，c＝－； 解：(1) 原式＝ab－ac－bc＋ab＋ac－bc ＝2ab－2bc， 当a＝，b＝，c＝－时， 原式＝2××－2×× ＝ ＝1； 19 巩固练习 3. 求下列代数式的值： (2) (x－1)(x－2)－3x(x＋3)＋2(x＋2)(x－1)，其中x＝. 解：(2) 原式＝x2－3x＋2－3x2－9x＋2(x2＋x－2) ＝x2－3x＋2－3x2－9x＋2x2＋2x－4 ＝－10x－2， 当x＝时， 原式＝－10×－2 ＝－. 20 巩固练习 4. 已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3. 求a2＋b2，ab， a2＋b2－ab的值. 解：∵(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3， ∴a2＋2ab＋b2＝7 ① a2－2ab＋b2＝3 ② ∴①＋②，得：a2＋b2＝5； ①－②，得：ab＝1. ∴ a2＋b2－ab＝5－1＝4. 21 巩固练习 5. 一个长方体的高是8，它的底面是边长为3的正方形. 如果底面正方形的边长增加a，那么它的体积增加了多少？ 解：原长方体的体积：3×3×8＝72， 底面正方形的边长增加a后的长方体的体积： (3＋a)(3＋a)×8＝72＋48a＋8a2， 增加的体积：72＋48a＋8a2－72＝48a＋8a2. 答：它的体积增加了48a＋8a2． 22 巩固练习 解：第n个是式子是2n×(2n＋2)＋1＝(2n＋1)2. 理由如下， ∵ 2n×(2n＋2)＋1＝4n2＋4n＋1，(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1， ∴ 2n×(2n＋2)＋1＝(2n＋1)2成立. 6. 观察下列式子: 2×4＋1＝9， 4×6＋1＝25， 6×8＋1＝49， 探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立. 23 巩固练习 7. (1)通过计算，探索规律： 15²＝225，可写成100×1×(1＋1)＋25， 25²＝625，可写成100×2×(2＋1)＋25， 35²＝1225，可写成100×3×(3＋1)＋25， 45²＝2025，可写成100×4×(4＋1)＋25， … 75²＝5625，可写成____________________， 85²＝7225，可写成____________________； 100×7×(7＋1)＋25 100×8×(8＋1)＋25 24 巩固练习 (2)说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除. 解：设个位数是5的整数为(10n＋5)(n为整数)， (10n＋5)2＝100n(n＋1)＋25， ∵n为整数， ∴n，n＋1为整数， ∵100能被25整除， ∴100n(n＋1)＋25能被25整除， 即(10n＋5)2可以被25整除， ∴任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除. 25 巩固练习 8. 如何用图形的面积表示(a－b)2＝a2－2ab＋b2？ a−b a−b a a ab ab b b (a−b)2 b2 26 (1) 图②中阴影部分的面积为____________.   巩固练习 9. 如图①所示为一个长2m、宽2n的长方形，用剪刀沿图中虚线将大长方形剪成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 2n 2m m m n n 图① 图② n m n m m 图③ m2 m2 n2 mn mn mn (m－n)2 27 (2) 通过观察图②，写出代数式(m＋n)2、(m－n)2、mn之间的等量关系: 　(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn　⁠.   巩固练习 (m＋n)2＝(m－n)2＋4mn 2n 2m m m n n 图① 图② n m n m m 图③ m2 m2 n2 mn mn mn 28 巩固练习 (3) 根据(2)中的结论，若x＋y＝－6，xy＝2.75，求x－y的值. 解：由(2)得，(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy， ∴ (－6)2＝(x－y)2＋4×2.75， 即(x－y)2＝25. ∴ x－y＝5或－5. 29 2021 Blues 4800.0 $$